Ανάπτυξη υπολογιστικών μεθόδων στη ρητή παρεμβολή με εφαρμογή σε προβλήματα της θεωρίας ελέγχου

Abstract

The purpose of this thesis is the development of numerical computational methods using rational interpolation, as well as their application in control theory problems. Evaluation - Rational Interpolation (E-RI) technique is one of these methods. E-RI is used for the computation of the exact rational expression according to the data of each problem. It uses numerical operations at most. That is the reason why E-RI is proposed against analytic solutions. Evaluation - rational interpolation technique consists of two parts. In the first part (evaluation part) some values are calculated and as a result a data set is defined. In the second part (rational interpolation part) a rational interpolation method is applied in this data set and the unique rational expression is computed. The solution of many control theory problems is a rational expression. E-RI technique is used for the computation of the exact rational function according to the data of each control theory problem. In the first chapter of this thesis, some basic concepts of interpolation are presented. Then in chapter two rational interpolation is presented, while E-RI technique is also presented in the third one. Additionally chapter four is for the presentation of some evaluation - rational interpolation methods for univariate functions, and chapter five is for the application of some of these methods in control theory problems such as computation of greatest common divisor of univariate polynomials, computation of the inverse as well as the Moore-Penrose and Drazin generalized inverse of a polynomial matrices. Computation of the determinant of a rational matrix is another issue that E-RI technique can be used. It consists a prerequisite for the computation of the moment of a force which is a core problem in physics and it is also presented. Finally in chapter six some evaluation - rational interpolation methods for bivariate functions are presented.

Η παρούσα διατριβή επικεντρώνεται στην ανάπτυξη υπολογιστικών μεθόδων στην ρητή παρεμβολή καθώς και σε εφαρμογές αυτών σε προβλήματα της θεωρίας ελέγχου. Η υπολογιστική μέθοδος υπολογισμού - ρητής παρεμβολής (evaluation - rational interpolation (E-RI)) είναι μία τεχνική η χρήση της οποίας οδηγεί στον υπολογισμό της ζητούμενης ρητής συνάρτησης παρεμβολής με βάση τα δεδομένα του εκάστοτε προβλήματος που μελετάται. Κατά την εκτέλεση της υπολογιστικής μεθόδου, πραγματοποιούνται αριθμητικές και στοιχειώδεις πολυωνυμικές πράξεις, σε αντίθεση με την αναλυτική λύση που θα απαιτούσε την διενέργεια συμβολικών πράξεων. Πιο συγκεκριμένα, η υπολογιστική μέθοδος υπολογισμού - ρητής παρεμβολής αποτελείται από δύο στάδια, το στάδιο του υπολογισμού κατά το οποίο γίνεται υπολογισμός ενός συγκεκριμένου πλήθους τιμών βάση των δεδομένων του προβλήματος που μελετάται, και το στάδιο της ρητής παρεμβολής, κατά το οποίο εφαρμόζεται κάποια από τις μεθόδους ρητής παρεμβολής και γίνεται υπολογισμός της ζητούμενης ρητής συνάρτησης. Αξίζει να σημειωθεί το γεγονός ότι πολλά προβλήματα της θεωρίας ελέγχου έχουν ως λύση μια ρητή συνάρτηση. Με τη βοήθεια της τεχνικής υπολογισμού - ρητής παρεμβολής μπορούμε να υπολογίσουμε την μοναδική ρητή συνάρτηση η οποία αποτελεί τη λύση του εκάστοτε προβλήματός τους. Στα κεφάλαια που ακολουθούν, αφού παρουσιαστούν κάποιες εισαγωγικές έννοιες στο πρώτο κεφάλαιο, ακολουθεί μία παρουσίαση της ρητής παρεμβολής στο δεύτερο καθώς επίσης και της υπολογιστικής μεθόδου υπολογισμού - ρητής παρεμβολής στο τρίτο κεφάλαιο αντίστοιχα. Ακολούθως στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται κάποιες από τις μεθόδους ρητής παρεμβολής που έχουν μελετηθεί ενώ στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται εφαρμογές της τεχνικής σε προβλήματα της θεωρίας ελέγχου όπως ο υπολογισμός του μέγιστου κοινού διαιρέτη μεταξύ πολυωνύμων, ο υπολογισμός του αντίστροφου πολυωνυμικού πίνακα, ο υπολογισμός των Moore - Penrose και Drazin γενικευμένων αντίστροφων πολυωνυμικών πινάκων, τα οποία έχουν ως λύσεις τους ρητές συναρτήσεις. Επιπλέον παρουσιάζεται και μία εφαρμογή της τεχνικής στο πρόβλημα υπολογισμού της ορίζουσας ρητού πίνακα, καθώς επίσης παρουσιάζεται ένα πρόβλημα που έχει άμεση εφαρμογή κατά τον υπολογισμό της ροπής μιας δύναμης. Τέλος, στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζονται ορισμένες μέθοδοι ρητής παρεμβολής για συναρτήσεις δύο μεταβλητών.