Σημεία ισορροπίας και αλληλεπιδράσεις μεταξύ των παιχτών σε παιχνίδια χωρίς συνεργασία

Abstract

The first area concerns the comparison of the equilibrium points -- strategies and payoffs - of a bimatrix game versus the equilibrium points of the same game (same action spaces and payoff functions) when it is played sequentially. Specifically, given a bimatrix game, the associated leadership or commitment games are defined as the games at which one player, the leader, commits to a (possibly mixed) strategy and the other player, the follower, chooses his strategy after being informed of the irrevocable commitment of the leader (but not of its realization in case it is mixed). Based on a result by von Stengel and Zamir (2010), the notions of commitment value and commitment optimal strategies for each player are discussed as a possible solution concept. It is shown that in non-degenerate bimatrix games (a) pure commitment optimal strategies together with the follower's best response constitute Nash equilibria of the underlying game, and (b) strategies that participate in a completely mixed Nash equilibrium of the underlying game are strictly worse than commitment optimal strategies, provided they are not matrix game optimal. For various classes of bimatrix games that generalize zero sum games, the relationship between the maximin value of the leader's payoff matrix, the Nash equilibrium payoff and the commitment optimal value is discussed. For the Traveler's Dilemma, the commitment optimal strategy and commitment value for the leader are evaluated and seem more acceptable as a solution than the unique Nash equilibrium. Finally, the relationship between commitment optimal strategies and Nash equilibria in 2x2 bimatrix games is thoroughly examined and in addition, necessary and sufficient conditions for the follower to be worse off at the equilibrium of the leadership game than at any Nash equilibrium of the simultaneous move game are provided. The results of our research are presented in the paper On the commitment value and commitment optimal strategies in bimatrix games, which has been accepted for publication in the International Game Theory Review journal. Additionally, this paper has been presented at the 9th International Conference of the Israeli Chapter of the Game Theory Society and the Stony Brook International Conference in Game Theory, at an invited talk at South Dakota State University and at the Seminar of the Division of Statistics & Operations Research, Department of Mathematics, National & Kapodistrian University of Athens.The second research field concerns the classic Cournot model of oligopoly, at which we question the assumption of a fixed and exogenously given cost for the competing firms. This line of research has produced two papers. In the first, we study a single product market with affine inverse demand function in which two producers/retailers, producing under capacity constraints, may order additional quantities from a single profit maximizing supplier. We express this chain as a two stage game and show that it has a unique subgame perfect Nash equilibrium, which we calculate explicitly. If the supplier faces uncertainty about the demand intercept and whenever a Bayesian Nash equilibrium exists, the supplier's profit margin at equilibrium is a fixed point of a translation of the MRL function of his belief under the assumption that his belief is non-atomic and the retailers are identical. If the supplier's belief is of Decreasing Mean Residual Lifetime (DMRL), the game has a unique subgame perfect Bayesian Nash equilibrium. Various properties of the equilibrium solution are established, inefficiencies at equilibrium generated by the lack of information of the supplier are investigated, and examples are provided for various interesting cases. Finally, the main results are generalized for more than two identical producers/retailers. Our contribution lies in the extension of the classic Cournot model to a model that incorporates the formation of the cost parameter and aims to initiate the reexamination of the results that originate from the, usually non-realistic in contemporary economics, assumption of fixed marginal costs. In the second paper, we study a classic Cournot market, which we extend to a two-stage game with endogenous cost formation: the retailers' marginal cost represents purchases from a price-setting, revenue-maximizing supplier. Any demand uncertainty falls to the supplier, who acts first and sets the wholesale price under incomplete information concerning the retailers' willingness-to-pay at this price for ordering the product. We introduce the generalized mean residual life (GMRL) function of the supplier's belief distribution $F$ and show that his revenue function is unimodal, if the GMRL function is decreasing -- (DGMRL) property -- and $F$ has finite second moment. In this case, we characterize the supplier's optimal price as a fixed point of his MRL function and provide a bound on the market-inefficiency due to demand uncertainty, which is tight over the class of DMRL distributions. We then turn to the class of DGMRL random variables and study their moments, limiting behavior, and closure properties. Under the additional assumption that $F$ has a density, we establish its relationship to the widely used class of increasing generalized failure rate (IGFR) random variables. If a random variable is IGFR, then it is DGMRL. We provide a sufficient condition for the converse to be true and show that the limiting behavior of the GMRL and GFR functions is closely linked under a reciprocal relationship. Our results are presented in two papers entitled: Endogenizing the cost parameter in Cournot oligopoly and Selling to Cournot oligopolists: pricing under uncertainty & generalized mean residual life. The first has been presented in several international conferences with peer revision, which include the 10th International Conference on Game Theory and Management, 12th European Meeting on Game Theory (SING 12) and the central conference of the Game Theory research field, GAMES 2016, 5th World Congress of the Game Theory Society.My doctoral studies have been financed by a scholarschip of the Alexander S. Onassis Public Benefit Foundation, which I gratefully acknowledge. The papers Endogenizing the cost parameter in Cournot oligopoly and On the commitment value and commitment optimal strategies in bimatrix games have been part of the research program Excellence II, European Social Fund for Research: "Optimization of stochastic systems under partial information. The presentations at SING 12 and Stony Brook were financed by the Special Account for Research Grants of the National and Kapodistrian University of Athens.

