Αναλυτικές σχέσεις και αριθμητικός κώδικας για τον υπολογισμό τασικού πεδίου πέριξ σηράγγων, διαφόρων σχημάτων, υπό σεισμική φόρτιση κυμάτων S

Abstract

The present study aims to calculate the stress field around tunnels, of various shapes under seismic loading of S waves by the use of Analytical Relations and the three dimension Numerical Code of Finite Differences . In this Case only the seismic loading is taken into account.The shear waves S are composed of two subtypes according to the plane of oscillation of the particle motion .In case of SH waves the particles oscillate in a plane perpendicular to the vector of the wave propagation direction and in case of SV waves the particles oscillate within the plane to which the vector of the wave propagation belongs.The response of the underground structures alters according to the seismic excitation, SH or SV waves, due to the different boundary conditions on the cross section.The Wave Equation is solved by calculating the wave potentials, w in the case of SH waves and Φ & Ψ respectively in the case of SV waves, which express quantities in terms of displacements and having the property that these or their derivatives verify the Wave Equation. Thus, in case of SH waves the wave potential w expresses the total displacement, whereas in case of SV waves, the total displacement , is defined by the relation:u=∇Φ+∇×Ψ.The Underground Structure is considered to be founded on linear elastic ground. The Underground Structure is subjected to seismic excitation, simulated by an harmonic seismic shear wave S, SH or SV vertically propagating.In the framework of the Analytical Solution and in case of SH or SV Waves respectively, the calculation of the Wave Potentials is achieved by the expansion in finite number of terms, of Bessel-Hankel Fourrier Series, in combination with the implementation of the proper boundary conditions on the section. Additionally taking into account the Complex Variable Theory and especially the conformal mapping transformations the solution concerning the cyclic hole can be expanded to cross sections of other shapes as: ellipse, square, hoop shape, lined or unlined. For the curve depicting each shape, it is essential to have parametric equations. In order to simulate the depth where the Underground Structures are founded (deep foundation – full space, shallow foundation-half space), relevant transformation relationships in combination with the implementation of proper boundary conditions are proposed in each case of SH or SV waves.The compilation of all transformations for each different shape and boundary conditions as well as the solutions of the system of the equations for the calculation of the Wave Potentials, are made by composing the relevant computing codes in the language of technical computing MATLAB.Initially the case of cavities of various shapes, unlined or lined, in full space under seismic loading of SH waves were examined and the relevant analyses were performed. The various shapes in the plane w are transformed onto the unit circle in the plane ζ center to center , with the implementation of proper Mapping Functions. Due to the characteristics of SH waves the only existing displacement is that in direction z, along the axis of the tunnel and it is an «out of plane displacement». The traction free unit circle surface in plane ζ, requires the boundary condition trz=0. Relevant computing codes in the language of technical computing MATLAB are composed for the calculation of the wave potentials( the incident and the scattered from the cavity).Consequently the case of cavities of various shapes, unlined or lined, in half space under seismic loading of SH waves were examined and the relevant analyses were performed. In this case the problem of the half-space becomes a problem of full space, when consider the symmetrical cross-section, in relation to the surface of the ground. Thus the region between the free surface and the cross-section is equivalent to the outer space of two symmetrical cross-sections, with the axis of symmetry the free surface. The stress field around the cross section result, from the total solution of the model and from the calculation of the wave potentials ( the incident the reflected and the two scattered each from one cavity), taking into account the proper boundary conditions.The case of cavities of various shapes, unlined or lined, in full space under seismic loading of SV waves were examined and the relevant analyses were performed. The various shapes in the plane w are transformed onto the unit circle in the plane ζ center to center , with the implementation of proper Mapping Functions. Due to the characteristics of SV waves, displacements exist in the two directions of the cross section of the cavity. The traction free unit circle surface in plane ζ, requires the boundary conditions trr= trθ =0. Relevant computing codes in the language of technical computing MATLAB are composed for the calculation of the wave potentials( the incident and the two scattered from the cavity).The wave potentials, in case of a tunnel at depth H below the free surface under seismic loading of SV waves are: the incident , the reflected , two scattered wave potentials from the cavity and two scattered wave potentials from the free surface. In the framework of the proposed methodology the closed form solution is developed in two stages. In the first , by applying the Complex Mapping Theory, a mapping is proposed so as the region in the plane w consisting of the half space