Χρήση γενικευμένων μη τοπικών θεωριών για την επίλυση προβλημάτων ελαστικότητας

Abstract

This dissertation focuses on using the generalized nonlocal continuum theories for the investigation of nano-structural models by carrying out applications for carbon nanotubes (CNTs). Two of the most known and most thorough generalized continuum theories are a) the nonlocal theory of elasticity (NTE) and b) the strain gradient theory of elasticity (SGTE). The NTE elementary principle is that interactions between all the material points of the body are taken into account, through attenuation functions, by attributing force field nonlocal interactions that appear at an atomic scale to the continuum. On the other hand, SGTE formulations are based on an expansion of the classical strain so that strain derivatives can be included. What is more, an exhaustive study of static and dynamical problems follows for beam structural elements in the contexts of NET and SGTE. According to the literature, the beam structural element is an effective tool to simulate CNTs. In particular, nonlocal integral and differential models are studied for various attenuation functions regarding the bending and the free vibration beam problem, respectively. The previous problems are supplemented with different types of boundary conditions (BCs) and loading. The equilibrium equations and the corresponding BCs are deduced by energy formulations. Significant conclusions are drawn by the overall procedure for both nonlocal forms and their suitability. The research, carried out into the integral energy expressions, leads to a successful resolution for the first time, of “paradoxes” that have appeared in the literature in connection with the nonlocal differential form in static and dynamical problems for over a decade. Furthermore, studies based on the nonlocal integral form highlight issues essential to the attenuation function in a finite domain. To overcome the inconsistencies raised, solutions are proposed by considering the attenuation function as a probability density function. From a physical point of view, this is a more robust consideration in a finite domain. Moreover, an exploration of a beam structural element in the context of SGTE is performed and crucial conclusions are derived both for the static and the dynamical problem. Also highlighted the micro inertia effect on the beam behavior for the free vibration problems. Furthermore, a comparison is conducted between the aforementioned results and the results deduced from CNTs’ molecular dynamics (MD) simulations. The above simulations are either presented in the literature or carried out at NTUA. Given the previous comparison, conclusions concerning the suitability and the adaptation of each structural element to in silico MD experiments are reached.

Το κύριο αντικείμενο της παρούσας διατριβής είναι η χρήση γενικευμένων, μη τοπικών, θεωριών συνεχούς μέσου/ελαστικότητας, για την μελέτη προβλημάτων σε δομικούς φορείς στη κλίμακα των νανομέτρων, με εφαρμογές σε νανοσωλήνες άνθρακα (carbon nanotubes – CNTs). Δύο από τις γνωστότερες και αρκετά επεξεργασμένες γενικευμένες θεωρίες είναι α) η μη τοπική θεωρία ελαστικότητας (Μ.Τ.Θ.Ε.) και β) η θεωρία βαθμίδας ελαστικότητας/τροπών (Θ.Β.Ε./Τ.). Η Μ.Τ.Θ.Ε. εισάγει την έννοια της αλληλεπίδρασης μεταξύ όλων των υλικών σημείων ενός σώματος, μέσω συναρτήσεων εξασθένισης (Σ.Ε.), προσπαθώντας να αποδώσει στο συνεχές μέσο τις μη τοπικές αλληλεπιδράσεις δυνάμεων πεδίου που εμφανίζονται σε ατομικό επίπεδο, ενώ κύριο χαρακτηριστικό των Θ.Β.Ε./Τ. θεωρείται η επέκταση της έννοια της κλασικής τροπής ώστε να περιλαμβάνει και τους ρυθμούς αυτής. Γίνεται μια πλήρης διερεύνηση στατικών και δυναμικών προβλημάτων για δομικά στοιχεία δοκών στο πλαίσιο της Μ.Τ.Θ.Ε. όπως επίσης και στο πλαίσιο των Θ.Β.Τ., σημειώνοντας ότι τα δομικά στοιχεία δοκού θεωρούνται ένα ικανοποιητικό εργαλείο για την μοντελοποίηση CNTs. Αναλυτικότερα, μελετήθηκαν ολοκληρωτικά και διαφορικά μοντέλα της Μ.Τ.Θ.Ε. για διάφορες Σ.Ε. με αναφορά στο πρόβλημα της κάμψης και της ελεύθερης ταλάντωσης δοκού για μια σειρά περιπτώσεων ουσιωδών συνοριακών συνθηκών (Σ.Σ.) και τύπων φόρτισης, εξάγοντας τις εξισώσεις κίνησης/ισορροπίας και τις αντίστοιχες Σ.Σ. μέσω ενεργειακών θεωρήσεων και προέκυψαν εξαιρετικά χρήσιμα συμπεράσματα σχετικά με την καταλληλότητα κάθε μορφής. Η μελέτη των ενεργειακών εκφράσεων της ολοκληρωτικής μορφής επέτρεψε για πρώτη φορά την επίλυση μιας σειράς διαφόρων «παραδόξων» τα οποία εμφανίζονταν στη βιβλιογραφία για σχεδόν μια δεκαετία για την διαφορική μορφή της Μ.Τ.Θ.Ε., τα οποία έθεταν ερωτηματικά για την εφαρμογή της θεωρίας σε προβλήματα κατασκευών. Επιπλέον, η μελέτη του ολοκληρωτικού μοντέλου ανέδειξε ένα σημαντικό ζήτημα που αφορά τη συμπεριφορά της Σ.Ε. στα σύνορα κατασκευών πεπερασμένων διαστάσεων και προτάθηκαν και δοκιμάστηκαν λύσεις για να ξεπεραστούν οι δυσκολίες που προκύπτουν, προσεγγίζοντας τις Σ.Ε. ως συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, επεκτείνοντας τη φυσική τους ερμηνεία. Επιπλέον, γίνεται μια διερεύνηση του στοιχείου δοκού στα πλαίσια της Θ.Β.Ε./Τ από όπου προκύπτουν σημαντικά συμπεράσματα τόσο για το στατικό όσο και για το δυναμικό πρόβλημα, όπου στα δεύτερα αναδεικνύεται ο ρόλος της μικρο – αδράνειας στην συμπεριφορά των δοκών για το σύνολο προβλημάτων που μελετήθηκαν. Τέλος, για το πρόβλημα της ελεύθερης ταλάντωσης, γίνεται μια σύγκριση των αποτελεσμάτων από τα παραπάνω δομικά μοντέλα με αποτελέσματα προσομοιώσεων μοριακής δυναμικής (Μ.Δ.) για CNTs από τη βιβλιογραφία, αλλά και από προσομοιώσεις που έγιναν στο Ε.Μ.Π. προκειμένου εξαχθούν συμπεράσματα για την καταλληλότητα προσαρμογής κάθε δομικού μοντέλου σε αυτά.