Numerical methods for shallow water equations

Abstract

In the first chapter we state the Euler equations describing surface waves of an ideal fluid (water) in a two-dimensional waveguide of finite depth with variable bottom topography. The equations are written in nondimensional, scaled form using the scaling parameters ε=α₀/λ₀, μ=(D₀/λ₀)², where α₀ is a typical wave amplitude, λ₀ a typical wavelength, and D₀ an average bottom depth. From the Euler equations we derive a series of simple, approximate, models, that describe two-way propagation of nonlinear, dispersive surface waves in one dimension, that are long compared to the average bottom depth, i.e. satisfy μ≪1. The basic model are the Serre-Green-Naghdi (SGN) equations, from which three simpler mathematical models follow in specific regimes of scaling parameters: Α) the Classical Boussinesq system with variable bottom of general topography (CBs), in which ε=O(μ) and β=Ο(1), where β=B/D₀, with Β a typical bottom topography variation. B) the Classical Boussinesq system with weakly varying bottom, i.e. β=O(ε), (CBw). C) The system of shallow water equations (SW), where μ=0 and in general ε=O(1). The second chapter concerns the numerical analysis of initial and boundary value problems (ibvp’s) for the (CBs) and (CBw) systems in a finite interval with u=0 at the boundary. After a review of their theory of existence-uniqueness of solutions, the systems are discretized in space by the standard Galerkin-finite element method, and the semidiscretization error is estimated in L²×H¹. This estimate is verified by numerical experiments. We also examine Galerkin-FE methods for (CBw), (CBs), and (SW) with absorbing boundary conditions. Finally we study numerically, using mainly (CBs), changes that an initial solitary wave undergoes when moving into a region of variable bottom topography. In the third chapter we consider the (SW) with variable bottom, assuming smooth solutions. We prove error estimates in L²×L² for the standard Galerkin-FE semidiscretization for the ibvp with u=0 at the boundary, and with characteristic (absorbing) boundary conditions, when the flow is supercritical or subcritical. We test the ability of the numerical method to approximate steady state solutions and “still water” solutions when the system is written in balance-law form. In the final chapter we examine the Discontinuous Galerkin-FE method (DG) for the (SW) system in balance-law form. After an overview of RKDG methods applied to hyperbolic conservation laws in one spatial dimension, we examine slope-limiting procedures. For the RKDG method for the (SW) with variable bottom we consider various issues and algorithms regarding e.g. the well- balancing of the method, the preservation of non-negative water height in case the bottom approach the free surface, and slope limiting procedures in the presence of discontinuities. Finally, we perform a series of numerical experiments of test cases and demonstrate that our algorithms approximate them accurately.

Στο πρώτο κεφάλαιο διατυπώνονται οι εξισώσεις του Euler για κύματα επιφανείας ενός τέλειου ρευστού (π.χ. νερού) σε διδιάστατο κυματοδηγό πεπερασμένου βάθους με μεταβλητή τοπογραφία πυθμένα. Οι εξισώσεις γράφονται σε αδιάστατη, κανονικοποιημένη μορφή με παραμέτρους κλίμακας ε=α₀/λ₀, μ=(D₀/λ₀)², όπου α₀ τυπικό πλάτος των κυμάτων, λ₀ τυπικό μήκος κύματος, και D₀ το μέσο βάθος πυθμένα. Από τις εξισώσεις του Euler παράγονται προσεγγιστικά, απλούστερα μοντέλα για την περιγραφή της κίνησης μη γραμμικών, διασπειρομένων κυμάτων επιφανείας σε δύο κατευθύνσεις με μεγάλο μήκος κύματος σχετικά με το μέσο βάθος του πυθμένα, δηλ. για τα οποία μ≪1. Το βασικό μοντέλο είναι οι εξισώσεις Serre-Green-Naghdi (SGN) με μεταβλητό πυθμένα, από τις οποίες παράγονται εν συνεχεία τρία απλούστερα μοντέλα σε ειδικές περιοχές των παραμέτρων κλίμακας: Α) το κλασσικό σύστημα Boussinesq με μεταβλητό πυθμένα γενικής τοπογραφίας (CBs), στο οποίο ε=O(μ) και β=Ο(1), όπου β=B/D₀, με Β να είναι τυπικό μέγεθος της μεταβολής του πυθμένα. Β) το κλασσικό σύστημα Boussinesq με ασθενή μεταβολή του πυθμένα, β=O(ε), (CBw). Γ) το σύστημα των εξισώσεων ρηχών υδάτων (SW) για το οποίο μ=0 και γενικά ε=O(1). Το δεύτερο κεφάλαιο αφορά την αριθμητική ανάλυση προβλημάτων αρχικών και συνοριακών συνθηκών (α.σ.σ) για τα συστήματα (CBs), (CBw), σε πεπερασμένο διάστημα με u=0 στο σύνορο. Ύστερα από ανασκόπηση της θεωρίας ύπαρξης-μοναδικότητας των λύσεων των προβλημάτων αυτών, τα συστήματα διακριτοποιούνται ως προς την χωρική συνιστώσα με την συνήθη μέθοδο Galerkin-πεπερασμένων στοιχείων, και εκτιμάται το σφάλμα της ημιδιακριτοποίησης αυτής στον L²×H¹. Η εκτίμηση του σφάλματος επιβεβαιώνεται αριθμητικά. Εξετάζονται και τέτοιες αριθμητικές μέθοδοι για την περίπτωση απορροφητικών συνθηκών στο σύνορο. Τέλος εξετάζονται υπολογιστικά, με βάση κυρίως το μοντέλο (CBs), φαινόμενα που αφορούν μεταβολές που υφίσταται ένα αρχικά μοναχικό κύμα όταν κινείται σε περιβάλλον με πυθμένα μεταβλητής τοπογραφίας. Στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζεται το σύστημα (SW) με μεταβλητό πυθμένα υπό την προϋπόθεση ότι έχει ομαλές λύσεις. Αποδεικνύονται εκτιμήσεις σφαλμάτων των μεθόδων Galerkin-ΠΣ στον χώρο L²×L² για το πρόβλημα α.σ.σ. με u=0 στα άκρα πεπερασμένου διαστήματος, καθώς και με χαρακτηριστικές συνοριακές συνθήκες απορρόφησης για υπερκρίσιμες ή υποκρίσιμες ροές. Εξετάζεται υπολογιστικά η ικανότητα της αριθμητικής μεθόδου να προσεγγίζει λύσεις σταθερής μορφής και λύσεις της μορφής «ηρεμουσών ροών» όταν το σύστημα γραφτεί σε μορφή νόμου ισορροπίας. Στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζεται η ασυνεχής μέθοδος Galerkin-ΠΣ (DG) για το σύστημα (SW), γραμμένο σε μορφή νόμου ισορροπίας. Γίνεται ανασκόπηση των μεθόδων RKDG για υπερβολικά συστήματα νόμων διατήρησης σε μία διάσταση και εξετάζονται τεχνικές περιορισμού κλίσης. Κατόπιν εξετάζονται οι μέθοδοι RKDG για (SW) με μεταβλητό πυθμένα. Εξετάζονται θέματα και αλγόριθμοι καλής εξισορρόπησης, διατήρησης του μη-αρνητικού βάθους της στήλης νερού όταν ο πυθμένας πλησιάζει την ελεύθερη επιφάνεια, περιορισμού της κλίσης σε περίπτωση ασυνεχειών κ.α. Τέλος παρατίθεται μια σειρά προβλημάτων δοκιμής τα οποία ο αλγόριθμος προσεγγίζει με μεγάλη ακρίβεια.