Μη-τοπικές θεωρίες συνεχών μέσων: καταστατικές εξισώσεις και υπολογιστικές τεχνικές

Abstract

Theories on intrinsic or material length scales find applications in the modeling of size-dependent phenomena. In elasticity, length scales enter the constitutive equations through the elastic strain energy function, which, in this case, depends not only on the strain tensor but also on gradients of the rotation and strain tensors. In the present thesis, the strain-gradient elasticity theories developed by Mindlin and co-workers in the 1960s are treated in detail. In such theories, when the problem is formulated in terms of displacements, the governing partial differential equation is of fourth order. If traditional finite elements are used for the numerical solution of such problems, then C1 displacement continuity is required. An alternative ‘‘mixed’’ finite element formulation is developed, in which both the displacement and the displacement gradients are used as independent unknowns and their relationship is enforced in an ‘‘integral-sense’’. A variational formulation is developed which can be used for both linear and non-linear strain-gradient elasticity theories. The resulting finite elements require only C0 continuity and are simple to formulate. The proposed technique is applied to a number of problems and comparisons with available exact solutions are made.

Οι κλασικές (τοπικές) θεωρίες της «Μηχανικής των Συνεχών Μέσων» βασίζονται στην υπόθεση ότι η μηχανική συμπεριφορά σε ένα υλικό σημείο εξαρτάται μόνο από τις τιμές των καταστατικών μεταβλητών στο σημείο αυτό (από όπου και ο όρος «τοπικές») και δεν περιέχουν κάποιο «εσωτερικό μήκος» που να χαρακτηρίζει το υλικό. Παρά το γεγονός ότι οι κλασικές αυτές θεωρίες επαρκούν για την ανάλυση των περισσότερων συμβατικών κατασκευών, υπάρχουν πειραματικά δεδομένα που αποδεικνύουν ότι, σε αρκετές περιπτώσεις, η λύση ενός προβλήματος ή φυσική ερμηνεία ενός φαινομένου εξαρτάται από κάποιο «χαρακτηριστικό μήκος» του υλικού.Διάφορες μέθοδοι που έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία θεωρούν ότι η μηχανική συμπεριφορά σε ένα υλικό σημείο εξαρτάται όχι μόνο από τις τιμές των καταστατικών μεταβλητών στο υπ’όψιν σημείο αλλά και από τις αντίστοιχες τιμές σε κάποια «γειτονιά» του σημείου, και εισάγουν ένα «χαρακτηριστικό μήκος» του υλικού. Στην κατηγορία αυτή των μεθόδων περιλαμβάνονται και οι θεωρίες τύπου «κλίσεως», σύμφωνα με τις οποίες η καταστατική συμπεριφορά ενός συγκεκριμένου υλικού σημείου εξαρτάται από τις τιμές των καταστατικών μεταβλητών αλλά και των χωρικών τους παραγώγων στο σημείο αυτό. Η ύπαρξη των χωρικών αυτών παραγώγων στις καταστατικές εξισώσεις εισάγει, σε πρώτη προσέγγιση, την επίδραση των γειτονικών σημείων.Στα πλαίσια της ελαστικότητας τύπου κλίσεως, ένα χαρακτηριστικό μήκος του υλικού εμφανίζεται στην έκφραση της ελαστικής ενέργειας, η οποία στην περίπτωση αυτή δεν εξαρτάται μόνον από τον τανυστή των παραμορφώσεων αλλά και από τις χωρικές παραγώγους των τανυστών στροφής και παραμορφώσεως. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή παρουσιάζεται καταρχήν μία μεθοδική περιγραφή των θεωριών ελαστικότητας τύπου κλίσεως, όπως αυτές διατυπώθηκαν από τον Mindlin και τους συνεργάτες του. Στις θεωρίες αυτές, εάν το πρόβλημα διατυπωθεί συναρτήσει των μετατοπίσεων, οι διαφορικές εξισώσεις που προκύπτουν είναι τετάρτης τάξεως. Στα πλαίσια της κλασικής μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για την αριθμητική επίλυση προβλημάτων αυτού του είδους απαιτούνται «στοιχεία C1» που να εξασφαλίζουν συνέχεια της μετατόπισης και των πρώτων χωρικών της παραγώγων. Με στόχο την αποφυγή στοιχείων αυτού του είδους αναπτύσσεται μία «μικτή» (mixed) μεθοδολογία, στην οποία οι μετατοπίσεις αλλά και οι χωρικές τους παράγωγοι χρησιμοποιούνται ως ανεξάρτητοι άγνωστοι, και η μεταξύ τους σχέση επιβάλλεται σε ολοκληρωματική μορφή. Η μεθοδολογία είναι γενική και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση γραμμικών αλλά και μη-γραμμικών προβλημάτων. Τα πεπερασμένα στοιχεία που απαιτούνται για την αριθμητική επίλυση προβλημάτων αρκεί να εξασφαλίζουν συνέχεια C0. Η προαναφερθείσα μεθοδολογία χρησιμοποιείται για την επίλυση αρκετών προτύπων προβλημάτων, των οποίων είναι γνωστή η αναλυτική λύση. Οι αριθμητικές λύσεις συγκρίνονται με τις αντίστοιχες αναλυτικές και διαπιστώνεται πλήρης συμφωνία.