Η ανάπτυξη της συνδυαστικής σκέψης παιδιών προσχολικής ηλικίας (4-6 ετών) με τη συμβολή ψηφιακών περιβαλλόντων μάθησης

Abstract

This dissertation deals with the development of combinatorial thinking in preschool children aged 4 to 6. Combinatorics is considered one of the most important branches of discrete mathematics (NCTM, 2000), and teaching it provides multiple benefits to students (observation skills, development of critical thinking, etc., Felda, 1996; Silwana et al., 2021; Pamungkas & Khaerunnisa, 2020; Yuberti et al., 2019), while laying the foundation for learning other mathematical concepts (Batanero et al., 1997; Graumann & Germany, 2002). It is therefore necessary to include combinatorics in the mathematics curriculum from the early stages of education through to the higher levels (English, 1993b; NCTM, 2000). The first researchers to study combinatorial thinking, Piaget & Inhelder (1958, 1975), argued that children are only capable of developing combinatorial thinking at the formal operational stage (ages 12 to 15). However, later researchers refuted this claim (Fishbein, 1975; 1970), finding that through appropriate teaching and learning contexts, younger students can develop combinatorial thinking. Various studies have been conducted in recent years in preschool education, examining students' errors, strategies, and modes of representation, as well as the role of digital tools in the development of combinatorial thinking (English, 1991; English, 1992; Siakalli, 2013; van Bommel & Palmer, 2018a, 2018b, 2018c; Kafoussi & Fessakis, 2009; Frantzeskaki, Kafoussi & Fessakis, 2020). However, there is limited research on the development of combinatorial thinking in preschool children aged 4 to 6, with no research to date examining: a) children's strategies regardless of the number of solutions they identified, b) the differences between children aged 4 to 5 and children aged 5 to 6, c) the comparison of learning environments with ICT and hands-on materials, and d) children's engagement with all types of combinatorial problems (combinations, permutations, arrangements). The purpose of this thesis is to investigate the combinatorial thinking of preschool children aged 4 to 6 years in two learning environments—with and without the use of ICT—for all types of combinatorial problems (combinations with and without repetition, permutations, arrangements without repetition, with and without restriction, and arrangements with repetition, with and without restriction) and, in particular: a) the influence of the two learning environments on the number of solutions identified by the children, b) the strategies developed by the children in all types of combinatorial problems in the two environments, c) the identification of any differences between children aged 4 to 5 and children aged 5 to 6, and d) the identification of children's mistakes and difficulties when engaging with all types of combinatorial problems.A total of 72 preschool children aged 4 to 6, 32 pre-kindergarteners and 40 kindergarteners, from four classes of a typical public kindergarten participated in the study. The classes were divided into two groups and worked in two different learning environments, with and without ICT, 37 and 35 children respectively, and worked on all types of combinatorial problems. Following the methodology of the teaching experiment, the