Αλγοριθμικές μέθοδοι ελέγχου ΑΕΠ και χρέους μέσω μακροοικονομικών υποδειγμάτων

Abstract

This dissertation explores the integration of mathematical control theory techniques into Post-Keynesian macroeconomic modeling, with the aim of designing fiscal rules that simultaneously strengthen output and ensure public-debt sustainability. The research motivation stems from the challenges faced by economies with high debt-to-GDP ratios—especially in the euro-area periphery—where strict fiscal constraints coexist with an urgent need for expansionary public investment. The experience of the 2008 crisis underscored the limits of austerity policies in supporting demand and employment, rekindling interest in alternative frameworks in which fiscal policy plays an active, countercyclical, and intertemporally coherent role. Within this context, the dissertation adopts a heterodox, Post-Keynesian view of the economy and the effects of fiscal policy, and couples it with control-and-optimization tools that enable rigorous, measurable, and adaptive policy-design architecture.The choice of a Post-Keynesian framework is not merely a matter of theoretical preference but a functional necessity. In contrast to neoclassical models, which often rely on assumptions of instantaneous market clearing, fully rational expectations, and fixed parameters, the Post-Keynesian approach places effective demand, the distribution of income between labor and capital, the endogenous instability of investment, and historical time at center stage. In particular, it recognizes that workers exhibit a higher marginal propensity to consume than capitalists; thus income redistribution toward labor and well-targeted public spending can activate multiplicative effects on demand, profitability, and investment. Moreover, fundamental uncertainty and the institutional specificities of each economy render “static” rules—those that ignore lags, expectations, and behavioral adaptation—problematic. A framework that takes historical time and the interaction of public and private decision-making seriously is therefore essential for realistic policy design. The introduction of mathematical models and control techniques serves two purposes: transparency and effectiveness. First, explicit mathematical formulation forces a clear definition of targets (e.g., GDP and debt paths), constraints, and trade-offs via loss functions, weights, and inequality restrictions. Second, translating the problem into a state-space representation allows the use of control theory: controllability and observability, stabilization via state- or output-feedback, pole placement, and dynamic optimization with flexible targets. A loss function that weights deviations from targets and the “cost” of instrument use provides a unified means of prioritizing policy objectives. Two complementary approaches form the methodological core. In Part I, a deterministic, discrete-time model with class-based income distribution and explicit fiscal transmission lags is formulated. The model is written in state-space form, with public expenditure as the input and GDP and public debt as the outputs. The objective is cast as tracking pre-specified paths for the two variables while minimizing a quadratic cost function. The solution emerges via least squares, yielding a symbolic policy path that reconciles, as far as feasible, growth targets with debt sustainability. This open-loop approach offers a clean benchmark, supports the evaluation of alternative policies in terms of smoothness, feasibility, and cost, but by construction does not automatically adjust instruments when conditions change unexpectedly. Part II develops an Optimization-Based Adaptive Control (OBAC) scheme that turns fiscal policy into a closed-loop learning process. At each discrete step, the system observes deviations of GDP and debt from their desired trajectories and solves a small optimization problem to update both public expenditure and endogenous behavioral parameters such as the investment ratio and the saving propensity. Parameters are estimated recursively using gradient rules or recursive least squares under smoothness and bounding constraints. The presence of an explicit loss function, learning rates, and convergent parameter estimates renders the scheme a “learning model” in the strict sense of supervised optimization against targets. The system does not assume passive private agents: policy-induced behavioral changes are embedded in the dynamics, and the controller re-calibrates instruments in time to maintain alignment with policy goals. Time delays play a decisive role. In fiscal policy, recognition lags (due to low-frequency and revised macro data), decision/legislative lags, implementation lags, and impact lags (especially for investment) can render a well-designed intervention ineffective if it arrives late. OBAC addresses the problem operationally by shifting weight from large and infrequent decisions to small and frequent adjustments. By continually measuring deviations and automatically re-tuning instruments, it reduces the risk of