with a cavity of various shapes (circular, ellipsis, square, hoop) is mapped conformally onto the region consisting of the half space with a unit circle in the plane ζ, founded at «an equivalent depth h» . In the second stage proper transformations are proposed for the implementation of the boundary conditions. The boundary conditions are:-The stress-free boundary conditions at the cavity surface in plane ζ, tr1r1= tr1θ1 =0-The stress-free boundary conditions at the free surface in plane ζ, tr2r2= tr2θ2 =0The stress-free boundary conditions at the free surface are among the most complicated boundary conditions to be satisfied in physics, (Lin et al., 2010). Up to now the problem has been solved approximately. Taking into account the properties of conformal mapping, analytical relationships are proposed in this study that solve exactly the problem. Thus the proposed transformation, that alters according to the shape of the cross-section, transforms the region in the plane w, consisting of the half space with a cavity of various shapes, founded at depth H, onto two vertical circles in the plane ζ, with distance of their centers b. Analyses are performed according to the above proposed Analytical Relationships in case of underground structures with several unlined cross sections, founded at depth H. Relevant computing codes in the language of technical computing MATLAB are composed for the calculation of the above quantities : «the equivalent depth h», the transformations of the half space and the hole, the wave potentials (incident, reflected, two scattered from the cavity and two scattered from the free space), the stress field around the cross section displacements and stresses.In order to validate the proposed methodology an analysis without taken into account the scattered wave potentials from the free surface (relaxed boundaries) has been developed, for various cavity shapes and the results of the two methodologies were compared. This assumption is realistic because the values of these potentials are small. In this case the problem becomes a full space case under incident and reflected SV waves, as the only existing boundary condition is that of the traction- free unit circle surface in plane ζ, tr1r1= tr1θ1 =0 .The comparison of the two methods entails to satisfactory results. Thus, the proposed analytical methodology solved the problem of the calculation of the stress field around cavities, founded at depth H, in case of half space under seismic loading of SV waves. Additionally the proposed transformation for the stress free boundary conditions at the free surface, tr2r2= tr2θ2 =0, can be expanded also in other cases with similar boundary conditions.In the framework of the numerical solution and in order to simulate the dynamic response of the underground structures, the 3D Numerical Code of finite differences FLAC 3D, is used. This software has a large application in Geotechnical Engineering for the solution of the differential equation of motion. The soil-structure model is considered elastic and is subjected to seismic excitation, simulated by an harmonic vertically propagating shear wave S, of SH or SV type. In addition the FLAC 3D code incorporates the language FISH, for further programming and for the amelioration of the model.The generation of the grids for the several different shapes of the cross sections of the Tunnels (cyclic, elliptic, square, hoop) is conducted as follows: in case of cyclic and square cavity shapes the grids are composed according to the standard FLAC 3D elements, while for the more complicated cavity shapes as elliptical and hoop, the grids are composed with the FISH language routines based on conformal Mapping Theory. The seismic excitation is induced in terms of stress history, according to the type of S Wave, SH or SV.The soil-structure interaction effect is expressed by the flexibility ratio F, a measure of soil stiffness relative to the flexural stiffness of the liner. In case of a cyclic or square cavity shape, the value of the flexibility ratio F is given according to formulas from the bibliography, while in case of an elliptic or hoop cavity shape, relevant relations are proposed, in the framework of this study.A series of dynamic parametric analyses were performed, in the elastic region taking into account:-The type of S Wave, SH or SV-The thickness of the soil layer H above the structure. When the foundation is deep it is a full space case, in the opposite it is a half space case. In this study, the structure depth H is the distance between the structure and the free surface measured centreline, considered two radius in case of a cyclic cavity or two «equivalent radius» in all other cases.-The shape of the cavity (cyclic, elliptic, square, hoop)-The relative stiffness between the soil and the cavity, simulated by the flexibility ratio F(unlined or lined cavity rigid or flexible)-The hysteretic damping of Rayleigh type, independent of the frequency. In this study damping is considered ξ=2%.The aforementioned factors play a crucial role in the calculation of the stress field. All the analyses verified the properties and the boundary conditions both of SH & SV waves.Comparing the Analytical methodology with the Numerical the former calculated displacements are within the same order of magnitude while the former calculated stresses differ significantly and are larger than those derived from the Numerical methodology.Seismic excitation causes significant deformations and stresses to the underground Structure.

