Numerical solution of incompressible flow equations over irregular geometry, with application to coastal hydrodynamics

Abstract

Modern CFD applications require the treatment of general complex domains to accurately model the emerging flow patterns. In the present work, a new finite difference scheme is employed and tested for the numerical solution of the incompressible Navier-Stokes equations in a complex domain described in curvilinear coordinates. A staggered grid discretization is used on both the physical and computational domains. A subgrid based computation of the Jacobian and the metric coefficients of the transformation is used. The discretization methods employed with the current methodology include, low (1st, 2nd) and higher order (4th) compact schemes for the temporal, advection and diffusion terms of the N-S equations. The temporal discretization is carried out by either a 1st Order Explicit Scheme, a 2nd Order Predictor--Corrector Method, or a 4th Order Explicit Runge-Kutta Method. Since the algorithm is tested over a variety of complex domains, the effective boundary conditions treatment is very important, especially in curvilinear coordinates, where the shape and the diversity of the boundary regions (slip / no-slip walls, inlet, outlet, symmetry, periodic, free surface, etc.) deviates from its simpler cartesian counterpart. The incompressibility condition, properly transformed in curvilinear coordinates, is enforced by an iterative procedure employing either a modified local pressure correction technique or the globally defined numerical solution of a general elliptic BVP (a Poisson-type equation). The enforcement of the incompressibility condition to the numerical solution, at each time step, produced by a high order numerical scheme is commonly accepted to be the most computationally demanding part of the overall algorithm. To expand the computational applications of the current methodology, the governing equations can be depth-averaged to produce the well-known shallow water equations, which include bathymerty forces and friction. Coupled with the Exner equation for describing the morphological evolution, a single system of equations is numerically solved by a high-resolution finite volume scheme of the relaxation type. This numerical scheme is based on classical relaxation models previously developed, where neither approximate Riemann solvers nor characteristic decompositions are required. Bed-load sediment transport simulations are presented, targeted to describe the morphodynamics in coastal areas. Different forms of the bed-load transport flux are considered in the Exner equation. The results obtained by the proposed Navier-Stokes solution algorithm, exhibit very good agreement with other experimental and numerical calculations for a variety of flow domains and grid configurations. The overall numerical solver effectively treats the general complex domains, for different types of boundary conditions. To test the validity of the results, obtained by the shallow water equations coupled with the Exner equation, comparisons are made for benchmark cases in the bibliography, as well as with commercial software, in an coastal area on the island of Crete.

Οι σύγχρονες εφαρμογές υπολογιστικής ρευστοδυναμικής (CFD) επιβάλουν την χρήση γενικευμένων σύνθετων γεωμετρικών χωρίων για την ακριβή επίλυση των πεδίων ροής. Με την παρούσα εργασία προτείνεται μία νέα μέθοδος πεπερασμένων διαφορών για την αριθμητική επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes για ασυμπίεστη ροή σε σύνθετα χωρία με χρήση γενικευμένου καμπυλόγραμμου συστήματος συντεταγμένων. Η χρήση εναλλασσόμενου πλέγματος (staggered grid) πραγματοποιείται τόσο στο φυσικό όσο και στο υπολογιστικό χωρίο. Η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού καθώς και οι μετρικοί συντελεστές υπολογίζονται επί ενός υποπλέγματος του πραγματικού χωρίου. Οι μέθοδοι διακριτοποίησης που υλοποιούνται στην παρούσα εργασία περιλαμβάνουν χαμηλής (1ης, 2ης) και υψηλότερης τάξης (4ης) συμπαγή έμμεσα σχήματα πεπερασμένων διαφορών για τους όρους μεταφοράς και διάχυσης των εξισώσεων N-S καθώς και για την χρονική προέλαση αυτών. Η χρονική προέλαση τους πραγματοποιείται είτε με άμεση μέθοδο (Euler), είτε με την δεύτερης τάξης μέθοδο Πρόβλεψης - Διόρθωσης (2nd Order Predictor-Corrector), ή με την 4ης τάξης μέθοδο Runge-Kutta (RK4). Καθώς η μέθοδος υλοποιείται για την κάλυψη ποικιλόμορφων σύνθετων γεωμετρικών χωρίων, η αντιμετώπιση των συνοριακών συνθηκών είναι πολύ σημαντική, ιδιαίτερα σε γενικές καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, όπου το σχήμα και η πολυπλοκότητα των συνοριακών περιοχών (συνθήκες ολίσθησης / μη ολίσθησης, εισόδου, εξόδου, συμμετρίας, περιοδικότητας, ελεύθερης επιφάνειας, κλπ) αποκλίνουν σε μεγάλο βαθμό από τις αντίστοιχες στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Η συνθήκη ασυμπιεστότητας, κατάλληλα μετασχηματισμένη για καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, επιβάλλεται με την χρήση μίας επαναληπτικής μεθόδου τοπικής διόρθωσης της πίεσης, ή μίας καθολικής μεθόδου, μέσω της αριθμητικής επίλυσης ενός γενικευμένου ελλειπτικού προβλήματος συνοριακών τιμών (εξίσωση τύπου Poisson). Η επιβολή της συνθήκης ασυμπιεστότητας για κάθε χρονικό βήμα της αριθμητικής επίλυσης γίνετε με χρήση μεθόδου υψηλής τάξης ακρίβειας και είναι κοινά αποδεκτό ότι αποτελεί το πιο υπολογιστικά απαιτητικό τμήμα της συνολικής αριθμητικής μεθόδου. Για την επέκταση των υπολογιστικών δυνατοτήτων της παρούσας μεθοδολογίας, οι επιλυόμενες εξισώσεις μπορούν, με κατάλληλο μετασχηματισμό, να αποδώσουν τις εξισώσεις ρηχών υδάτων, που συμπεριλαμβάνουν την βαθυμετρία, δυνάμεις αδράνειας και τριβής. Συνδυαζόμενες με την εξίσωση Exner για την περιγραφή της μορφοδυναμικής εξέλιξης, δημιουργείται ένα ενιαίο σύστημα εξισώσεων που μπορεί να επιλυθεί αριθμητικά με χρήση μιας υψηλής ακρίβειας μεθόδου χαλάρωσης. Στην εξίσωση Exner χρησιμοποιήθηκαν διάφορες μορφές για την ροή του φορτίου στερεομεταφοράς. Παρατίθεται μία σειρά μορφοδυναμικών αποτελεσμάτων ειδικά εστιασμένη στην μορφολογία των παράκτιων περιοχών. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τον προτεινόμενο αλγόριθμο επίλυσης των εξισώσεων Navier-Stokes, παρουσιάζουν πολύ καλή συμφωνία με άλλους πειραματικούς και αριθμητικούς υπολογισμούς για μια πλειάδα πεδίων ροής και διαμορφώσεις πλέγματος. Η συνολική αριθμητική μέθοδος αντιμετωπίζει αποτελεσματικά τα γενικευμένα πολύπλοκα χωρία, για τα διάφορα είδη των συνοριακών συνθηκών. Για να ελεγχθεί η εγκυρότητα των αποτελεσμάτων, που λαμβάνονται από τις εξισώσεις ρηχών υδάτων σε συνδυασμό με την εξίσωση Exner, γίνονται συγκρίσεις με χαρακτηριστικά παραδείγματα αναφοράς από τη βιβλιογραφία, καθώς και με εμπορικό λογισμικό, σε παράκτιες περιοχές της νήσου Κρήτης.