procyclical interventions and improves timing, particularly when faster-acting spending components or strengthened automatic stabilizers are available. Computational findings support the view that fiscal policy can jointly deliver feasible growth paths and gradual public-debt deleveraging when it is designed and executed as a control problem. In the deterministic component, this appears as a compatible policy trajectory that respects debt constraints while supporting demand through an appropriate composition of expenditures and redistribution toward labor incomes. In the adaptive component, the feedback loop achieves similar goals with greater resilience to shocks and behavioral change: policy becomes inherently flexible, co-moves with evolving private expectations, and limits timing errors. The policy implications are consonant with Post-Keynesian reasoning: prioritizing public expenditures with high fiscal multipliers and lasting productivity effects to reinforce wage-led demand; easing the tax burden on labor while re-orienting the tax base toward capital income and wealth with progressive design to finance spending and correct functional income distribution; and institutionalizing rule-based yet discretely adjustable feedback mechanisms that enable countercyclical intervention in historical time and strengthen the credibility of the fiscal architecture. Methodologically, the dissertation goes beyond traditional scenario simulation by recasting fiscal policy as a constrained supervised-learning process, in which instrument choice is determined by minimizing an explicit loss function subject to the system’s dynamic constraints. The ability to update parameters recursively, impose bounds on policy variables, weight short-run responsiveness against medium-run smoothness, and employ stability techniques gives the framework machine-learning characteristics. The controller “learns” policy returns in real time and adjusts actions to maximize the likelihood of meeting targets even when parameters drift or external shocks are large.The contribution is twofold. Theoretically, it shows that a Post-Keynesian perspective—emphasizing effective demand and income distribution—lends itself particularly well to viewing the economy as a control system: one with inputs, states, outputs, feedback, and stability criteria. Methodologically, it demonstrates that algorithmic control techniques—deterministic open-loop with symbolic solution and closed-loop optimization-based adaptation—can constitute a coherent fiscal-policy design framework that operates reliably under uncertainty and lags. When treated as a control object with explicit loss functions, constraints, and feedback, fiscal policy ceases to be a one-off instrument and becomes a process of learning and continual calibration. The dissertation acknowledges limitations and avenues for extension. The baseline model operates in a closed economy with compact behavioral relations. Incorporating the external sector would render lags more realistic and introduce diffusion channels that affect both the timing and intensity of interventions. Endogenizing profit margins and enriching expectation formations would capture stronger nonlinear interactions. Moving from linear-in-parameters estimation schemes to nonlinear techniques—such as kernelized recursive least squares or constrained nonlinear model predictive control (MPC)—are promising directions for future work. Overall, the dissertation argues that successful macroeconomic management in periods of volatility and institutional constraint requires policies that are simultaneously growth-enhancing and fiscally credible, and that are designed as learning processes. Combining Post-Keynesian theory with mathematical control tools shows that a data-informed, adaptive fiscal design is feasible—one that learns from the environment and achieves growth targets without sacrificing debt sustainability. Through this synthesis, fiscal policy regains its role as an active instrument of macroeconomic stabilization and socially sustainable development. Structure of the dissertation.Chapter 1 introduces the research problem and outlines the overall architecture of the work. Chapter 2 summarizes the necessary mathematical tools. Chapter 3 reviews fiscal-policy theories in the mainstream and Post-Keynesian traditions, with particular reference to the Greek case. Chapter 4 transfers control theory into economics, presenting algorithmic techniques and the formulation of policy as a control problem. Chapter 5 defines the models: the Post-Keynesian and the Ad-PK frameworks. Chapter 6 formulates the control problem for each model and presents its mathematical specification. Chapter 7 develops the solution methods and algorithms. Chapter 8 presents simulations and results. Chapter 9 synthesizes the findings. Chapter 10 adds extensions and Chapter 11 future research. Finally, Chapter 12 provides the epilogue, Chapter 13 compiles the references, Chapters 14 and 15 lists the codes and the appendix, while Chapters 16–17 document publications and companion papers.