research consisted of three phases: a) interviews before the intervention, b) teaching intervention implemented in the classroom, and c) interviews after the intervention. The research lasted approximately 6 months. The research data consisted of worksheets completed by the children during their engagement with all types of combinatorial problems, both before and after the intervention. The qualitative analysis of the results was based on content analysis, and the quantitative analysis was based on nonparametric statistical tests.Based on the results, the two learning environments did not appear to influence the children's performance, as both groups identified approximately the same number of solutions. The main strategies that emerged when the children engaged with all the combinatorial problems in both environments were: a) the use of a fixed element, b) the use of a pattern, c) the use of ABC elements, and d) the random selection of elements. The strategy of finding pairs was only identified in permutation and arrangement problems. Most children in all types of combinatorial problems (with the exception of the problem of combinations without repetition) used ABC elements. Few children used the odometer or partial odometer, as well as finding pairs both before and after the intervention. It is worth noting, however, that after the intervention, a smaller number of children were found to choose elements randomly. It should be noted that the children who found all or most of the solutions used the odometer and pairing strategies, strategies that were not found in those with fewer solutions.With regard to the performance of children aged 4 to 5 and children aged 5 to 6, a statistically significant difference was found, with children aged 5 to 6 performing better on many types of combinatorial problems, both before and after the intervention. It is worth noting that children aged 4 to 5, had more difficulty in arrangements problems with repetition, perhaps due to their increased demands. The strategy used mainly by both children aged 4 to 5 and children aged 5 to 6, was the use of ABC elements. It should be noted, however, that children aged 5 to 6 often used more sophisticated strategies (such as the odometer and finding pairs) than children aged 4 to 5. The most common mistake identified by children in all types of combinatorial problems was the use of elements in the same order. In addition, it was observed that in combinatorial problems, children use elements in permutations in their attempt to find a new solution. Another significant mistake identified was the use of the same element twice in a solution in combinatorial problems where this was not allowed (combinations without repetition, permutations and arrangements without repetition). In conclusion, the combinatorial problem that seemed to cause the most difficulty for the children was that of permutations, both before and after the intervention.Further research needs to be conducted in order to uncover additional data regarding the development of combinatorial thinking in preschool children aged 4 to 6. In particular, the effect of the nature of the elements (colors, shapes, etc.), the number of elements given in a problem, and the influence of not mentioning the number of possible solutions on their identification could be examined. In addition, interventions to address children's difficulties with permutation problems could be explored.

