Περιστρεφόμενα εκτεταμένα αντικείμενα και αντιστοιχία Ads / CFT

Abstract

In its strongest version, the AdS/CFT conjecture states that N = 4, su(Nc) super Yang-Mills (SYM) theory is equal to type IIB string theory on AdS5xS5. It is by far the most important equation in theoretical physics of our time, a sort of a "harmonic oscillator" for both the quantum theory of gravity and gauge theories. It goes without saying that it is imperative to fully understand its limits of validity and thoroughly investigate its implications. In particular, it would be desirable to solve the theory, i.e. to be able to compute all of its observables. One of the most important observables of AdS/CFT is its spectrum. According to the AdS/CFT "dictionary", the spectrum of the theory comprises the energies of its string states, each of which must be equal to the scaling dimensions of its dual gauge theory operator. The full spectral problem of AdS/CFT is solved by integrability, in the sense that integrability provides the full set of algebraic equations that determine it. Integrability methods are however severely limited in the regime of long, strongly coupled operators, such as those that are dual to Gubser-Klebanov-Polyakov (GKP) strings, giant magnons and single spike strings. In this thesis we study classical strings and branes in the context of the AdS/CFT correspondence. Our goal is twofold: (1) develop methods for computing the AdS5/CFT4 spectrum in the case of long, strongly coupled operators, by using classical strings and (2) understand the role of classical membranes in AdS/CFT by investigating their stringy limits. With regard to the first objective, we compute the classical spectra of long rotating GKP strings, giant magnons and single spikes. The conserved linear and angular momenta of these string configurations, that live in either AdS3 or RxS2, are known in parametric form in terms of the strings' linear and angular velocities. We eliminate the linear and angular velocities from the expressions that give the energy of the strings, in favor of the strings' conserved charges of linear and angular momenta. This way, we find all the leading, subleading and next-to-next-to-leading terms in the dispersion relations of the aforementioned string configurations. Our results are expressed in closed forms with Lambert's W-function. For the second objective we introduce and study "stringy membranes", a new class of membranes that live in AdS{4/7}xS{7/4} or AdS4xS7/Zk and have the same equations of motion, constraints and conserved charges with strings that live in an appropriate subset of AdS5. Stringy membranes can be constructed whenever the target spacetime contains a compact submanifold, by identifying one of the submanifold's compact coordinates with one of the membrane worldvolume coordinates. For the stringy membranes that reproduce the pulsating and rotating GKP strings in AdS, we find that the spectrum of their transverse quadratic fluctuations displays a multiple band/gap structure governed by the Lame equation. Conversely, string excitations are represented by a single-band/single-gap Lame pattern. These findings confirm the picture that we have of membranes as collective excitations of some stringy counterparts.