Η παρούσα διατριβή διερευνά τη δυνατότητα ενσωμάτωσης τεχνικών της μαθηματικής θεωρίας ελέγχου στη μετα-Κεϋνσιανή μακροοικονομική μοντελοποίηση, με σκοπό τον σχεδιασμό δημοσιονομικών κανόνων που επιτυγχάνουν ταυτόχρονα ενίσχυση της παραγωγής και βιωσιμότητα του δημόσιου χρέους. Το ερευνητικό κίνητρο προέρχεται από το πρόβλημα που αντιμετωπίζουν οικονομιες με υψηλό λόγο χρέους προς ΑΕΠ, ιδίως στην περιφέρεια της Ευρωζώνης, όπου αυστηροί δημοσιονομικοί περιορισμοί συνυπάρχουν με άμεση ανάγκη για επεκτατικές δημόσιες επενδύσεις. Η εμπειρία της κρίσης του 2008 υπογράμμισε τα όρια πολιτικών λιτότητας στη στήριξη της ζήτησης και της απασχόλησης, αναζωπυρώνοντας το ενδιαφέρον για εναλλακτικά πλαίσια στα οποία η δημοσιονομική πολιτική παίζει ενεργό, αντικυκλικό και διαχρονικά συνεκτικό ρόλο. Σε αυτό το πλαίσιο, η εργασία υιοθετεί μια ετερόδοξη, μετα-Κεϋνσιανή οπτική για τη λειτουργία της οικονομίας και την επίδραση της δημοσιονομικής πολιτικής, και την παντρεύει με εργαλεία ελέγχου και βελτιστοποίησης που επιτρέπουν αυστηρή, μετρήσιμη και προσαρμοστική αρχιτεκτονική σχεδιασμού.Η επιλογή του μετα-Κεϋνσιανού πλαισίου δεν είναι απλώς θεωρητική προτίμηση, αλλά λειτουργική αναγκαιότητα. Σε αντίθεση με τα νεοκλασικά υποδείγματα που συχνά στηρίζονται σε υποθέσεις άμεσης εξισορρόπησης, πλήρως ορθολογικών προσδοκιών και σταθερών παραμέτρων, η μετα-Κεϋνσιανή προσέγγιση δίνει κεντρικό ρόλο στην ενεργό ζήτηση, στη διανομή εισοδήματος μεταξύ εργασίας και κεφαλαίου, στην ενδογενή αστάθεια των επενδύσεων και στον ιστορικό χρόνο. Ειδικότερα, αναγνωρίζει ότι οι εργαζόμενοι έχουν υψηλότερη οριακή ροπή προς κατανάλωση από τους καπιταλιστές, οπότε η αναδιανομή εισοδήματος προς την εργασία και οι στοχευμένες δημόσιες δαπάνες μπορούν να ενεργοποιήσουν πολλαπλασιαστικά αποτελέσματα στη ζήτηση, την κερδοφορία και την επένδυση. Επιπλέον, η θεμελιώδης αβεβαιότητα και οι θεσμικές ιδιαιτερότητες κάθε οικονομίας καθιστούν προβληματική την εφαρμογή «στατικών» κανόνων που αγνοούν υστερήσεις, προσδοκίες και συμπεριφορικές προσαρμογές. Ένα πλαίσιο που εξετάζει τον ιστορικό χρόνο και την αλληλεπίδραση δημόσιων και ιδιωτικών αποφάσεων είναι, συνεπώς, ουσιώδες για ρεαλιστικό σχεδιασμό πολιτικής. Η εισαγωγή μαθηματικών μοντέλων και τεχνικών ελέγχου υπηρετεί δύο σκοπούς: διαφάνεια και αποτελεσματικότητα. Πρώτον, η ρητή μαθηματική διατύπωση επιβάλλει σαφή ορισμό στόχων (π.χ. τροχιές ΑΕΠ και χρέους), περιορισμών και συμβιβασμών μέσω συναρτήσεων απώλειας, βαρών και ανισοτικών περιορισμών. Δεύτερον, η μετάφραση του προβλήματος σε αναπαράσταση χώρου καταστάσεων επιτρέπει την αξιοποίηση της θεωρίας ελέγχου: ελεγξιμότητα και παρατηρησιμότητα, σταθεροποίηση μέσω ανάδρασης κατάστασης ή εξόδου, τοποθέτηση πόλων, και δυναμική βελτιστοποίηση με ευέλικτους στόχους. Η συνάρτηση απώλειας που σταθμίζει αποκλίσεις από στόχους και «κόστος» χρήσης εργαλείων, προσφέρει ενιαίο τρόπο ιεράρχησης