Αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων και προς τα πίσω ανάλυση σφάλματος

Abstract

Many problems of this type appear in orbital mechanics they have as a common feature the fact that usually , there is only interest in obtaining the values of the dependent variable , forgetting the values of the derivative . Generally , the most effective way to solve this problem consist in using an initial or starting method and after that , integrating the problem. This is done by meansof a direct integration multi step method. Methods of this type are the classical Störmer-Cowell formulae but , it has been observed in practice that , when more than two steps are used , the numerical solution spirals inwards. Stefiel and Bettis refer to this phenomenon as orbital unstability. When problems with periodic solution , are integrated numerically , it is desirable that the numerical solution is also periodic , with similar periodic as the analytic one. An appropriate requirement for the numerical methods which integrate periodic problems is P-stability in the sense given by Lambert and Watson. Thus we can obtain multi step linear methods with good periodicity properties for the numerical integration of periodic problems. Ιn any problem with a periodic solution, even if the frequency of the problem is initially unknown, we have methods with constant coefficients. The methods in this class must be P- stable and this is necessary in the case of problems with extremely oscillating solutions. An important contribution is the work of Hairer in which lower order P-stabe methods have been developed, Various methods have been proposed in order to overcome the drawback of orbital instability such are the modified methods Störmer-Cowell all of which methods , however , require an a priori knowledge of the frequency. Therefore we will encounter initial value problems whose frequency is known a priori, as well as problems for which we have no knowledge of their frequency. Lambert and Watson dealt with problems for which we have no knowledge of their frequency and defined the conditions under which a linear mutlistep method has a non-vanishing interval of periodicity. More specifically, Lambert and Watson presented certain linear mutlistep methods of an arbitrary number of steps , which have the property of periodicity when the number of steps as well as the angular frequency move within a defined interval , the interval of periodicity. The aim of the present doctoral dissertation is the development of faster and more reliable algorithms for the solution of the Schrödinger equation as well as related problems. The results of the research we conducted is the development of such methods which refer to common differential equations with oscillatory of periodic solutions. The reason for their effectiveness , as proven by the analysis we performed, is that in these new methods the phase-lag as well as its derivatives vanish. Another reason is that the methods we developed are of a higher algebraic order.

Πολλά προβλήματα δεύτερης τάξης αρχικών τιμών εμφανίζονται στην τροχιακή μηχανική που έχουν ως κοινό χαρακτηριστικό το γεγονός ότι η πρώτη παράγωγος απουσιάζει. Από τους πιο αποτελεσματικούς τρόπους για την επίλυση αυτών των προβλημάτων συνίσταται στη χρήση μια αρχικής μεθόδου και στη συνέχεια στην αριθμητική ολοκλήρωση του προβλήματος. Αυτό επιτυγχάνεται συνήθως μέσω μια άμεσης μεθόδου ολοκλήρωσης πολλαπλών σταδίων. Μέθοδοι αυτού του τύπου είναι οι κλασσικοί τύποι Stromer – Cowell γραμμικών πολυβηματικών μεθόδων , οι οποίοι έχουν το μειονέκτημα ότι η αριθμητική λύση στρέφεται προς τα μέσα , όταν ο αριθμός των βημάτων της μεθόδου υπερβαίνει τα δύο. Οι Stiefel και Bettis αναφέρονται στο φαινόμενο αυτό ως τροχιακή αστάθεια . ́Οταν τα προβλήματα με περιοδική λύση, ολοκληρώνονται αριθμητικά, είναι επιθυμητό η αριθμητική λύση να είναι επίσης περιοδική, με παρόμοια περίοδο με την πραγματική. Μια κατάλληλη απαίτηση για αριθμητικές μεθόδους που ολοκληρώνουν περιοδικά προβλήματα είναι η ιδιότητα P-stability μια έννοια που δίνεται από τους Lambert και Watson .‘Ετσι μπορούμε να αποκτήσουμε πολυβηματικές γραμμικές μεθόδους με καλές ιδιότητες περιοδικό-τητας για την αριθμητική ολοκλήρωση περιοδικών προβλημάτων. Σε οποιοδήποτε πρόβλημα με περιοδική λύση , ακόμη και αν η συχνότητα του προβλήματος είναι αρχικά άγνωστη , έχουμε μεθόδους με σταθερούς συντελεστές. Οι μέθοδοι αυτής της κατηγορίας πρέπει να είναι P-stable , και αυτό ισχύει ιδιαίτερα στην περίπτωση προβλημάτων με εξαιρετικά ταλαντωτικές λύσεις. Μια σημαντική συμβολή για τις P-stable μεθόδους είναι η εργασία του Hairer στην οποία έχουν αναπτυχθεί μέθοδοι P-stabe χαμηλότερης τάξης. ́Εχουν προταθεί διάφορες μέθοδοι για να ξεπεραστεί το μειονέκτημα της τροχιακής αστάθειας , όπως οι τροποποιημένες μέθοδοι Störmer – Cowell , οι οποίες όμως όλες αυτές οι μέθοδοι απαιτούν από πριν γνώση της συχνότητας. ́Ετσι θα συναντήσουμε προβλήματα αρχικών τιμών των οποίων η συχνότητά τους θα είναι γνωστή εκ των προτέρων καθώς και προβλήματα των οποίων δεν έχουμε καμία γνώση της συχνότητάς τους. Με προβλήματα για τα οποία δεν έχουμε γνώση της συχνότητάς τους ασχολήθηκαν οι Lambert και Watson οι οποίοι όρισαν τις συνθήκες κατά τιςοποίες μια γραμμική πολυβηματική μέθοδος έχει ένα μη- εξαφανιζόμενο διάστημα περιοδικότητας. Συγκεκριμένα οι Lambert και Watson παρουσίασαν ορισμένες γραμμικές πολυβηματικές μεθόδους αυθαίρετου αριθμού βημάτων , οι οποίες έχουν την ιδιότητα της περιοδικότητας όταν ο αριθμός των βημάτων καθώς και η γωνιακή συχνότητα κινούνται εντός ενός ορισμένου διαστήματος , το διάστημα περιοδικότητας. Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η κατασκευή ταχύτερων και πιο αξιόπιστων αλγορίθμων για την επίλυση της εξίσωσης Schrödinger καθώς και συναφή προβλημάτων. Το αποτέλεσμα της έρευνας που πραγματοποιήσαμε είναι η κατασκευή τέτοιων μεθόδων που αφορούν συνήθεις διαφορικές εξισώσεις με ταλαντωτικές ή περιοδικές λύσεις. Ο λόγος της αποτελεσματικότητάς τους, όπως αποδεικνύεται από την ανάλυση που κάναμε, είναι ότι στις νέες μεθόδους η φάση υστέρησης αλλά και οι παράγωγοι αυτών εξαλείφονται. ́Ενας επιπλέον λόγος είναι πως οι μέθοδοι που κατασκευάσαμε είναι υψηλότερης αλγεβρικής τάξης.