Advanced high performance computing methods for the solution of crack propagation and material design problems using the extended finite element method (XFEM)

Abstract

The need for advanced high-performance materials in the industry led to the development of various innovative solutions over the years, designed to possess application-specific properties, such as improved thermal conductivity. To model heat transfer in composite materials, their complex micro-structure, as well as the thermal resistance at the interfaces between materials must be taken into account. The standard finite element treatment requires very fine meshes to conform to the complex geometry of these interfaces. This thesis proposes an eXtended Finite Element Method (XFEM) formulation that captures the temperature jump by enriching the polynomial approximation around the material interfaces with appropriate discontinuous functions. Specifically, a new XFEM enrichment scheme is developed to address the issue of multiple-phase junctions, namely areas where multiple interfaces with different resistance properties intersect. In addition, a double-mesh LSM technique is developed for describing the geometry of material interfaces. A very fine mesh is employed by a Level Set Method (LSM) to represent complex interface geometries with high accuracy, whereas XFEM uses a mesh that does not conform to the material interfaces, but is instead a coarser version of the LSM mesh, to reduce the computational cost of the analysis. The combined numerical model is first validated against existing results from the literature on polycrystalline materials. Then, it is applied for heat conduction analysis of polymers reinforced with carbon-nanotubes. The unknown thermal resistance between these materials is inferred by calibrating the numerically predicted effective conductivity to corresponding experimental measurements. The proposed XFEM model can be straightforwardly extended to other similar problem types, such us elasticity or electrical conduction. XFEM is also an attractive choice for modeling crack propagation, by enriching the polynomial displacement field of FEM with specialized non-smooth functions, without the need of remeshing in the vicinity of the crack at each propagation step. However, this enrichment causes the stiffness matrix to become strongly ill-conditioned, rendering the convergence of iterative solvers very slow. On the other hand, direct solvers are inefficient in 3D problems, due to the increased bandwidth of the system matrix. In this thesis, two domain decomposition solvers, namely FETI-DP and P-FETI-DP, are proposed for solving the linear systems resulting from XFEM crack propagation analysis in large-scale 3D problems. By modifying the coarse problem of both solvers, any singularities caused by the crack propagation are avoided and the XFEM-related ill-conditioning is completely eliminated, ensuring the scalability of FETI-DP and P-FETI-DP as the number of subdomains is increased. Finally, an efficient implementation in high performance computing systems, specifically computer clusters is developed, by altering the original FETI-DP and P-FETI-DP equations to minimize communication and computation bottlenecks in distributed memory environments.