πολιτικών προτεραιοτήτων. Στον πυρήνα της μεθοδολογίας βρίσκονται δύο συμπληρωματικές προσεγγίσεις. Στο πρώτο μέρος, διατυπώνεται ένα αιτιοκρατικό, διακριτό υπόδειγμα με ταξική κατανομή εισοδήματος και ρητές χρονικές υστερήσεις στη μετάδοση των δημοσίων δαπανών στην πραγματική οικονομία. Το υπόδειγμα γράφεται σε μορφή κατάστασης, όπου η δημόσια δαπάνη λειτουργεί ως είσοδος, ενώ ΑΕΠ και δημόσιο χρέος ως έξοδοι. Ο στόχος τίθεται ως παρακολούθηση προκαθορισμένων τροχιών για τις δύο μεταβλητές, με ελαχιστοποίηση μιας τετραγωνικής συνάρτησης κόστους. Η λύση προκύπτει μέσω μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων, παράγοντας μια συμβολική πολιτική διαδρομή που εναρμονίζει, στον βαθμό του εφικτού, τους στόχους ανάπτυξης και σταθερότητας χρέους. Η προσέγγιση αυτή προσφέρει καθαρό σημείο αναφοράς, επιτρέπει αξιολόγηση εναλλακτικών πολιτικών σε όρους ομαλότητας, σκοπιμότητας και κόστους, αλλά από τη φύση της είναι ανοικτού βρόχου: δεν προσαρμόζει αυτόματα τα εργαλεία όταν το περιβάλλον αλλάζει απρόοπτα. Στο δεύτερο μέρος, αναπτύσσεται το σχήμα Βελτιστοποιημένου Προσαρμοστικού Ελέγχου (Optimization-Based Adaptive Control, OBAC), που μετατρέπει τη δημοσιονομική πολιτική σε κλειστού βρόχου διαδικασία μάθησης. Σε κάθε διακριτό βήμα, το σύστημα παρατηρεί τις αποκλίσεις των στόχων (ΑΕΠ και χρέος) από τις επιθυμητές τροχιές και επιλύει ένα μικρό πρόβλημα βελτιστοποίησης για να ενημερώσει τόσο τη δημόσια δαπάνη όσο και ενδογενείς συμπεριφορικές παραμέτρους, όπως ο λόγος επένδυσης και η ροπή προς αποταμίευση. Οι παράμετροι εκτιμώνται αναδρομικά με κανόνες βαθμίδας ή αναδρομικών ελαχίστων τετραγώνων, υπό περιορισμούς ομαλότητας και φραγμών. Η ύπαρξη ρητής συνάρτησης απώλειας, ρυθμού μάθησης και σύγκλιση παραμετρικών εκτιμήσεων καθιστά το σχήμα «μοντέλο μάθησης» με την αυστηρή έννοια της εποπτευόμενης βελτιστοποίησης έναντι στόχων. Το σύστημα δεν υποθέτει παθητικούς ιδιώτες: οι συμπεριφορικές μεταβολές που προκαλούνται από την πολιτική ενσωματώνονται στη δυναμική, και ο ελεγκτής αναβαθμονομεί εγκαίρως τα εργαλεία ώστε να διατηρείται η στοίχιση με τους στόχους. Καθοριστικό ρόλο παίζουν οι χρονικές υστερήσεις. Στη δημοσιονομική πολιτική, οι υστερήσεις αναγνώρισης (λόγω χαμηλής συχνότητας και αναθεωρήσεων στα μακροοικονομικά δεδομένα), οι πολιτικοθεσμικές υστερήσεις λήψης απόφασης, οι διοικητικές υστερήσεις εφαρμογής και οι υστερήσεις επίδρασης (ιδίως στις επενδύσεις) μπορούν να καταστήσουν μια καλοσχεδιασμένη παρέμβαση αναποτελεσματική αν φτάσει ετεροχρονισμένα. Το OBAC αντιμετωπίζει λειτουργικά το πρόβλημα, μεταφέροντας βάρος από μεγάλες και σπάνιες αποφάσεις σε μικρές και συχνές προσαρμογές. Με συνεχή μέτρηση αποκλίσεων και αυτόματη αναπροσαρμογή των εργαλείων, μειώνει τον κίνδυνο προκυκλικών παρεμβάσεων και εξομαλύνει τον χρονισμό, ιδιαίτερα όταν υπάρχουν διαθέσιμα ταχύτερα εκτελέσιμα σκέλη δαπανών ή ενισχυμένοι αυτόματοι