Το πρώτο πεδίο έρευνας αφορά τη σύγκριση των σημείων ισορροπίας -- στρατηγικών και πληρωμών -- ενός διπινακοπαιχνιδιού όταν αυτό παίζεται ταυτόχρονα και των σημείων ισορροπίας του ίδιου παιχνιδιού όταν αυτό παίζεται εξακολουθητικά. Συγκεκριμένα, δεδομένου ενός διπινακο-παιχνιδιού (πεπερασμένου παιχνιδιού δύο παικτών σε κανονική μορφή), αναλύουμε το παραγόμενο εξακολουθητικό παιχνίδι ή παιχνίδι ηγεσίας (commitment or leadership game), το οποίο ορίζεται ως το παιχνίδι στο οποίο ένας παίκτης, ο οδηγός (leader), δεσμεύεται σε μία - δυνητικά μεικτή - στρατηγική, και ο άλλος παίκτης, ο ακόλουθος, επιλέγει τη στρατηγική του αφού πληροφορηθεί τη δεσμευτική και μη αναστρέψιμη μεικτή στρατηγική του οδηγού. Βασιζόμενοι σε ένα αποτέλεσμα των von Stengel and Zamir (2010), εισάγουμε τις έννοιες της τιμής δέσμευσης (commitment value) και των βέλτιστων στρατηγικών δέσμευσης ή στρατηγικών βέλτιστης δέσμευσης (commitment optimal strategies) ως προτεινόμενες έννοιες λύσης του διπινακοπαιχνιδιού. Σε μη-εκφυλισμένα διπινακοπαιχνίδια αποδεικνύουμε ότι, πρώτον, κάθε καθαρή βέλτιστη στρατηγική δέσμευσης μαζί με τη βέλτιστη σε αυτήν απάντηση αποτελούν σημείο ισορροπίας Nash του ταυτόχρονου παιχνιδιού (του παιχνιδιού σε κανονική μορφή) και δεύτερον, ότι οι στρατηγικές που συμμετέχουν σε εντελώς μεικτά σημεία ισορροπίας Nash και δεν αποτελούν στρατηγικές maxmin (στο αντίστοιχο πινακοπαιχνίδι) κυριαρχούνται αυστηρά από τις βέλτιστες στρατηγικές δέσμευσης. Στο ίδιο πλαίσιο, ασχολούμαστε στη συνέχεια με διάφορες κλάσεις διπινακοπαιχνιδιών που γενικεύουν τα παιχνίδια 2-παικτών 0-αθροίσματος και αναλύουμε τη σχέση που υπάρχει μεταξύ του επιπέδου ασφάλειας (τιμή πινακοπαιχνιδιού), των πληρωμών στα σημεία Nash και των τιμών δέσμευσης κάθε παίκτη. Υπολογίζουμε την τιμή δέσμευσης στο κλασικό παιχνίδι του Διλήμματος του Ταξιδιώτη και καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι αποτελεί περισσότερο ελκυστική και πειστική λύση σε σχέση με το μοναδικό σημείο Nash. Τέλος, σε διπινακοπαιχνίδια 2x2 (δηλαδή διπινακοπαιχνίδια στα οποία κάθε παίκτης έχει 2 στρατηγικές), περιγράφουμε αναλυτικά τη σχέση μεταξύ στρατηγικών ισορροπίας Nash και βέλτιστων στρατηγικών δέσμευσης και διατυπώνουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες κάτω από τις οποίες η πληρωμή του ακόλουθου στο σημείο ισορροπίας του εξακολουθητικού παιχνιδιού είναι χειρότερη από τις πληρωμές του σε όλα τα σημεία Nash του ταυτόχρονου παιχνιδιού.Τα αποτελέσματα της έρευνάς μας παρουσιάζονται στο άρθρο On the commitment value and commitment optimal strategies in bimatrix games, το οποίο έχει γίνει δεκτό για δημοσίευση στο περιοδικό International Game Theory Review. Επίσης, έχει παρουσιαστεί στα διεθνή συνέδρια με κριτές 9th International Conference of the Israeli Chapter of Game Theory και Stony Brook International Conference in Game Theory, σε μια προσκεκλημένη ομιλία στο South Dakota State University και στο Τακτικό Σεμινάριο του Τομέα Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας.