Decoherence and localization in open systems

Abstract

If quantum theory is the fundamental theory of everything, as it is widely believed today, the a priori division of the world into classical measuring apparatuses and quantum mechanical systems as assumed by the Copenhagen interpretation causes a host of problems. One of the main ones regards the issue of emergence of classical behavior. Attempts to thoroughly study this last problem lead to the development of two ambitious programs, namely decoherent histories and environmentally induced decoherence. Within this frames I utilized quantum state diffusion which is a recently proposed model and the path integral representation of the density matrix propagator in order to study classical behavior in open quantum systems and specifically in quantum Brownian motion. The questions I mainly dealt with, had to do with decoherence and localization in phase space and with the comparison between different methods approaching these issues.In Chapter 2 I present the results of the application of the quantum state diffusion picture in quantum Brownian motion models. I show how to identify stationary solutions to this picture and prove their global stability for quadratic potentials. They are generalized coherent states and we use them to construct the reduced density matrix for the system under study. Every initial density matrix will become approximately diagonal in thosestates with the weight of each state positive by construction. Finally we comment on the connection with decoherent histories.In chapter 3, I apply the same picture to a different class of models and concentrate on questions similar to those mentioned above.In Chapter 4 we show the density matrix diagonalization using the path integral representation of the density operator propagator for Brownian motion. This has the advantage of giving the explicit expression for the weight of each state in the diagonal form of the density matrix. We thus extend the results of Chapter 2. The weight is approximately equal to the Wigner function for times greater than localization time and we prove the Wigner function to become positive on time scales of the same order.In Chapter 5 we use the same method to analyse the coupling of quantum to classical in the presence of decohering environment, in a generalized measurement model. We exhibit the diagonalization of the density matrix describing both systems in a set of 2-dimensional generalized coherent states. Using this result we then show that if the initial state of the quantum system is a superposition of two Gaussians this will result in a splitting of the classical system’s trajectories weighted by the amplitudes of this superposition.The question related to the decoherence properties of the quantum system is explored and this system is found to decohere under the coupling with the classical system.We conclude and summarize in Chapter 6 and we also discuss possible future directions.

Αποδεχόμενοι τη γενικότητα της κβαντικής θεωρίας, ο χωρισμός του κόσμου σε κλασσικές μετρητικές συσκευές και κβαντικά σύμφωνα με τη σχολή της Κοπεγχάγης δημιουργεί σωρία προβλημάτων. Ένα από τα κυριότερα αφορά την εξήγηση της εμφάνισης της κλασσικής συμπεριφοράς. Στην προσπάθεια ολοκληρωμένης μελέτης του τελευταίου αυτού προβλήματος είχαμε την ανάπτυξη δύο φιλόδοξων προγραμμάτω, των αποσυζευγμένων Ιστοριών και της από το περιβάλλον προκαλούμενης αποσύζευξης. Μέσα σε αυτά τα πλαίσια χρησιμοποίησα, ένα προσφάτως προτεινόμενο μοντέλο, τη διάχυση κβαντικής κατάστασης, και την αναπαράσταση με ολοκλήρωμα διαδρομής του διαδότη της μήτρας πυκνότητας για την μελέτη της κλασσικής συμπεριφοράς σε ανοικτά κβαντικά συστήματα και συγκεκριμένα στην κβαντική κίνηση Brown. Τα ερωτήματα με τα οποία ως επί το πλείστον ασχολήθηκα είχαν να κάνουν με την αποσύζευξη και τον εντοπισμό στο φασικό χώρο και με τη σύγκριση μεταξύ των διαφορετικών τρόπων προσέγγισης των θεμάτων αυτών. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζω τα αποτελέσματα της εφαρμογής της εικόνας (μοντέλου) της διάχυσης κβαντικής κατάστασης στην κβαντική κίνηση Brown. Δείχων πως να αναγνωρίσουμε στάσιμες λύσεις του μοντέλου αυτού και αποδεικνύω την ολική του σταθερότητα για δευτεροβάθμια δυναμικά. Αυτές οι στάσιμες λύσεις είναι γενικευμένες σύμφωνες καταστάσεις και τις χρησιμοποιούμε για να κατασκευάσουμε την ανηγμένη μήτρα πυκνότητας. Κάθε αρχική μήτρα πυκνότητας θα γίνει προσεγγιστικά διαγώνια στη βάση αυτών των καταστάσεων με την πυκνότητα κάθε κατάστασης θετική από κατασκευής. Τελικά σχολιάζουμε τη σύνδεση με τις αποσυζευγμένες ιστορίες. Στο τρίτο κεφάλαιο χρησιμοποιώ το ίδιο μοντέλο για μια διαφορετική τάξη φυσικών συστημάτων και επικεντρώνω την προσοχή μου σε θέματα παρόμοια με το προηγούμενο κεφάλαιο. Στο τέταρτο κεφάλαιο δείχνουμε τη διαγωνιοποίηση της μήτρας πυκνότητας χρησιμοποιώντας την αναπαράσταση με ολοκλήρωμα διαδρομής του διαδότη της μήτρας πυκνότητας στην κβαντική κίνηση Brown. Αυτός ο τρόπος μας δείχνει το πλεονέκτημα του να πάρουμε την αναλυτική έκφραση της πυκνότητας της κάθε κατάστασης στη διαγώνια μορφή της μήτρας πυκνότητας. Έτσι τελειοποιούμε τα αποτελέσματα του δεύτερου κεφαλαίου. Αυτή η πυκνότητα είναι περίπου ίση με τη συνάρτηση Wigner για χρόνους μεγαλύτερους του χρόνου εντοπισμού και αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση Wigner γίνεται θετική για χρονικές τάξεις μεγέθους παρόμοιες με αυτή του χρόνου εντοπισμού. Στο πεμπτο κεφάλαιπο χρησιμοποιώ την ίδια μέθοδο με το προηγούμενο για να αναλύσω τη ζεύξη "κβαντικού" με "κλασσικό" υπό την επίδραση αποσυζευκτικού περιβάλλοντος, βασισμένος σε ένα γενικευμένο μοντέλο κβαντικής μέτρησης. Δείχνω τη διαγωνιοποίηση της μήτρας πυκνότητας που περιγράφει και τα δύο συστήματα, στη βάση από δισδιάστατες γενικευμένες Γκαουσσιανές. Χρησιμοποιώντας αυτό το αποτέλεσμα δείχνω ότι αν η αρχική κατάσταση του κβαντικού συστήματος είναι μία επαλληλία από δύο Γκαουσσιανές θα έχουμε ως αποτέλεσμα τη διάσπαση των τροχιών του κλασσικού συστήματος με βάρη τα πλάτη της επαλληλίας. Η ερώτηση σχετικά με τις αποσυζευκτικές ιδιότητες του κβαντικού συστήματος ερευνάται και βρίσκουμε ότι και γι αυτό το σύστημα έχουμε αποσύζευξη κάτω από τη ζεύξη με το κλασσικό σύστημα. Στο έκτο κεφάλαιο δίνουμε τα συμπεράσματα και τις πιθανές μέλλουσες κατευθύνσεις.