Η παρούσα διατριβή ασχολείται με την ανάπτυξη συνδυαστικής σκέψης παιδιών προσχολικής ηλικίας 4 έως 6 ετών. Η συνδυαστική θεωρείται ένας από τους πιο σημαντικούς κλάδους των διακριτών μαθηματικών (NCTM, 2000) και η διδασκαλία της παρέχει πολλαπλά οφέλη στους/στις μαθητές/τριες (ικανότητα παρατήρησης, ανάπτυξη κριτικής σκέψης κ.ά., Felda,1996; Silwana, κ.ά., 2021; Pamungkas & Khaerunnisa, 2020; Yuberti, κ.ά., 2019), θέτοντας ταυτόχρονα τη βάση για την εκμάθηση άλλων μαθηματικών εννοιών (Batanero, κ.ά., 1997; Graumann & Germany, 2002). Κρίνεται λοιπόν αναγκαίο η συνδυαστική να συμπεριληφθεί στο πρόγραμμα σπουδών των μαθηματικών από τις πρώτες βασικές βαθμίδες εκπαίδευσης μέχρι και τις ανώτερες (English, 1993b; NCTM, 2000). Οι πρώτοι ερευνητές που ασχολήθηκαν με τη συνδυαστική Piaget & Inhelder (1958,1975), υποστήριξαν ότι ένα παιδί είναι ικανό για την ανάπτυξη της συνδυαστικής σκέψης, μόνο στο επίσημο λειτουργικό στάδιο (12 έως 15 ετών). Μετέπειτα ερευνητές, ήρθαν όμως να αντικρούσουν αυτόν τον ισχυρισμό (Fishbein, 1975; 1970), διαπιστώνοντας ότι μέσα από κατάλληλα διδακτικά και μαθησιακά πλαίσια, οι μαθητές σε μικρότερη ηλικία μπορούν να αναπτύξουν συνδυαστική σκέψη. Ποικίλες έρευνες έχουν υλοποιηθεί τα τελευταία χρόνια, στην προσχολική εκπαίδευση, εξετάζοντας τα λάθη, τις στρατηγικές, τον τρόπο αναπαράστασης των μαθητών/τριών, καθώς και τον ρόλο των ψηφιακών εργαλείων στην ανάπτυξη της συνδυαστικής σκέψης (English, 1991; English, 1992; Σιακαλλή, 2013; van Bommel & Palmer, 2018a, 2018b, 2018c; Kafoussi & Fessakis, 2009; Frantzeskaki, Kafoussi & Fessakis, 2020). Ωστόσο, περιορισμένες είναι οι έρευνες που ασχολούνται με την ανάπτυξη συνδυαστικής σκέψης παιδιών προσχολικής ηλικίας 4 έως 6 ετών, με καμία έρευνα ως τώρα να εξετάζει: α) τις στρατηγικές των παιδιών ανεξάρτητα από τον αριθμό λύσεων που εντόπισαν, β) τις διαφορές μεταξύ προνηπίων και νηπίων , γ) τη σύγκριση περιβαλλόντων μάθησης με ΤΠΕ και χειραπτικά υλικά, καθώς και δ) την εμπλοκή των παιδιών με όλους τους τύπους προβλημάτων συνδυαστικής (συνδυασμούς, μεταθέσεις, διατάξεις). Σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η διερεύνηση της συνδυαστικής σκέψης παιδιών προσχολικής ηλικίας 4 έως 6 ετών, σε δύο περιβάλλοντα μάθησης -χωρίς και με χρήση ΤΠΕ- για όλους τους τύπους προβλημάτων συνδυαστικής (συνδυασμοί χωρίς και με επανάληψη, μεταθέσεις, διατάξεις χωρίς επανάληψη, χωρίς και με περιορισμό και διατάξεις με επανάληψη, χωρίς και με περιορισμό) και ειδικότερα: α) την επιρροή των δυο περιβαλλόντων μάθησης, στον αριθμό λύσεων που εντόπισαν τα παιδιά, β) τις στρατηγικές που ανέπτυξαν τα παιδιά σε όλους τους τύπους προβλημάτων συνδυαστικής στα δύο περιβάλλοντα, γ) τον εντοπισμό τυχόν διαφορών μεταξύ προνηπίων και νηπίων και δ) τον εντοπισμό λαθών και δυσκολιών των παιδιών κατά την εμπλοκή τους με όλους τους τύπους προβλημάτων συνδυαστικής. Στην έρευνα έλαβαν μέρος συνολικά 72 παιδιά προσχολικής ηλικίας 4 έως 6 ετών, 32 προνήπια και 40 νήπια, από τέσσερα τμήματα ενός τυπικού δημοσίου νηπιαγωγείου. Τα τμήματα χωρίστηκαν σε δύο ομάδες και εργάστηκαν σε δύο διαφορετικά περιβάλλοντα μάθησης, χωρίς και με ΤΠΕ, 37 και 35 παιδιά αντίστοιχα και εργάστηκαν με όλους τους τύπους προβλημάτων συνδυαστικής. Ακολουθώντας τη μεθοδολογία του διδακτικού πειράματος, η έρευνα αποτελούνταν από τρεις φάσεις: α) συνεντεύξεις πριν την παρέμβαση, β) διδακτική παρέμβαση που υλοποιήθηκε στηντάξη και γ) συνεντεύξεις μετά την παρέμβαση. Η έρευνα διήρκησε περίπου 6 μήνες. Δεδομένα της έρευνας αποτέλεσαν τα φύλλα εργασίας που συμπληρώθηκαν από τα παιδιά κατά την εμπλοκή τους με όλους τους τύπους προβλημάτων συνδυαστικής, τόσο πριν όσο και μετά την παρέμβαση. Η ποιοτική ανάλυση των αποτελεσμάτων στηρίχθηκε στη μέθοδο ανάλυσης περιεχομένου και η ποσοτική ανάλυση σε στατιστικούς μη παραμετρικούς ελέγχους.