Η παρούσα μελέτη έχει ως αντικείμενο τον υπολογισμό του τασικού πεδίου πέριξ σηράγγων, διαφόρων σχημάτων υπό σεισμική φόρτιση κυμάτων S με Αναλυτικές Σχέσεις και Αριθμητικό Κώδικα Πεπερασμένων Διαφορών τριών διαστάσεων. Εξετάζεται μόνο η επίδραση της σεισμικής φόρτισης και δεν λαμβάνονται υπ΄ όψιν άλλες φορτίσεις.Τα διατμητικά κύματα S, διακρίνονται ανάλογα με το επίπεδο ταλάντωσης των υλικών σημείων σε SH, όταν τα υλικά ταλαντώνονται σε επίπεδο κάθετο στο διάνυσμα της Δ/νσης διάδοσης του κύματος και σε SV, όταν τα υλικά σημεία ταλαντώνονται εντός του επιπέδου στο οποίο ανήκει το διάνυσμα της Δ/νσης διάδοσης του κύματος.Η απόκριση των Υπογείων Έργων διαφοροποιείται ανάλογα με την Σεισμική πρόσπτωση κυμάτων SH ή SV λόγω των διαφορετικών συνοριακών συνθηκών πάνω στη διατομή.Η Κυματική Εξίσωση επιλύεται με τον υπολογισμό των κυματικών δυναμικών w, σε περίπτωση SH κυμάτων και Φ & Ψ αντίστοιχα στην περίπτωση των SV κυμάτων, τα οποία εκφράζουν ποσότητες σε όρους μετακινήσεων και έχουν την ιδιότητα αυτά ή οι παράγωγοί τους να επαληθεύουν την Κυματική Εξίσωση. Έτσι για μεν τα κύματα SH το κυματικό δυναμικό w εκφράζει τη συνολική μετακίνηση , ενώ αντίθετα για τα κύματα SV η συνολική μετακίνηση ορίζεται από τη σχέση: u=∇Φ+∇×Ψ. Λόγω των ιδιοτήτων των κυμάτων SH, η «εκτός επιπέδου» μετακίνηση δεν είναι συνάρτηση των μετακινήσεων πάνω στον άξονα της διατομής, αντίθετα με τα κύματα SV όπου η μετακίνηση είναι συνάρτηση των μετακινήσεων πάνω στη διατομή.Στην παρούσα μελέτη θεωρούμε ότι το Υπόγειο Έργο βρίσκεται σε Ελαστικό, Γραμμικό Έδαφος. Στο Υπόγειο Έργο προσπίπτει αρμονικό σεισμικό διατμητικό κύμα S, SH ή SV, κατακορύφως διαδιδόμενο.Στα πλαίσια της Αναλυτικής Λύσης και για τις δύο περιπτώσεις SH ή SV κυμάτων, υπολογίζονται τα Κυματικά Δυναμικά αντίστοιχα, με ανάπτυξη σε Σειρές Απείρων όρων Bessel-Fourrier ή Hankel Fourrier, σε συνδυασμό και με την εφαρμογή κατάλληλων συνοριακών συνθηκών πάνω στη διατομή. Επίσης, σε συνδυασμό με τη θεωρία των Μιγαδικών Μεταβλητών και συγκεκριμένα με τις σύμμορφες απεικονίσεις η λύση για την κυκλική οπή, επεκτείνεται και σε διατομές άλλων σχημάτων, (έλλειψη, τετράγωνο, πεταλοειδές), ανεπένδυτων ή επενδεδυμένων. Απαραίτητη προϋπόθεση η καμπύλη του κάθε σχήματος θα πρέπει να διαθέτει παραμετρικές εξισώσεις. Για την προσομοίωση του βάθους που βρίσκεται το Υπόγειο Έργο (μεγάλο βάθος – πλήρης χώρος (full space) , μικρό βάθος – ημίχωρος (half space)) προτείνονται αντίστοιχες σχέσεις μετασχηματισμού και ανάλογες συνοριακές συνθήκες για κάθε περίπτωση πρόσπτωσης SH ή SV κυμάτων.