Εφαρμογές των στοχαστικών διατάξεων στη θεωρία συλλογικού κινδύνου

Abstract

Roughly speaking, stochastic orders are a powerful tool from probability theory that allows random variables to be compared. In several cases, we are interested in comparing two variables, for example, in Insurance Mathematics, if these random variables represent individual claims, then their comparison enables us to compare the risk associated with the two portofolios. Additionally, stochastic orders help in finding bounds or approximations for random variables that their characteristics (e.g. right-tail distribution, failure rate function, etc) are difficult to obtain analytically. The theory of stochastic orders has been proposed as a significant tool in studying stochastic models with applications in queueing theory, finance, reliability theory and collective risk theory. In this thesis, we first study ruin theory by illustrating the classical model and classical model perturbed by diffusion, providing some examples with known distribution functions for better understanding. In the second Chapter, we present some well known stochastic orders, as well as describe their direct connection with aging classes (or reliability classes). The classification of random variables based on the monotonicity of certain characteristic functions (failure rate, mean residual function, Laplace transform, etc) provides important information about them. In the third Chapter, we present some stochastic orders and aging classes related to the Laplace transform. In particular, we enrich the literature by defining some new aging classes. We show that the NBULt class is closed under convolution and we also obtain results for the ratio of derivatives of the Laplace transform between two distributions. It is natural that the comparison of random variables does not always hold over their entire domain. We believe that a more realistic perspective is the comparison of random variables over an interval. In the fourth Chapter, we describe known results from the literature on stochastic orders over an interval and define some new stochastic orders over an interval related to the Laplace transform, applying these results to Ruin theory. In the fifth Chapter, we apply the theory of stochastic orders to risk models. Specifically, we give a brief review of the literature and then provide new results about stochastic comparisons of ruin-related quantities, such as compound geometric random variables and the deficit at ruin, in the classical or the renewal model. We also give some comparison results for the classical risk process with diffusion. Finally, in the sixth Chapter, we describe the connection between stochastic orders and probability metrics. Although seemingly unrelated, these concepts are directly connected. Probability metrics help us to obtain bounds and approximations for unknown random variables. We present some well known probability metrics and describe their connection to the stochastic orders studied in our thesis in previous chapters. We also study the problem of stability of the classical risk model regarding the probability of ruin and the deficit at the time of ruin, providing some numerical examples.

