The Radon transform, its generalization and their applications in PET and SPECT medical imaging

Abstract

In the present thesis, the following three different mathematical problems are solved: (a) the problem of edge detection in the Radon (ρ,θ)-space, (b) the problem of deblurring in the attenuated Radon (ρ,θ)-space, and (c) the problem of the inversion of the attenuated Radon transform via a new analytic formula, following the pioneering work of Novikov and Fokas, and the associated numerical implementation, referred to as the attenuated spline reconstruction technique (aSRT). The above mathematical problems involve the inversion of the celebrated Radon transform of a function, defined as the set of all its line integrals, as well as the inversion of a certain generalization of the Radon transform of a function, the so-called attenuated Radon transform, defined as the set of all its attenuated line integrals. The non-attenuated and attenuated versions of the Radon transform provide the mathematical foundation of two of the most important available medical imaging techniques, namely positron emission tomography (PET), and single-photon emission computed tomography (SPECT). Although Radon himself derived in 1917 the inversion of the transform bearing his name, seventy-four years later Novikov and Fokas rederived this well-known formula by considering two classical problems in complex analysis known as the d-bar problem and the scalar Riemann-Hilbert problem. Although the inversion can be obtained in a simpler manner by the use of the Fourier transform, the derivation of Novikov and Fokas allowed Novikov to invert the attenuated Radon transform in 2002. It took Fokas, Iserles and Marinakis four more years to establish a more straightforward derivation of this inversion. Following their work, one of the main results of the present thesis involves the formulation of an equivalent inversion for the attenuated Radon transform. It is not suprising that even today, more than a century after its seminal publication, Radon's work is still highly influential. In Chapter 1, the Radon transform in R2 and its attenuated generalization are presented, whereas in Chapter 2 their inversions, especially in the context of non-Fourier analysis, are constructed. Chapter 3 deals with the problem of sinogram edge detection in the context of inverse problems. Furthermore, in Chapter 4, aSRT is analyzed, which provides a novel analytic inversion formula for the attenuated Radon transform. This new inversion formula involves the computation of the Hilbert transforms of the linear attenuation function and of two sinusoidal functions of the attenuated data. Finally, in Chapter 5, the problem of deblurring in the attenuated Radon (ρ,θ)-space is solved. The mathematical problems solved in this thesis are quite different from one another, however they bear several intrinsic similarities. They are all key elements of a large class of mathematical problems, associated with the mathematical foundations of emission tomography. The inversion of the Radon transform and of its attenuated generalization constitute fundamental problems in the mathematical core of medical imaging.