Η ανάγκη για προχωρημένα υλικά υψηλών επιδόσεων στη βιομηχανία οδήγησε στην ανάπτυξη διαφόρων καινοτόμων λύσεων, σχεδιασμένων να έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες ανάλογα με την εφαρμογή, όπως αυξημένη θερμική αγωγιμότητα. Για την προσομοίωση της διάδοσης θερμότητας σε σύνθετα υλικά, πρέπει να ληφθούν υπόψη η πολύπλοκη μικροδομή τους, αλλά και η θερμική αντίσταση στις διεπιφάνειες μεταξύ υλικών. Η συμβατική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM) απαιτεί πολύ πυκνά πλέγματα ώστε να ακολουθήσει την πολύπλοκη γεωμετρία αυτών των διεπιφανειών. Σε αυτή τη διατριβή προτείνεται μια μεθοδολογία εξελιγμένων πεπερασμένων στοιχείων (XFEM), η οποία αποτυπώνει το άλμα θερμοκρασίας εμπλουτίζοντας την πολυωνυμική προσέγγιση με κατάλληλες ασυνεχείς συναρτήσεις γύρω απο τις ασυνέχειες υλικού. Συγκεκριμένα, αναπτύσσεται μια νέα στρατηγική εμπλουτισμού, ώστε να αντιμετωπιστεί η συμβολή πολλαπλών φάσεων υλικού, δηλαδή περιοχών που τέμνονται πολλαπλές διεπιφάνειες με διαφορετικές θερμικές αντιστάσεις. Επιπλέον, για την γεωμετρική περιγραφή των διεπιφανειών υλικού, παρουσιάζεται μία τεχνική διπλού πλέγματος. Ένα πολύ πυκνό πλέγμα επιστρατεύεται απο τη μέθοδο ισοϋψών (LSM) για την απεικόνιση της πολύπλοκης γεωμετρίας των διεπιφανειών με μεγάλη ακρίβεια, ενώ η XFEM χρησιμοποιεί ένα διαφορετικό πλέγμα, το οποίο δεν προσαρμόζεται στις διεπιφάνειες, αλλά αποτελεί αραιότερη παραλλαγή του πλέγματος της LSM, ώστε να μειωθεί το υπολογιστικό κόστος της ανάλυσης. Το συνολικό αριθμητικό μοντέλο επικυρώνεται αρχικά με αποτελέσματα από τη βιβλιογραφία για πολυκρυσταλλικά υλικά. Έπειτα εφαρμόζεται για την ανάλυση διάδοσης θερμότητας σε πολυμερή υλικά ενισχυμένα με νανοσωλήνες άνθρακα. Η άγνωστη διεπιφανεικαή θερμική αντίσταση μεταξύ των υλικών προσδιορίζεται από βαθμονόμηση της υπολογιζόμενης μακροσκοπικής αγωγιμότητας του υλικού ως προς αντίστοιχες πειραματικές μετρήσεις. Το προτεινόμενο μοντέλο XFEM μπορεί να επεκταθεί άμεσα σε άλλα παρόμοια προβλήματα, όπως ελαστικότητα ή ηλεκτρική αγωγιμότητα.Ταυτόχρονα, η XFEM αποτελεί ελκυστική επιλογή για την προσομοίωση διάδοσης ρωγμών, εμπλουτίζοντας το πολυωνυμικό πεδίο μετατοπίσεων της FEM με εξειδικευμένες μη λείες συναρτήσεις, αποφεύγοντας την ανάγκη αναδημιουργίας του πλέγματος κοντά στη ρωγμή σε κάθε βήμα διάδοσης της. Ωστόσο, αυτός ο εμπλουτισμός οδηγεί σε εντόνως κακή κατάσταση του πίνακα δυσκαμψίας και έτσι καθιστά πολύ αργή τη σύγκλιση επαναληπτικών μεθόδων επίλυσης συστημάτων. Από την άλλη, οι άμεσοι αλγόριθμοι επίλυσης δεν είναι αποδοτικοί σε τρισδιάστατα προβλήματα, λόγω του αυξημένου ύψους στηλών του πίνακα του συστήματος. Σε αυτή τη διατριβή, δύο μέθοδοι υποφορέων (FETI-DP και PFETI-DP) προτείνονται για επίλυση γραμμικών συστημάτων που προκύπτουν από την ανάλυση διάδοσης ρωγμών σε τρισδιάστατα προβλήματα μεγάλης κλίμακας με τη μέθοδο XFEM. Τροποποιώντας το αραιό πρόβλημα των δύο επιλυτών, αποφεύγεται η μη αντιστρεψιμότητα που προκαλείται από την διάδοση της ρωγμής, ενώ παράλληλα απαλείφεται η κακή κατάσταση του πίνακα δυσκαμψίας λόγω XFEM. Έτσι εξασφαλίζεται η κλιμακωσιμότητα των FETI-DP και PFETI-DP, καθώς ο αριθμός των υποφορέων αυξάνεται. Τέλος προτείνεται μια αποδοτική υλοποίηση σε υπολογιστικά συστήματα υψηλών επιδόσεων, και συγκεκριμένα σε συστοιχία υπολογιστών συνδεδεμένων σε τοπικό δίκτυο, μετασχηματίζοντας τις αρχικές εξισώσεις των FETI-DP και PFETI-DP, ώστε να ελαχιστοποιούνται η επικοινωνία και η συμφόρηση σε συστήματα.