Rigid body spring network and material point method for the elastoplastic analysis of structures

Abstract

Hysteresis is a highly nonlinear phenomenon and can be found in many scientific fields. A system is considered to be hysteretic when its state depends not only on its current configuration but also on its history. In this work smooth hysteretic models of Bouc – Wen type have been applied in two discrete methods, the Rigid Body Spring Network (RBSN) and the Material Point Method (MPM). The strains are decomposed into an elastic and an inelastic part according to the additive decomposition of the strain tensor of classical plasticity. Two Heaviside-type functions are introduced to account for the different phases of a hysteretic cycle and a smooth transition from the elastic to inelastic regime. These act as switches and can accommodate various yield functions and hardening laws to control the entire cyclic behavior. A single expression is established for the plastic multiplier for the entire stress space. This overcomes the need for a piecewise linear approach and a demanding bookkeeping mechanism especially when multilinear models are concerned that account for stiffness and strength degradation. The RBSN is based on a physical model rather than a mathematical one, such as to divide the structure into discrete rigid bodies that are connected with springs. Discretization is based on Voronoi tessellation, dividing the structure into convex polygons, which are treated as rigid bodies. The rigid bodies are connected with three zero length springs at the middle of their common facets. The springs follow the smooth hysteretic Bouc–Wen model, which efficiently incorporates classical plasticity. Moreover, the model is extended by incorporating a Mohr-Coulomb type of stress law to simulate fracture during monotonic loading, and by releasing the stiffness of the spring elements that have ruptured. The Material Point Method (MPM) is a hybrid method that employs both a Lagrangian and an Eulerian description. In MPM, all the information and state variables are carried by the particles (such as position, mass, velocity, acceleration, stress, strains, etc.). This presents a significant advantage in the simulation of history dependent materials. Moreover, the MPM is based on a weak form formulation being consistent with the FEM. In this work, the standard explicit MPM is extended to account for smooth elastoplastic material behavior with mixed isotropic and kinematic hardening and stiffness and strength degradation. The final form of the constitutive stress rate–strain rate relation incorporates the tangent modulus, which now includes the Heaviside functions and gathers all the governing behavior, facilitating considerably the simulation of nonlinear response in the MPM framework.

Η υστέρηση είναι ένα άκρως μη γραμμικό φαινόμενο και απαντάται σε αρκετά επιστημονικά πεδία. Ένα σύστημα είναι υστερητικό όταν η απόκρισή του εξαρτάται από την ιστορία των καταστάσεών του και από τη τωρινή του κατάσταση. Στην παρούσα διατριβή τα ομαλά υστερητικά μοντέλα τύπου Bouc-Wen εφαρμόζονται σε δύο διακριτές μεθόδους, το Δίκτυο Στερεών Σωμάτων και Ελατηρίων (ΔΣΣΕ) και τη Μέθοδο Υλικού Σημείου (ΜΥΣ). Οι παραμορφώσεις διαχωρίζονται σε ένα ελαστικό και ένα ανελαστικό μέρος σύμφωνα με τον αθροιστικό διαχωρισμό της θεωρίας της κλασσικής πλαστικότητας. Δύο συναρτήσεις τύπου Heaviside εισάγονται στο μοντέλο για την προσομοίωση όλων των φάσεων των υστερητικών κύκλων και για την ομαλή μετάβαση από την ελαστική στην πλαστική περιοχή. Διατυπώνεται μία σχέση του πλαστικού πολλαπλασιαστή, η οποία ισχύει για όλο το χώρο των τάσεων. Έτσι, ξεπερνιέται η ανάγκη για κατά τμήματα γραμμικές προσεγγίσεις, ιδιαίτερα στην περίπτωση πολυγραμμικών μοντέλων με απομειώσεις αντοχής και δυσκαμψίας. Το Δίκτυο Στερεών Σωμάτων και Ελατηρίων (ΔΣΣΕ) βασίζεται σε ένα φυσικό μοντέλο αντί για ένα μαθηματικό, και διαχωρίζει την κατασκευή σε διακριτά στερεά σώματα που συνδέονται με ελατήρια. Η διακριτοποίηση βασίζεται σε διαγράμματα Voronoi, που διαχωρίζουν την κατασκευή σε κυρτά πολύγωνα. Τα στερεά σώματα συνδέονται με τρία μηδενικού μήκους ελατήρια στο μέσο της διεπιφάνειας τους. Τα ελατήρια ακολουθούν το ομαλό υστερητικό μοντέλο τύπου Bouc-Wen, το οποίο εμπεριέχει με αποδοτικό τρόπο την κλασική πλαστικότητα. Επιπρόσθετα, το μοντέλο επεκτείνεται με ένα νόμο θραύσης τύπου Mohr-Coulomb, για την προσομοίωση της θραύσης σε μονοτονικά φορτία. Η Μέθοδος Υλικού Σημείου (ΜΥΣ) είναι μία υβριδική μέθοδος και χρησιμοποιεί τόσο την περιγραφή κατά Lagrange όσο και την περιγραφή κατά Euler. Στη ΜΥΣ όλες οι πληροφορίες και ιδιότητες του υλικού βρίσκονται στα υλικά σημεία. Αυτό αποτελεί σημαντικό πλεονέκτημα για την προσομοίωση υλικών που η απόκρισή τους εξαρτάται από την ιστορία τους. Στην παρούσα διατριβή, η ΜΥΣ με μη πεπλεγμένη χρονική ολοκλήρωση, επεκτείνεται για την προσομοίωση ομαλής ελαστοπλαστικής συμπεριφοράς των υλικών με ισοτροπική, κινηματική και μικτή κράτυνση καθώς και απομειώσεις αντοχής και δυσκαμψίας. Η τελική μορφή της καταστατικής σχέσης τάσεων – παραμορφώσεων εμπεριέχει το εφαπτομενικό μητρώο, το οποίο πλέον μορφώνεται με βάση τις συναρτήσεις τύπου Heaviside, και συγκεντρώνει όλη την υστερητική συμπεριφορά.