σταθεροποιητές. Τα εμπειρικά και υπολογιστικά ευρήματα υποστηρίζουν ότι η δημοσιονομική πολιτική μπορεί να συνδυάσει επιτεύξιμες τροχιές μεγέθυνσης με σταδιακή απομόχλευση του δημόσιου χρέους, όταν σχεδιάζεται και υλοποιείται ως πρόβλημα ελέγχου. Στο αιτιοκρατικό σκέλος, αυτό εκδηλώνεται ως συμβατή διαδρομή που τηρεί τους περιορισμούς χρέους ενώ ενισχύει τη ζήτηση μέσω κατάλληλης σύνθεσης δαπανών και ανακατανομής προς τα εισοδήματα εργασίας. Στο προσαρμοστικό σκέλος, ο βρόχος ανάδρασης επιτυγχάνει παρόμοιους στόχους με μεγαλύτερη ανθεκτικότητα σε διαταραχές και αλλαγές συμπεριφοράς: η πολιτική γίνεται εγγενώς ευέλικτη, συντονίζεται με την εξέλιξη των ιδιωτικών προσδοκιών και περιορίζει τα σφάλματα χρονισμού. Η εξαγωγή πολιτικών συμπερασμάτων συνάδει με τη μετα-Κεϋνσιανή σκέψη: Πρώτον, προκρίνεται η στόχευση δημόσιων δαπανών με υψηλούς δημοσιονομικούς πολλαπλασιαστές και διαρκείς επιδράσεις στην παραγωγικότητα, ώστε να ενισχύεται η ενεργός ζήτηση. Δεύτερον, προτείνεται ελάφρυνση της φορολογικής επιβάρυνσης της εργασίας και αναπροσανατολισμός της φορολογικής βάσης προς το εισόδημα και τον πλούτο του κεφαλαίου, με σαφή προοδευτικότητα—τόσο ως εργαλείο χρηματοδότησης όσο και ως διόρθωση της λειτουργικής διανομής. Τρίτον, απαιτείται θεσμοθέτηση κανόνα-βασισμένων, αλλά προσαρμοστικών, μηχανισμών ανάδρασης που επιτρέπουν διακριτική, αντικυκλική παρέμβαση σε ιστορικό χρόνο και ενισχύουν την αξιοπιστία της δημοσιονομικής αρχιτεκτονικής. Η μεθοδολογία προχωρά πέρα από την παραδοσιακή προσομοίωση σεναρίων στο να μετατρέπει τη δημοσιονομική πολιτική σε διαδικασία εποπτευόμενης μάθησης με περιορισμούς, όπου η επιλογή εργαλείων καθορίζεται από την ελαχιστοποίηση ρητής συνάρτησης απώλειας υπό δυναμικούς περιορισμούς του συστήματος. Η ικανότητα αναδρομικής εκτίμησης παραμέτρων, η επιβολή φραγμών σε μεταβλητές πολιτικής, η στάθμιση μεταξύ βραχυπρόθεσμης απόκρισης και μεσοπρόθεσμης ομαλότητας και η χρήση τεχνικών σταθερότητας προσδίδουν στο πλαίσιο χαρακτηριστικά μηχανικής μάθησης. Ο ελεγκτής «μαθαίνει» τις αποδόσεις της πολιτικής σε πραγματικό χρόνο και τροποποιεί τη δράση του έτσι ώστε να μεγιστοποιεί την πιθανότητα επίτευξης των στόχων, ακόμα και όταν οι παράμετροι μεταβάλλονται ή οι εξωτερικοί κραδασμοί είναι σημαντικοί. Η συμβολή της διατριβής είναι διττή. Σε θεωρητικό επίπεδο, δείχνει ότι η μετα-Κεϋνσιανή οπτική, με την έμφαση στην ενεργό ζήτηση και στη διανομή της εισοδήματος, προσφέρεται ιδιαίτερα για μια ανάγνωση της οικονομίας ως συστήματος ελέγχου: ένα σύστημα με εισόδους, καταστάσεις, εξόδους, ανατροφοδότηση και κριτήρια ευστάθειας. Σε μεθοδολογικό επίπεδο, αναδεικνύει ότι οι αλγοριθμικές τεχνικές ελέγχου—ντετερμινιστικός ανοικτός βρόχος με συμβολική λύση και κλειστός βρόχος προσαρμογής βάσει βελτιστοποίησης—μπορούν να συγκροτήσουν ένα συνεκτικό πλαίσιο σχεδιασμού δημοσιονομικής πολιτικής που λειτουργεί αξιόπιστα υπό αβεβαιότητα