Η σύνταξη όλων των μετασχηματισμών για τις διάφορες περιπτώσεις σχημάτων και συνοριακών συνθηκών, καθώς και οι επιλύσεις των συστημάτων εξισώσεων για τον υπολογισμό των Κυματικών Δυναμικών και κατά συνέπεια των εντατικών μεγεθών, πραγματοποιούνται με τη δημιουργία αντίστοιχων κωδίκων προγραμματισμού στο Μαθηματικό λογισμικό πακέτο MATLAB.Αρχικά γίνονται αναλύσεις για την περίπτωση της Σεισμικής πρόσπτωσης κυμάτων SH κατακορύφως διαδιδόμενων, σε διατομές Υπογείων Έργων διαφόρων σχημάτων ανεπένδυτων ή επενδεδυμένων, στον πλήρη χώρο. Με την εφαρμογή των σύμμορφων απεικονίσεων τα διάφορα σχήματα στο επίπεδο w, μετασχηματίζονται σε μοναδιαίο κύκλο στο επίπεδο ζ. Λόγω των ιδιοτήτων των SH κυμάτων υπάρχει μόνο η μετακίνηση κατά τον άξονα της σήραγγας z δηλαδή «εκτός επιπέδου της διατομής». Η συνοριακή συνθήκη που διέπει τα SH κύματα επάνω στην περιφέρεια του μοναδιαίου κύκλου, στο επίπεδο ζ είναι trz=0. Ο υπολογισμός των κυματικών δυναμικών , (το προσπίπτον & το σκεδαζόμενο από την διατομή) και συνεπώς των εντατικών μεγεθών, πραγματοποιείται με τη σύνταξη αντίστοιχων κωδίκων προγραμματισμού στο Μαθηματικό λογισμικό πακέτο MATLAB.Στη συνέχεια γίνονται αναλύσεις για την περίπτωση της Σεισμικής πρόσπτωσης κυμάτων SH κατακορύφως διαδιδόμενων, σε διατομές Υπογείων Έργων διαφόρων σχημάτων ανεπένδυτων ή επενδεδυμένων, στον ημίχωρο . Στην περίπτωση αυτή το πρόβλημα του ημίχωρου ανάγεται σε πρόβλημα πλήρους χώρου, με τη θεώρηση της συμμετρικής διατομής, ως προς την επιφάνεια του εδάφους. Έτσι ο χώρος μεταξύ της ελεύθερης επιφάνειας και της διατομής είναι ισοδύναμος με τον εξωτερικό χώρο δύο κυκλικών συμμετρικών διατομών μοναδιαίας ακτίνας , με άξονα συμμετρίας την ελεύθερη επιφάνεια. Τα αντίστοιχα εντατικά μεγέθη προκύπτουν από τη συνολική επίλυση του μοντέλου και των κυματικών δυναμικών,(το προσπίπτον, το ανακλώμενο καθώς και κάθε ένα από τα σκεδαζόμενα από τις συμμετρικές διατομές), αφού ληφθούν υπ’ όψη και οι κατάλληλες συνοριακές συνθήκες.Πραγματοποιούνται αναλύσεις και στην περίπτωση της Σεισμικής πρόσπτωσης κυμάτων SV κατακορύφως διαδιδόμενων, σε διατομές Υπογείων Έργων διαφόρων σχημάτων ανεπένδυτων ή επενδεδυμένων, στον πλήρη χώρο. Με την εφαρμογή των σύμμορφων απεικονίσεων τα διάφορα σχήματα στο επίπεδο w, μετασχηματίζονται σε μοναδιαίο κύκλο στο επίπεδο ζ. Λόγω των ιδιοτήτων των SV κυμάτων υπάρχoυν οι μετακινήσεις κατά τους άξονες πάνω στη διατομή. Οι συνοριακές συνθήκες που διέπουν τα SV κύματα επάνω στην περιφέρεια του μοναδιαίου κύκλου, στο επίπεδο ζ είναι trr= trθ =0. Ο υπολογισμός των κυματικών δυναμικών , (το προσπίπτον & τα δύο σκεδαζόμενα από την διατομή) και συνεπώς των εντατικών μεγεθών πραγματοποιείται, με τη σύνταξη αντίστοιχων κωδίκων προγραμματισμού στο Μαθηματικό λογισμικό πακέτο MATLAB.