Extensions of Perron-Frobenius Theory

Abstract

The foundations of what today is called Perron-Frobenius theory were laid by Oscar Perron in 1907 with a result on positive matrices and Georg Frobenius in 1912, who extended that result to the case of irreducible nonnegative matrices. An Mv-matrix is a matrix of the form A=sI−B, where 0≤ρ(B)≤s and B is an eventually nonnegative matrix. A GM-matrix denotes a matrix of the form A=sI−B, when both B and B^T possess the Perron-Frobenius property. These classes of matrices are extensions of the well-known M-matrices. In this thesis, we first provide all the definitions and theorems that are necessary to understand the Perron-Frobenius theory and extensions of M-matrices. We then study, in chapter 2, the Mv-matrices concerning the Perron-Frobenius theory. Specifically, sufficient and necessary conditions for an Mv-matrix to have positive left and right eigenvectors corresponding to its eigenvalue with smallest real part without considering or not if (index_0 B)≤1 are stated and proven. Moreover, analogous conditions for eventually nonnegative matrices or Mv-matrices to have all the non Perron eigenvectors or generalized eigenvectors not being nonnegative are studied. Then, equivalent properties of eventually exponentially nonnegative matrices and Mv-matrices are presented. In chapter 3, we study the main result for Mv- and GM-matrices focusing on the properties their Schur complements inherit. Specifically, we study sufficient and necessary conditions for the Schur complement of various types of Mv-matrices that have the Mv-property. Also, the Schur complements of perturbed Mv-matrices are studied. Then, we present the Mv-property of the Schur complement of any matrix when its A22 block is an Mv-matrix. We also study analogous conditions for the Schur complement of GM-matrices to have the GM-property. In chapter 4, we present applications of the Perron-Frobenius theory in other fields such as Network Theory, Biology, Economy, etc. In chapters 2 and 3, numerous numerical examples are presented to support our theoretical findings.

Από το 1907, ο Oskar Perron απέδειξε ένα θεώρημα για θετικούς πίνακες, το οποίο επεκτάθηκε από τον Georg Frobenius το 1912 για μη αναγώγιμους μη αρνητικούς πίνακες. Στη συνέχεια αναπτύχθηκε η γνωστή θεωρία Perron-Frobenius για μη αρνητικούς πίνακες. ́Ενας Mv-πίνακας γράφεται στην μορφή A=sI−B, όπου 0≤ρ(B)≤s και B είναι τελικά μη αρνητικός πίνακας. Ενας GM-πίνακας γράφεται στην μορφή A=sI−B, όπου οι B και B^T έχουν την ιδιότητα Perron-Frobenius (Perron-Frobenius property). Αυτές οι κλάσεις πινάκων είναι επεκτάσεις των γνωστών M-πινάκων. Στην διδακτορική διατριβή, διατυπώνουμε αρχικά τους ορισμούς και τα θεωρήματα που χρειάζονται για να γίνει κατανοητή η Θεωρία Perron-Frobenius σε σχέση και με τις επεκτάσεις των M-πινάκων. Στην συνέχεια, στο κεφάλαιο 2, μελετούμε τους Mv-πίνακες σε σχέση με τη Θεωρία Perron-Frobenius. Ειδικότερα, δίνουμε και αποδεικνύουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες τέτοιες ώστε ένας Mv-πίνακας να έχει θετικό αριστερό και δεξιό ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην απόλυτα μικρότερη πραγματική ιδιοτιμή, λαμβάνοντας υπόψη ότι (index_0 B)≤1 ή όχι. Επιπλέον, μελετώνται ανάλογες συνθήκες για τελικά μη αρνητικούς πίνακες ή Mv-πίνακες ώστε όλα τα υπόλοιπα ιδιοδιανύσματα ή γενικευμένα ιδιοδιανύσματα, εκτός από το ιδιοδιάνυσμα Perron, να μην είναι μη αρνητικά. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται ισοδύναμες ιδιότητες τελικά εκθετικά μη αρνητικών πινάκων και Mv-πινάκων. Στο κεφάλαιο 3, μελετούμε ιδιότητες για Mv- και GM-πίνακες σε σχέση με το συμπλήρωμα Schur. Συγκεκριμένα, μελετούμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε το συμπλήρωμα Schur διαφόρων τύπων Mv-πινάκων, να έχουν την Mv-ιδιότητα. Επίσης, μελετούμε το συμπλήρωμα Schur για διαταραγμένους Mv-πίνακες. Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε την Mv-ιδιότητα του συμπληρώματος Schur οποιουδήποτε πίνακα, όταν ο υποπίνακας A22 είναι Mv-πίνακας. Μελετούμε επίσης ανάλογες συνθήκες για το συμπλήρωμα Schur των GM-πινάκων ώστε να έχουν την GM-ιδιότητα. Στο κεφαλαίο 4, παρουσιάζουμε εφαρμογές των επεκτάσεων της θεωρίας Perron-Frobenius σε άλλες επιστήμες, όπως η Θεωρία Δικτύου, η Βιολογία, η Οικονομία κ.λ.π. Στα κεφάλαια 2 και 3, παρουσιάζονται πολλά αριθμητικά παραδείγματα που υποστηρίζουν και επιβεβαιώνουν τα θεωρητικά αποτελέσματα.