και υστερήσεις. Η δημοσιονομική πολιτική, όταν αντιμετωπίζεται ως αντικείμενο ελέγχου με ρητές συναρτήσεις απώλειας, περιορισμούς και ανατροφοδότηση, παύει να είναι ένα εργαλείο μιας χρήσης και μετατρέπεται σε μια διαδικασία μάθησης και διαρκούς βαθμονόμησης. Παρά τα πλεονεκτήματα, η εργασία αναγνωρίζει όρια και δρόμους επέκτασης. Η βασική εκδοχή του υποδείγματος λειτουργεί σε κλειστή οικονομία και με συμπυκνωμένες συμπεριφορικές σχέσεις. Η ενσωμάτωση εξωτερικού τομέα θα έκανε τις υστερήσεις πιο ρεαλιστικές και θα εισήγαγε κανάλια διάχυσης που επηρεάζουν και τον χρονισμό και την ένταση των παρεμβάσεων. Επιπλέον, η ενδογένεια του περιθωρίου κέρδους και πιο πλούσιες συναρτήσεις προσδοκιών θα επέτρεπαν την αποτύπωση ισχυρότερων μη γραμμικών αλληλεπιδράσεων. Η μετάβαση από γραμμικά-ως-προς-τις-παραμέτρους σχήματα εκτίμησης σε μη γραμμικές τεχνικές, όπως πυρηνικές επεκτάσεις αναδρομικών ελαχίστων τετραγώνων ή περιορισμένη μη γραμμική προγνωστική ρύθμιση (MPC), είναι πρόσφορες κατευθύνσεις για μελλοντική έρευνα. Συνολικά, η διατριβή υποστηρίζει ότι η επιτυχής μακροοικονομική διαχείριση σε περιόδους μεταβλητότητας και θεσμικών περιορισμών απαιτεί πολιτικές που είναι ταυτόχρονα αναπτυξιακές και δημοσιονομικά αξιόπιστες, αλλά και σχεδιασμένες ως διαδικασίες μάθησης. Η σύζευξη μετα-Κεϋνσιανής θεωρίας με μαθηματικά εργαλεία ελέγχου δείχνει ότι είναι εφικτός ένας δημοσιονομικός σχεδιασμός που μαθαίνει από τα δεδομένα, προσαρμόζεται στο περιβάλλον και επιτυγχάνει στόχους ανάπτυξης χωρίς να θυσιάζει τη βιωσιμότητα του χρέους. Μέσα από αυτή τη σύζευξη, η δημοσιονομική πολιτική ανακτά τον ρόλο της ως ενεργό εργαλείο οικονομικής σταθεροποίησης και κοινωνικά βιώσιμης ανάπτυξης. Η δομή της διατριβής έχει ως εξής: Το Κεφάλαιο 1 εισάγει το ερευνητικό πρόβλημα και παρουσιάζει τη συνολική αρχιτεκτονική του έργου. Το Κεφάλαιο 2 συνοψίζει τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία. Το Κεφάλαιο 3 επισκοπεί τις θεωρίες δημοσιονομικής πολιτικής στο κυρίαρχο ρεύμα και στη μετα-Κεϋνσιανή προσέγγιση, με ιδιαίτερη αναφορά στην ελληνική περίπτωση. Το Κεφάλαιο 4 μεταφέρει τη θεωρία ελέγχου στα οικονομικά, παρουσιάζει τις αλγοριθμικές τεχνικές και τη διατύπωση της πολιτικής ως προβλήματος ελέγχου. Το Κεφάλαιο 5 ορίζει τα υποδείγματα: το μετα-Κεϋνσιανό και το Ad-PK. Το Κεφάλαιο 6 διατυπώνει το πρόβλημα ελέγχου για κάθε υπόδειγμα και παρουσιάζει τη μαθηματική του μορφοποίηση. Το Κεφάλαιο 7 αναπτύσσει τις μεθόδους επίλυσης και τους αλγορίθμους. Το Κεφάλαιο 8 παρουσιάζει τις προσομοιώσεις και τα αποτελέσματα. Το Κεφάλαιο 9 συνοψίζει τα ευρήματα. Το Κεφάλαιο 10 εξετάζει επεκτάσεις της διατριβής ενώ το κεφάλαιο 11 εισάγει τη μελλοντική έρευνα. Τέλος, το Κεφάλαιο 12 λειτουργεί ως επίλογος, το Κεφάλαιο 13 συγκεντρώνει τη βιβλιογραφία, τα Κεφάλαια 14-15 λειτουργούν ως παραρτήματα, ενώ τα Κεφάλαια 15–16 καταγράφουν τις δημοσιεύσεις και τα συνοδευτικά άρθρα.