Στην περίπτωση του ημίχωρου, με την παρουσία σήραγγας ευρισκόμενης σε βάθος H από την επιφάνεια του εδάφους, υπό σεισμική πρόσπτωση κυμάτων τύπου SV, τα κυματικά δυναμικά που διέπουν το πρόβλημα είναι τα εξής: το προσπίπτον, το ανακλώμενο από την ελεύθερη επιφάνεια , δύο σκεδαζόμενα κυματικά δυναμικά από την διατομή καθώς και δύο σκεδαζόμενα κυματικά δυναμικά από την ελεύθερη επιφάνεια. Η προτεινόμενη μεθοδολογία για την επίλυση του προβλήματος αυτού πραγματοποιείται σε δύο στάδια. Το πρώτο στάδιο αφορά στον μετασχηματισμό του χώρου μεταξύ της διατομής της σήραγγας που βρίσκεται σε βάθος H και της ελεύθερης επιφάνειας στο επίπεδο w, στον αντίστοιχο χώρο μεταξύ του μοναδιαίου κύκλου στον οποίο μετασχηματίζεται η διατομή και της ελεύθερης επιφάνειας στο επίπεδο ζ ο οποίος βρίσκεται στο «ισοδύναμο βάθος h » . Για τον υπολογισμό του«ισοδύναμου βάθους h », προτείνονται και οι αντίστοιχες σχέσεις μετασχηματισμού κατά περίπτωση. Το δεύτερο στάδιο αφορά στην σύνταξη κατάλληλων μετασχηματισμών, προκειμένου να εφαρμοστούν οι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Οι συνοριακές συνθήκες που διέπουν το πρόβλημα είναι οι κάτωθι:- στην περιφέρεια του μοναδιαίου κύκλου, στο επίπεδο ζ οι τάσεις tr1r1= tr1θ1 =0-στην ελεύθερη επιφάνεια στο επίπεδο ζ, οι τάσεις tr2r2=tr2θ2=0Η εφαρμογή της δεύτερης συνοριακής συνθήκης πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια θεωρείται ένα από τα πιο δύσκολα προβλήματα της φυσικής, (Lin et al., 2010). Η επίλυση του προβλήματος μέχρι στιγμής έχει αντιμετωπιστεί προσεγγιστικά. Στην παρούσα μελέτη προτείνονται αναλυτικές σχέσεις, αξιοποιώντας τις ιδιότητες των σύμμορφων απεικονίσεων, οι οποίες επιλύουν το πρόβλημα ακριβώς και όχι προσεγγιστικά. Ο προτεινόμενος μετασχηματισμός, ο οποίος τροποποιείται κατά περίπτωση ανάλογα με το εξεταζόμενο σχήμα της διατομής, μετασχηματίζει τον χώρο εκτός της διατομής της σήραγγας που βρίσκεται σε βάθος H από την επιφάνεια του εδάφους και της ελεύθερης επιφάνειας στο επίπεδο w, στον αντίστοιχο χώρο εκτός δύο μοναδιαίων κύκλων τα κέντρα των οποίων βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο και απέχουν b, στο επίπεδο ζ. Με βάση τις ανωτέρω προτεινόμενες αναλυτικές σχέσεις, πραγματοποιούνται αναλύσεις σε διατομές Υπογείων Έργων διαφόρων σχημάτων ανεπένδυτων , που βρίσκονται σε βάθος H. Ο υπολογισμός του «ισοδύναμου βάθους h», καθώς και των προτεινόμενων μετασχηματισμών για κάθε σχήμα, των κυματικών δυναμικών , (το προσπίπτον, το ανακλώμενο, τα δύο σκεδαζόμενα από την διατομή & τα δύο σκεδαζόμενα από την ελεύθερη επιφάνεια ) και συνεπώς των εντατικών μεγεθών πραγματοποιείται, με τη σύνταξη αντίστοιχων κωδίκων προγραμματισμού στο Μαθηματικό λογισμικό πακέτο MATLAB.