The generic expansion in analytic modified gravity

Abstract

In this Thesis, we treat the problem of the existence of generic perturbations of the regular and singular state in higher-order gravity in cases of vacuum and radiation models that derives from the lagrangian R+εR^2. We show that there is a regular state of the theory in vacuum in the form of a formal series expansion having the same number of free functions as those required for a general solution of the theory, while this is not true for the case of radiation. This means that there exists an open set in the space of analytic initial data of the theory in vacuum that leads to a regular solution having the correct number of free functions to qualify as a general solution. Further, we show that a singular state of the theory in vacuum cannot be admitted, while in the case of radiation we obtain a particular solution. To achieve this, we need to develop a number of results in various directions. We prove that there exists a first-order formulation of the theory with the Cauchy-Kovalevskaya property. This formulation of the quadratic theory R+εR^2 evolves an initial data set (M,γ,K,D,W) (plus energy density ρ and velocities u for the radiation case), through a set of four evolution equations and two constraint equations to build the time development (V,g). We then prove that if we start with an initial data set in which the metric has the asymptotic form (regular or singular) and evolve, then we can build an asymptotic development in the form of a formal series expansion which satisfies the evolution and constraint equations and has the same number of free functions as those of a general solution of the theory in vacuum, with less free functions for the case of radiation. In other words, we show that regularity is a generic feature of the R+εR^2 theory in vacuum under the assumption of analyticity, but this cannot happen for generic radiation models.

Σε αυτή την εργασία πραγματευόμαστε το πρόβλημα της ύπαρξης των γενικών διαταραχών της ομαλής και ιδιόμορφης κατάστασης σε υψηλότερης τάξης θεωρίας βαρύτητας, στην περίπτωση του κενού και του μοντέλου ακτινοβολίας, το οποίο παράγεται από τη λαγκρατζιανή R+εR^2. Δείχνουμε ότι υπάρχει μία ομαλή κατάσταση της θεωρίας στο κενό υπό τη μορφή σειρών, έχοντας τον ίδιο αριθμό ελεύθερων συναρτήσεων με εκείνες που απαιτούνται από τη γενική λύση της θεωρίας και το οποίο δεν είναι αληθές για την περίπτωση της ακτινοβολίας. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα ανοιχτό σύνολο αναλυτικών αρχικών δεδομένων της θεωρίας στο κενό το οποίο οδηγεί σε ομαλή λύση έχοντας τον σωστό αριθμό ελεύθερων συναρτήσεων έτσι ώστε αυτή να περιγραφεί ως γενική λύση. Επιπλέον, δείχνουμε ότι μία ιδιόμορφη κατάσταση της θεωρίας στο κενό δε μπορεί να γίνει αποδεκτή, καθώς στην περίπτωση της ακτινοβολίας οδηγεί σε ειδική λύση. Για να το πετύχουμε αυτό, χρειαζόμαστε να παρουσιάσουμε έναν αριθμό αποτελεσμάτων σε ποικίλες κατευθύνσεις. Αποδεικνύουμε ότι υπάρχει μία πρώτης τάξης μοντελοποίηση της θεωρίας με την ιδιότητα Cauchy-Kovalevskaya. Αυτή η μοντελοποίηση της τετραγωνικής θεωρίας R+εR^2 εξελίσσει ένα σύνολο αρχικών δεδομένων (Μ,γ,K,D,W) (καθώς και την πυκνότητα ενέργειας ρ και τις ταχύτητες u στην περίπτωση της ακτινοβολίας), δια μέσου ενός συνόλου τεσσάρων εξισώσεων εξέλιξης και δύο εξισώσεων δεσμών για να κατασκευάσει τη χρονική εξέλιξη (V,g). Έπειτα αποδεικνύουμε ότι αν ξεκινήσουμε με ένα σύνολο αρχικών δεδομένων, στο οποίο η μετρική έχει ασυμπτωτική μορφή (ομαλή ή ιδιόμορφη) και αναπτύξουμε, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μία ασυμπτωτική εξέλιξη υπό τη μορφή σειρών η οποία ικανοποιεί τις εξισώσεις εξέλιξης και τις εξισώσεις δεσμών και περιέχει τον ίδιο αριθμό ελεύθερων συναρτήσεων όπως εκείνων της γενικής λύσης της θεωρίας στο κενό, και λιγότερες ελεύθερες συναρτήσεις για την περίπτωση της ακτινοβολίας. Με άλλα λόγια, δείχνουμε ότι η ομαλότητα είναι ένα τυπικό χαρακτηριστικό της θεωρίας R+εR^2 στο κενό με την υπόθεση της αναλυτικότητας, κάτι τέτοιο εν τούτις παραβιάζεται σε τυπικά μοντέλα ακτινοβολίας.