Στην ισχυρότερη εκδοχή της, η εικασία AdS/CFT αναφέρει ότι η N = 4, su(Nc) super Yang-Mills (SYM) θεωρία είναι ίση με τη θεωρία υπερχορδών τύπου IIB, στο χώρο AdS5xS5. Είναι μακράν από τις σημαντικότερες εξισώσεις θεωρητικής φυσικής της εποχής μας, ένα είδος «αρμονικού ταλαντωτή» τόσο για την κβαντική θεωρία της βαρύτητας, όσο και για τις θεωρίες βαθμίδας. Ως εκ τούτου, είναι επιτακτική η ανάγκη να κατανοηθούν πλήρως τα όρια ισχύος της και να διερευνηθούν διεξοδικά όλες της οι συνέπειες. Πιο συγκεκριμένα, θα ήταν ευκταίο να μπορούσαμε να λύσουμε τη θεωρία, ήτοι να υπολογίσουμε όλα της τα παρατηρήσιμα μεγέθη. Ένα από τα σημαντικότερα παρατηρήσιμα μεγέθη της αντιστοιχίας AdS/CFT είναι το φάσμα της. Σύμφωνα με το «λεξικό» της αντιστοιχίας AdS/CFT, το φάσμα της θεωρίας περιλαμβάνει τις ενέργειες των καταστάσεων χορδών αυτής, καθεμιά εκ των οποίων θα πρέπει να είναι ίση με τις διαστάσεις κλίμακας του δυϊκού τελεστή της χορδής στη θεωρία βαθμίδας. Το πλήρες φασματικό πρόβλημα της αντιστοιχίας AdS/CFT λύνεται από την ολοκληρωσιμότητα, υπό την έννοια ότι η ολοκληρωσιμότητα παρέχει το πλήρες σύνολο αλγεβρικών εξισώσεων που καθορίζουν το φάσμα. Οι μέθοδοι της ολοκληρωσιμότητας περιορίζονται ωστόσο σημαντικά στο όριο των μεγάλων, ισχυρά συζευγμένων τελεστών, όπως π.χ. εκείνων που είναι δυϊκοί στις χορδές Gubser-Klebanov-Polyakov (GKP), τα γιγάντια μαγνόνια και τις «απλές ακίδες». Στην παρούσα διατριβή μελετάμε κλασσικές χορδές και βράνες στα πλαίσια της αντιστοιχίας AdS/CFT. Ο στόχος μας είναι διττός: (1) να αναπτύξουμε μεθόδους για τον υπολογισμό του φάσματος της αντιστοιχίας AdS5/CFT4, στην περίπτωση μεγάλων, ισχυρά συζευγμένων τελεστών, χρησιμοποιώντας κλασσικές χορδές και (2) να κατανοήσουμε το ρόλο των κλασσικών μεμβρανών στην αντιστοιχία AdS/CFT, διερευνώντας τα χορδοειδή τους όρια. Ως προς τον πρώτο στόχο, υπολογίζουμε τα κλασσικά φάσματα των μεγάλων χορδών GKP, των γιγάντιων μαγνονίων και των απλών ακίδων. Οι διατηρούμενη γραμμική ορμή και στροφορμή αυτών των διατάξεων χορδών, οι οποίες ζουν είτε εντός του AdS3 ή στον RxS2, είναι γνωστές σε παραμετρική μορφή συναρτήσει των γραμμικών και γωνιακών ταχυτήτων των χορδών. Απαλείφουμε τη γραμμική και γωνιακή ταχύτητα από τις εκφράσεις που δίνουν την ενέργεια των χορδών, προς όφελος των διατηρούμενων φορτίων της γραμμικής ορμής και στροφορμής των χορδών. Έτσι, βρίσκουμε όλους τους κυρίαρχους, επόμενους και μεθεπόμενους όρους στις σχέσεις διασποράς των παραπάνω διατάξεων. Τα αποτελέσματά μας εκφράζονται σε κλειστές μορφές με τη βοήθεια της συνάρτησης W του Lambert. Για το δεύτερο στόχο, εισάγουμε και μελετάμε τις «χορδοειδείς μεμβράνες», μια νέα κατηγορία μεμβρανών που ζουν στον AdS{4/7}xS{7/4} ή τον AdS4xS7/Zk και έχουν τις ίδιες εξισώσεις κίνησης, συνδέσμους και διατηρούμενα φορτία με χορδές που ζουν σε ένα κατάλληλο υποσύνολο του AdS5. Οι χορδοειδείς μεμβράνες δύνανται να κατασκευαστούν κάθε φορά που ο χωροχρόνος περιέχει μια συμπαγή υποπολλαπλότητα, ταυτοποιώντας μία από τις συμπαγείς συντεταγμένες της υποπολλαπλότητας με μία εκ των συντεταγμένων κοσμικού όγκου της μεμβράνης. Για τις χορδοειδείς μεμβράνες που αναπαράγουν την παλλόμενη και περιστρεφόμενη χορδή των GKP εντός του AdS, βρίσκουμε ότι το φάσμα των εγκάρσιων διαταραχών τους έχει τη δομή πολλαπλών ζωνών/χασμάτων που διέπονται από την εξίσωση Lamé. Αντίθετα, οι διεγέρσεις μιας χορδής αναπαρίστανται από μία δομή μονής ζώνης/χάσματος Lamé. Αυτά τα ευρήματα επιβεβαιώνουν την εικόνα που έχουμε για τις μεμβράνες ως συλλογικές διεγέρσεις των χορδοειδών τους συνιστωσών.