Για την αξιολόγηση της προτεινόμενης μεθοδολογίας συγκρίθηκαν τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τις ανωτέρω αναλύσεις για τον ημίχωρο, με τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τη θεώρηση μιας απλοποιημένης μεθόδου, σύμφωνα με την οποία , τα σκεδαζόμενα από την ελεύθερη επιφάνεια κυματικά δυναμικά είναι 0.(Μέθοδος Χαλαρού Συνόρου-Relaxed Boundaries). Η θεώρηση αυτή είναι ρεαλιστική διότι οι τιμές των σκεδαζόμενων κυματικών δυναμικών από την ελεύθερη επιφάνεια είναι μικρές. Έτσι το πρόβλημα του ημίχωρου σε αυτήν την περίπτωση ανάγεται σε πρόβλημα πλήρους χώρου, διότι η μόνη συνοριακή συνθήκη που διέπει το πρόβλημα, είναι η θεώρηση των μηδενικών τάσεων tr1r1= tr1θ1 =0 στο επίπεδο ζ, με προσπίπτον κυματικό δυναμικό το άθροισμα του προσπίπτοντος και ανακλώμενου κυματικού δυναμικού. Η σύγκριση των αποτελεσμάτων που προέκυψαν από τις δύο θεωρήσεις ήταν πολύ ικανοποιητική. Συνεπώς, η προτεινόμενη μεθοδολογία έλυσε το πρόβλημα του υπολογισμού των εντατικών μεγεθών σε διατομή υπόγειου έργου τυχαίου σχήματος(με παραμετρική καμπύλη) η οποία βρίσκεται σε βάθος H από την ελεύθερη επιφάνεια, υπό σεισμική φόρτιση κυμάτων SV . Επίσης ο προτεινόμενος μετασχηματισμός μπορεί να εφαρμοστεί και σε άλλες περιπτώσεις επίλυσης φυσικών προβλημάτων συνοριακών τιμών, μηδενικών τάσεων στην ελεύθερη επιφάνεια tr2r2=tr2θ2=0.Με την απλοποιημένη μεθοδολογία του χαλαρού συνόρου, πραγματοποιούνται αναλύσεις στην περίπτωση επενδεδυμένων διατομών διαφόρων σχημάτων στον ημίχωρο υπό σεισμική διέγερση κυμάτων SV.Για την Αριθμητική Λύση εφαρμόστηκε ο Κώδικας Πεπερασμένων Διαφορών τριών διαστάσεων, FLAC 3D. Το λογισμικό αυτό εφαρμόζεται σε προβλήματα Γεωτεχνικής Μηχανικής για την ακριβή επίλυση της διαφορικής εξίσωσης της κίνησης. Το μοντέλο εδάφους-σήραγγας θεωρείται ελαστικό και υποβάλλεται σε σεισμική διέγερση από αρμονικό διατμητικό κύμα S κατακορύφως διαδιδόμενο, τύπου SH ή SV. Ένα επιπλέον πλεονέκτημα είναι ότι το FLAC 3D διαθέτει μια ενσωματωμένη γλώσσα την FISH, όπου ο χρήστης μπορεί να δημιουργήσει υπορουτίνες και κώδικες για την καλύτερη προσομοίωση του μοντέλου. Η διαμόρφωση του καννάβου για τα διάφορα σχήματα των διατομών της σήραγγας(κυκλική, τετραγωνική, ελλειπτική και πεταλοειδής) σχεδιάστηκε για μεν την κυκλική και τετραγωνική διατομή, με τα τυποποιημένα στοιχεία του FLAC 3D, για δε τις διατομές με περιπλοκότερα σχήματα, όπως η ελλειπτική και η πεταλοειδής διατομή, χρησιμοποιείται