Ο περίφημος μετασχηματισμός Radon μιας δισδιάστατης συνάρτησης ορίζεται ως το σύνολο όλων των επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων αυτής επί ευθειών. Υπάρχει ένα είδος γενικευμένου μετασχηματισμού Radon, ο επονομαζόμενος εξασθενημένος μετασχηματισμός Radon, ο οποίος ορίζεται ως το σύνολο όλων των επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων μίας δισδιάστατης συνάρτησης επί ευθειών, εξασθενημένης ως προς μία συνάρτηση εξασθένισης. Τόσο η μη εξασθενημένη, όσο και η εξασθενημένη εκδοχή του μετασχηματισμού Radon παρέχουν το μαθηματικό υπόβαθρο σε δύο από τις σημαντικότερες τεχνικές ιατρικής απεικόνισης σήμερα, συγκεκριμένα το PET και το SPECT, αντίστοιχα. Ο μη εξασθενημένος μετασχηματισμός Radon σχετίζεται με το αντίστροφο μαθηματικό πρόβλημα της ανακατασκευής μίας συνάρτησης από τα επικαμπύλια ολοκληρώματά της. Το κύριο μέλημα στην απεικόνιση PET είναι η αριθμητική εφαρμογή της αντιστροφής του μη εξασθενημένου μετασχηματισμού Radon. Ομοίως, στην περίπτωση του εξασθενημένου μετασχηματισμού Radon, το αντίστοιχο αντίστροφο μαθηματικό πρόβλημα περιλαμβάνει την ανακατασκευή μίας συνάρτησης από τα «εξασθενημένα» επικαμπύλια ολοκληρώματά της. Ο κύριος στόχος της απεικόνισης SPECT είναι η αντιστροφή του εξασθενημένου μετασχηματισμού Radon. Το 1991, οι Novikov και Φωκάς επανεξέτασαν την ήδη γνωστή, τότε, αντιστροφή του μετασχηματισμού Radon πραγματοποιώντας φασματική ανάλυση σε μία εξίσωση ιδιοτιμών. Η ανάλυση αυτή εμπεριέχει δύο προβλήματα της σύγχρονης μιγαδικής ανάλυσης, συγκεκριμένα το πρόβλημα d-bar και το βαθμωτό πρόβλημα Riemann-Hilbert (RH), αντίστοιχα. Μολονότι η αντιστροφή του μετασχηματισμού Radon μπορεί να επιτευχθεί με σαφώς απλούστερο τρόπο, δηλαδή με χρήση του δισδιάστατου μετασχηματισμού Fourier, το πλεονέκτημα της αντιστροφής κατά Novikov και Φωκά κατέστη εμφανές έντεκα χρόνια αργότερα (2002) από τον Novikov. Ο Novikov απέδειξε ότι ο εξασθενημένος μετασχηματισμός Radon μπορεί, όπως ακριβώς και ο μη εξασθενημένος, να αντιστραφεί με τη βοήθεια φασματικής ανάλυσης. Στην εξασθενημένη περίπτωση, όμως, η ανάλυση αυτή εφαρμόζεται στη γενίκευση της προαναφερθείσας εξίσωσης ιδιοτιμών. Ένα από τα κύρια αποτελέσματα της παρούσας διατριβής είναι η διατύπωση μιας ισοδύναμης αντιστροφής για τον εξασθενημένο μετασχηματισμό Radon, ακολουθώντας το πρωτοποριακό έργο των Novikov και Φωκά. Παρουσιάζουμε λεπτομερώς μία νέα εξίσωση αναλυτικής αντιστροφής εξασθενημένων ολοκληρωτικών μετασχηματισμών Radon, καθώς και τον αντίστοιχο αλγόριθμο ανακατασκευής εικόνας, με την ονομασία attenuated spline reconstruction technique (aSRT).Στην παρούσα διατριβή, επιλύουμε τρία διαφορετικά μαθηματικά προβλήματα: 1) το πρόβλημα της εύρεσης συνόρων στον κατά Radon (ρ,θ)-χώρο, δηλαδή στο ημιτονόγραμμα, και της ανακατασκευής των δεδομένων μέσω στατιστικής σωρευμένων αθροισμάτων (CUSUM), 2) το πρόβλημα της αναλυτικής αντιστροφής του εξασθενημένου μετασχηματισμού Radon μέσω μιας νέας εξίσωσης, και της αντίστοιχης αριθμητικής υλοποίησης αυτής και 3) το πρόβλημα τoυ «ξεθολώματος» (deblurring) του εξασθενημένου ημιτονογράμματος στον Radon (ρ,θ)-χώρο και της επακόλουθης ανακατασκευής των «ξεθολωμένων» (deblurred) δεδομένων. Τα μαθηματικά προβλήματα που περιγράφονται παραπάνω παρότι είναι αρκετά διαφορετικά μεταξύ τους, ωστόσο διαθέτουν εγγενείς ομοιότητες. Τα προβλήματα αυτά ανήκουν σε μία ευρύτατη κατηγορία μαθηματικών προβλημάτων που σχετίζονται με την τομογραφία και την πυρηνική ιατρική. Η αντιστροφή του μετασχηματισμού Radon και της εξασθενημένης γενίκευσής του αποτελούν μαθηματικά προβλήματα που σχετίζονται, εν τέλει, με την ανακατασκευή ιατρικής εικόνας. Τέτοιου είδους προβλήματα διαμορφώνουν το θεμελιώδες μαθηματικό υπόβαθρο της τομογραφίας εκπομπής ποζιτρονίων PET και της τομογραφίας εκπομπής μονών φωτονίων SPECT. Έχουν περάσει πάνω από εκατό χρόνια από την πρωτοποριακή δημοσίευση του Johann Radon το 1917. Η συγκεκριμένη δημοσίευση έμελλε να αποτελέσει το έναυσμα για τη δημιουργία ενός καινούριου κλάδου στην ιατρική, τον κλάδο της τομογραφίας. Το έργο του Radon εξακολουθεί να ασκεί μεγάλη επιρροή στην ερευνητική κοινότητα παγκοσμίως μέχρι σήμερα.