Βάσει αποτελεσμάτων, τα δύο περιβάλλοντα μάθησης, δε φάνηκε να έχουν επιρροή στις επιδόσεις των παιδιών, αφού και οι δύο ομάδες εντόπισαν περίπου τον ίδιο αριθμό λύσεων. Οι κύριες στρατηγικές που αναδύθηκαν κατά την εμπλοκή των παιδιών με όλα τα προβλήματα συνδυαστικής και στα δύο περιβάλλοντα ήταν οι εξής: α) η χρήση σταθερού στοιχείου, β) η χρήση μοτίβου, γ) η χρήση στοιχείων ΑΒΓ και δ) η τυχαία επιλογή στοιχείων. Η στρατηγική της εύρεσης ανά ζεύγη εντοπίστηκε μόνο στα προβλήματα των μεταθέσεων και διατάξεων. Τα περισσότερα παιδιά σε όλους τους τύπους προβλημάτων συνδυαστικής (με εξαίρεση το πρόβλημα των συνδυασμών χωρίς επανάληψη), έκαναν χρήση στοιχείων ΑΒΓ. Ελάχιστα παιδιά έκαναν χρήση οδόμετρου ή μερική χρήση οδόμετρου, καθώς και εύρεση ανά ζεύγη τόσο πριν όσο και μετά την παρέμβαση. Αξίζει ωστόσο να σημειωθεί ότι μετά την παρέμβαση, εντοπίστηκε μικρότερος αριθμός των παιδιών που επέλεγαν τυχαία τα στοιχεία. Επισημαίνεται ότι στα παιδιά που εντόπισαν όλες ή τις περισσότερες λύσεις εντοπίστηκαν στρατηγικές οδόμετρου και εύρεση ανά ζεύγη, στρατηγικές που δεν εντοπίστηκαν σε εκείνα με τις λιγότερες λύσεις. Όσον αφορά την επίδοση των προνηπίων και νηπίων, εντοπίστηκε στατιστικά σημαντική διαφορά, με τα νήπια να έχουν καλύτερες επιδόσεις σε πολλούς τύπους προβλημάτων συνδυαστικής, τόσο πριν όσο και μετά την παρέμβαση. Αξίζει να επισημανθεί ότι τα προνήπια δυσκολεύτηκαν περισσότερα στα προβλήματα των διατάξεων με επανάληψη ίσως λόγω των αυξημένων απαιτήσεών τους. Η στρατηγική που χρησιμοποιήθηκε κυρίως τόσο από προνήπια όσο και νήπια, ήταν η χρήση στοιχείων ΑΒΓ. Σημειώνεται, ωστόσο, ότι τα νήπια έκαναν συχνά χρήση πιο εξελιγμένων στρατηγικών (τύπου οδόμετρου και εύρεση ανά ζεύγη) σε σχέση με τα προνήπια. Το πιο συχνό λάθος που εντοπίστηκε από τα παιδιά σε όλους τους τύπους προβλημάτων συνδυαστικής ήταν η χρήση στοιχείων με την ίδια σειρά. Επιπλέον παρατηρήθηκε ότι στα προβλήματα συνδυασμών, τα παιδιά κάνουν χρήση στοιχείων σε αντιμετάθεση, στην προσπάθειά τους να εντοπίσουν μία νέα λύση. Σημαντικό επίσης λάθος που εντοπίστηκε, ήταν η χρήση του ίδιου στοιχείου δύο φορές σε μία λύση, στα προβλήματα συνδυαστικής που δεν επιτρεπόταν (συνδυασμοί χωρίς επανάληψη, μεταθέσεις και διατάξεις χωρίς επανάληψη). Κλείνοντας, το πρόβλημα συνδυαστικής που φάνηκε να δυσκολεύει περισσότερο τα παιδιά ήταν εκείνο των μεταθέσεων τόσο πριν όσο και μετά την παρέμβαση Περαιτέρω έρευνες χρειάζεται να διεξαχθούν, ώστε να αναδυθούν κι άλλα στοιχεία σχετικά με την ανάπτυξη συνδυαστικής σκέψης παιδιών προσχολικής ηλικίας 4 έως 6 ετών. Ειδικότερα θα μπορούσε να εξεταστεί η επίδραση της φύσης των στοιχείων, (χρώματα, σχήματα κλπ.), του αριθμού των στοιχείων που δίνονται σε ένα πρόβλημα, καθώς και η επιρροή της μη αναφοράς του αριθμού των δυνατών λύσεων στον εντοπισμό τους. Επιπλέον, θα μπορούσε να διερευνηθούν παρεμβάσεις για την αντιμετώπιση των δυσκολιών των παιδιών στα προβλήματα των μεταθέσεων.