Το δεύτερο πεδίο έρευνας αφορά το κλασικό μοντέλο ολιγοπωλίου του Cournot -- ολιγοπώλιο στο οποίο μεταβλητή απόφασης των λιανοπωλητών είναι η ποσότητα -- στο οποίο θέτουμε υπό εξέταση την κλασική υπόθεση ότι το κόστος των ολιγοπωλητών είναι σταθερό και δεδομένο εξωγενώς. Σε αυτήν την κατεύθυνση προέκυψαν δύο άρθρα. Στο πρώτο από αυτά, εξετάζουμε την αγορά ενός ομογενούς προϊόντος με αφινική αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης, στην οποία δραστηριοποι-ούνται δύο παραγωγοί/λιανοπωλητές. Οι παραγωγοί έχουν δυνατότητα παραγωγής περιορισμένης ποσότητας του προϊόντος αλλά μπορούν να παραγγείλουν πρόσθετες ποσότητες από έναν -- μοναδικό -- προμηθευτή ο οπ-οίος επιδιώκει να μεγιστοποιήσει το κέρδος του. Μοντελοποιούμε την συγκεκριμένη αγορά ή εφοδιαστική αλυσίδα ως ένα παιχνίδι δύο σταδίων και αποδεικνύουμε ότι έχει μοναδικό σημείο ισορροπίας Nash τέλειο ως προς τα υποπαιχνίδια, το οποίο και υπολογίζουμε αναλυτικά. Αν ο προμηθευτής είναι αβέβαιος για την πραγματική ζήτηση που αντιμετωπίζουν οι παραγωγοί, τότε το βέλτιστο περιθώριο κέρδους του σε κάθε μπεϋζιανό σημείο ισορροπίας Nash (όταν αυτό υπάρχει), είναι σταθερό σημείο μίας κατάλληλης μετατόπισης της συνάρτησης του μέσου υπολειπόμενου χρόνου ζωής -- Mean Residual Lifetime (MRL) function -- της πίστης του για την στοχαστική παράμετρο της ζήτησης κάτω από την υπόθεση ότι η πίστη του έχει συνεχή συνάρτηση κατανομής -- δεν περιλαμβάνει δηλαδή μεμονωμένα σημεία (άτομα) με μάζα πιθανότητας -- και οι λιανοπωλητές είναι πανομοιότυποι. Αν η συνάρτηση του μέσου υπολειπόμενου χρόνου ζωής είναι φθίνουσα, τότε το παιχνίδι έχει μοναδικό μπεϋζιανό σημείο ισορροπίας Nash τέλειο ως προς τα υποπαιχνίδια. Ακολούθως, προσδιορίζουμε διάφορες ιδιότητες του σημείου ισορροπίας, δίνουμε παραδείγματα σε ένα μεγάλο εύρος κατανομών πιθανότητας (για την πίστη του προμηθευτή) και εξετάζουμε την αναποτελεσματικότητα που προκύπτει στο μπεϋζιανό σημείο ισορροπίας λόγω της έλλειψης πληροφόρησης για την πραγματική ζήτηση από την πλευρά του προμηθευτή. Τέλος, γενικεύουμε τα βασικά αποτέλεσματα στην περίπτωση περισσότερων από δύο πανομοιότυπων παραγωγών/ λιανοπωλητών. Η συνεισφορά μας βρίσκεται στην επέκταση του κλασικού μοντέλου ολιγοπωλίου Cournot και φιλοδοξεί να αποτελέσει τη θεωρητική βάση για την επανεξέταση της πλειονότητας των αποτελεσμάτων τα οποία έχουν εξαχθεί κάτω από τη μη ρεαλιστική στη σημερινή οικονομία υπόθεση του σταθερού οριακού κόστους παραγωγής. Στο δεύτερο άρθρο, μελετούμε μια κλασική αγορά Cournot, την οποία επεκτείνουμε σε ένα παιχνίδι δύο σταδίων με ενδογενή προσδιορισμό του κόστους: το οριακό κόστος των λιανοπωλητών αντιστοιχεί στη χονδρική τιμή που θέτει ένας μοναδικός προμηθευτής. Ο προμηθευτής παράγει επαρκή ποσότητα για να καλύψει οποιαδήποτε ζήτηση από τους λιανοπωλητές και έτσι η μοναδική μεταβλητή απόφασής του είναι η χονδρική τιμή. Στόχος του είναι η μεγιστοποίηση της προσόδου του. Η όποια