η γλώσσα FISH σε συνδυασμό με την θεωρία των σύμμορφων απεικονίσεων, όπου με τις κατάλληλες συναρτήσεις μετασχηματισμού μετασχηματίζεται το σύνορο της διατομής σε διατομή μοναδιαίου κύκλου. Η εξωτερική διέγερση, που προσομοιώνει την σεισμική φόρτιση, επιβλήθηκε στο σύνορο του καννάβου ως χρονοϊστορία τάσεων διαφορετική για κάθε μία από τις περιπτώσεις διατμητικών κυμάτων SH ή SV. Η αλληλεπίδραση εδάφους και κατασκευής προσομοιώνεται με το συντελεστή ευκαμψίας (flexibility ratio) F, ο οποίος ποσοτικοποιεί τη δυνατότητα της διατομής να ανθίσταται στις επιβαλλόμενες από το περιβάλλον έδαφος μετατοπίσεις . Για μεν τις περιπτώσεις της κυκλικής και της τετραγωνικής διατομής ο συντελεστής ευκαμψίας υπολογίζεται από συγκεκριμένους τύπους, για δε τις περιπτώσεις της ελλειπτικής και της πεταλοειδούς διατομής προτείνονται στη παρούσα μελέτη σχέσεις για τον υπολογισμό του.Πραγματοποιούνται δυναμικές αναλύσεις στην ελαστική περιοχή, στις οποίες διαφοροποιούνται οι κάτωθι παράγοντες :-Το είδος του διατμητικού κύματος S, (SH ή SV)-Το βάθος H που βρίσκεται η σήραγγα. Σε περίπτωση μεγάλου βάθους ισχύουν συνθήκες πλήρους χώρου (full space ).Αντίθετα στην περίπτωση που η σήραγγα βρίσκεται σε μικρό βάθος (αβαθής σήραγγα) ισχύουν συνθήκες ημίχωρου (half space). Στην παρούσα μελέτη εξετάζεται το βάθος μετρούμενο από το κέντρο της διατομής έως την ελεύθερη επιφάνεια, το οποίο είναι 2 ακτίνες σε περίπτωση κυκλικής διατομής, ενώ για τα υπόλοιπα σχήματα 2 «ισοδύναμες ακτίνες»-Το σχήμα της διατομής (κυκλικό, ελλειπτικό, τετραγωνικό, πεταλοειδές)-Η σχετική ακαμψία μεταξύ του υπογείου έργου και του περιβάλλοντος εδάφους, η οποία προσομοιάζεται με τον συντελεστή ευκαμψίας F (ανεπένδυτη ή επενδεδυμένη, άκαμπτη ή εύκαμπτη, κατασκευή). -Η υστερητική απόσβεση (ανεξάρτητη της συχνότητας), τύπου Rayleigh .Στην ανάλυση αυτή θεωρούμε απόσβεση ξ= 2%.Οι ανωτέρω παράγοντες παίζουν καθοριστικό ρόλο στις τιμές των εντατικών μεγεθών. Οι Αναλύσεις επαλήθευσαν τις ιδιότητες τόσο των κυμάτων SH όσο και των κυμάτων SV.Συγκρίνοντας την Αναλυτική με την Αριθμητική Μέθοδο παρατηρούμε ότι και οι δύο επαληθεύουν τις συνοριακές συνθήκες για τα SH & τα SV κύματα. Η Αναλυτική Μέθοδος δεν λαμβάνει υπ΄όψιν της σαν ενιαίο το μοντέλο Εδάφους-Κατασκευής, οπότε τα προκύπτοντα εντατικά μεγέθη για μεν την περίπτωση των μετατοπίσεων είναι της ίδιας τάξης μεγέθους, για δεν την περίπτωση των τάσεων υπάρχει σημαντική απόκλιση με τις μεγαλύτερες τιμές να εμφανίζονται στην Αναλυτική Μέθοδο. Αναφορικά με την καταπόνηση που υφίσταται η ίδια η σήραγγα παρατηρήθηκε σημαντική επιβάρυνση λόγω της σεισμικής διέγερσης.