Οι στοχαστικές διατάξεις αφορούν τη σύγκριση τυχαίων μεταβλητών υπό κάποια στοχαστική έννοια. Σε πολλές περιπτώσεις μας ενδιαφέρει να συγκρίνουμε δύο μεταβλητές, για παράδειγμα στα Αναλογιστικά μαθηματικά (insurance mathematics) αν οι μεταβλητές αυτές παριστάνουν ατομικές ζημιές σε δύο χαρτοφυλάκια και μία μεταβλητή είναι μεγαλύτερη από την άλλη υπό κάποια έννοια, τότε το αντίστοιχο χαρτοφυλάκιο παρουσιάζει μεγαλύτερη επικινδυνότητα. Επίσης, οι στοχαστικές διατάξεις μας βοηθάνε στην εύρεση φραγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ο υπολογισμός κάποιων συναρτήσεων τους (δεξιά ουρά, βαθμίδα αποτυχίας κ.α.) είναι πολύπλοκος. Η θεωρία των στοχαστικών διατάξεων έχει αποτελέσει ένα σημαντικό εργαλείο στη μελέτη στοχαστικών μοντέλων με εφαρμογές στη θεωρία των ουρών, στη θεωρία αξιοπιστίας, στα χρηματοοικονομικά και στη θεωρία του συλλογικού κινδύνου. Στην παρούσα διατριβή, αρχικά μελετάμε τη θεωρία Χρεοκοπίας αναπτύσσοντας το κλασικό μοντέλο και το κλασικό μοντέλο εφοδιασμένο με διάχυση και δίνουμε κάποια παραδείγματα με γνωστές κατανομές για την καλύτερη κατανόηση. Στο δεύτερο Κεφάλαιο παρουσιάζουμε γνωστές στοχαστικές διατάξεις της βιβλιογραφίας, όπως επίσης, περιγράφουμε την άμεση σύνδεσή τους με τις κλάσεις γήρανσης (ή κλάσεις αξιοπιστίας). Η κατηγοριοποίηση (σε κλάσεις) τυχαίων μεταβλητών συναρτήσει της μονοτονίας κάποιων χαρακτηριστικών συναρτήσεων τους (βαθμίδα αποτυχίας, συνάρτηση μέσου υπολειπόμενου χρόνου κ.α.) μας δίνει σημαντική πληροφορία για την ίδια την τυχαία μεταβλητή. Στο τρίτο Κεφάλαιο δίνουμε κάποιες στοχαστικές διατάξεις και κλάσεις γήρανσης σχετιζόμενες με το μετασχηματισμό Laplace και εμπλουτίζουμε τη βιβλιογραφία ορίζοντας κάποιες νέες κλάσεις γήρανσης. Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε την κλειστότητα ως προς τις συνελίξεις της κλάσης NBULt, όπως επίσης, δίνουμε κάποια αποτελέσματα για το λόγο των παραγώγων των μετασχηματισμών Laplace. Είναι γεγονός ότι πολλές φορές δεν διατηρείται η σύγκριση τυχαίων μεταβλητών σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού τους. Μια πιο ρεαλιστική οπτική, είναι η σύγκριση τυχαίων μεταβλητών υπό κάποια στοχαστική έννοια πάνω σε διάστημα. Στο τέταρτο Κεφάλαιο, περιγράφουμε γνωστά αποτελέσματα της βιβλιογραφίας των στοχαστικών διατάξεων πάνω σε διάστημα και ορίζουμε νέες στοχαστικές διατάξεις πάνω σε διάστημα σχετιζόμενες με το μετασχηματισμό Laplace εφαρμόζοντας αυτά τα αποτελέσματα στη θεωρία χρεοκοπίας. Στο πέμπτο Κεφάλαιο εφαρμόζουμε τη θεωρία των στοχαστικών διατάξεων σε υποδείγματα της θεωρίας κινδύνων. Συγκεκριμένα, δίνουμε μια σύντομη επισκόπηση της βιβλιογραφίας και στη συνέχεια μελετάμε στοχαστικές διατάξεις και κλάσεις αξιοπιστίας που αφορούν ποσότητες σχετιζόμενες με τη χρεοκοπία (πιθανότητα χρεοκοπίας, κατανομή του ελλείμματος τη στιγμή της χρεοκοπίας, κ.α.) στο κλασικό μοντέλο και στο κλασικό μοντέλο εφοδιασμένο με διάχυση. Επίσης, μελετάμε υπό ποιες συνθήκες οι στοχαστικές διατάξεις μεταξύ των ζημιών διατηρούνται και για τις αντίστοιχες μέγιστες σωρευτικές απώλειες. Τέλος, στο έκτο Κεφάλαιο περιγράφουμε τη σύνδεση των στοχαστικών διατάξεων με τις μετρικές πιθανοτήτων. Όσο και αν φαίνονται ξένα εργαλεία μεταξύ τους, αποδεικνύεται ότι σχετίζονται άμεσα. Όπως και οι στοχαστικές διατάξεις, έτσι και οι μετρικές πιθανοτήτων μας βοηθάνε να αποκτήσουμε φράγματα και προσεγγίσεις για άγνωστες τυχαίες μεταβλητές. Εμείς παρουσιάζουμε γνωστές μετρικές πιθανοτήτων και περιγράφουμε τη σύνδεσή τους με τις στοχαστικές διατάξεις που μελετήσαμε στην παρούσα διατριβή. Μελετάμε το πρόβλημα ευστάθειας (problem of stability) για το κλασικό μοντέλο χρεοκοπίας όσον αφορά την πιθανότητα χρεοκοπίας και το έλλειμμα τη στιγμή της χρεοκοπίας, δίνοντας επιπλέον κάποια αριθμητικά παραδείγματα.