αβεβαιότητα για την τελική αγοραστική ζήτηση από τους καταναλωτές βαραίνει τον προμηθευτή, ο οποίος συνεπώς θέτει την χονδρική τιμή κάτω από ελλιπή πληροφόρηση για το ποσό που είναι διατεθειμένοι να πληρώσουν σε αυτόν οι λιανοπωλητές για τις παραγγελίες τους. Εισάγουμε την γενικευμένη συνάρτηση μέσης υπολειπόμενης ζωής (generalized mean residual life (GMRL) function) της κατανομής F που περιγράφει την πίστη του προμηθευτή για την αβέβαιη ζήτηση και δείχνουμε ότι αν η συνάρτηση GMRL είναι φθίνουσα και η δεύτερη ροπή της F είναι πεπερασμένη, τότε η συνάρτηση προσόδου του προμηθευτή είναι μονοκόρυφη. Στην περίπτωση αυτή, χαρακτηρίζουμε την βέλτιστη χονδρική τιμή ως σταθερό σημείο της συνάρτησης MRL και εξάγουμε ένα σφικτό, ως προς όλες τις κατανομές με την ιδιότητα DMRL, άνω φράγμα για την αναποτελεσματικότητα που υπάρχει στο σημείο ισορροπίας της αγοράς λόγω της ελλιπούς πληροφόρησης του προμηθευτή. Στη συνέχεια, στρέφουμε την προσοχή μας στην κλάση των DGMRL τυχαίων μεταβλητών και μελετούμε τις ροπές τους, την οριακή τους συμπεριφορά και τις ιδιότητες αναλλοίωτου που έχουν κάτω από διάφορους μετασχηματισμούς. Κάτω από την πρόσθετη υπόθεση ότι η F έχει πυκνότητα, εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ της κλάσης DGMRL και της ευρεώς διαδεδομένης κλάσης των τυχαίων μεταβλητών με αύξοντα γενικευμένο ρυθμό κινδύνου (increasing generalized failure rate (IGFR)). Αν μία τυχαία μεταβλητή είναι IGFR, τότε είναι και DGMRL. Μια επαρκής, αν και περιοριστική, συνθήκη για να ισχύει το αντίθετο, είναι ο λογάριθμος της συνάρτησης MRL να είναι κυρτός. Τέλος, δείχνουμε ότι η οριακή συμπεριφορά των συναρτήσεων GMRL και GFR συνδέεται με μία αντίστροφη σχέση και μελετούμε παραδείγματα που διευκρινίζουν τα αποτελέσματά μας. Τα αποτελέσματά μας παρουσιάζονται σε μια σειρά από δύο άρθρα με τίτλους: eq{Endogenizing the cost parameter in Cournot oligopoly και Selling to Cournot oligopolists: pricing under uncertainty & generalized mean residual life. Το πρώτο από αυτά έχει παρουσιαστεί σε μια σειρά διεθνών συνεδρίων με κριτές, μεταξύ των οποίων τα 10th International Conference on Game Theory and Management, 12th European Meeting on Game Theory καθώς και το κεντρικό τετρατές συνέδριο της περιοχής GAMES 2016, 5th World Congress of the Game Theory Society.Οι διδακτορικές μου σπουδές και η έρευνα που αφορά τα δύο παραπάνω άρθρα, χρηματοδοτήθηκαν σε όλη τη διάρκειά τους από μία υποτροφία του Κοινοφελούς Ιδρύματος Αλέξανδρου Σ. Ωνάση. Τα άρθρα Endogenizing the cost parameter in Cournot oligopoly και On the commitment value and commitment optimal strategies in bimatrix games αποτέλεσαν μέρος του προγράμματος Αριστείας Excellence II, European Social Fund for Research: "Optimization of stochastic systems under partial information. Η παρουσίαση του άρθρου στα συνέδρια SING 12 και Stony Brook χρηματοδοτήθηκε από τον Ειδικό Λογαριασμό Κονδυλίων Έρευνας του Εθνικού & Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών.