Mathematical and computational modeling for the generation and propagation of waves in marine and coastal environments

Abstract

In the last two decades mathematical and numerical modeling of free surface flows in realisticenvironments has been one of the most interesting and active research fields in coastal engineering,where accurate simulations of nonlinear and dispersive water waves are important and have largelyreplaced laboratory experiments for the design of coastal structures. Important issues one has toconsider include, the validity of a mathematical model in nearshore zones as well as in deeper waters,transitions between sub and supercritical flows, frequency dispersion and accurate numerical treatmentof natural topographies and wetting/drying processes. Significant research effort has been expandedinto advancing important simulation issues which include representation of nearshore wave processessuch as, shoaling, runup, diffraction, refraction and wave breaking. To this end, depth averaged modelshave gained a lot of popularity, in terms of applicability and development, with the nonlinear shallowwater equations (NSWE) being one of the most applied models falling in this category. Although themodels utilizing the NSWE appear to be able to model important aspects of the flow and the generalcharacteristics of the runup process they are not appropriate for deeper waters where frequencydispersion effects become more important than nonlinearity. On the other hand, Boussinesq-type (BT)equations introduce dispersion terms and are more suitable in water where dispersion begins to havean effect on the free surface.The existing discretizations for the BT models, consist of finite differences (FD), finite elements (FE) orhybrid finite volumes (FV)/FD methods, which are either for 1D BT equations, or for 2D equationsusing only structured meshes. No one has discussed the study of the generation, propagation andrunup of the waves including complex topography holistically, which is one of this thesis targets. Withthe exemption of the works of Nwogu (2006) and to the best of our knowledge, this is the first attemptto numerically solve enhanced BT equations on unstructured meshes by a higher-order FV scheme,which exploits the advantages of the FV approach and incorporates state of the art discretization forthe topography and for the treatment of wet/dry fronts. Hence, the aim of the present work is to present the development, application and potentials of a novelhigher-order FV scheme for the numerical integration of extended BT equations on unstructuredtriangular meshes. The model should handle multiple flow problems such as propagation in deeperwater, shoaling, runup, wet/dry processes, wave breaking etc. This work consists of three parts. Thefirst part describes the derivation and discretization of two 1D BT equations (Nwogu’s and Madsen andSørensen’s equations) through a hybrid FV/FD model. The second part of this thesis presents thediscretization of the NSWE. Two FV schemes, a node centered FV (NCFV) and a cell centered FV(CCFV) scheme, are implemented under the same framework and compared in order to find the onemore appropriate for the discretization of a 2D BT model. In the last part of this work the 2D BTequations of Nwogu (1993), are solved using a novel high-order well-balanced FV numerical method inunstructured meshes, following the median dual node-centered approach. The equations are rewrittenin the form of a system of conservation laws and the FV scheme developed is of the Godunov type. Itutilizes the approximate Riemann solver of Roe for the advective fluxes along with a well-balancedtopography source term upwinding and accurate numerical treatment of moving wet/dry fronts. Thedispersion terms are discretized using consistent discretizations to the FV framework. High-orderspatial accuracy is achieved through a MUSCL type reconstruction technique and temporal through astrong stability preserving RungeKutta method. Friction terms were also incorporated into the model. Anovel wave breaking treatment has been also incorporated in to the model. Certain criteria areestablished to characterize breaking waves. Once breaking waves are recognized we switch locallyfrom BT equations to the NSWE by suppressing the dispersive terms using a stable methodologywithin the unstructured FV framework. The model is applied to several benchmark cases computedsolutions are compared to experimental data. The results indicate that the model is robust and capableof simulating wave transformations from relatively deep to shallow water

Στο ϑαλάσσιο περιβάλλον εξελίσσεται ταυτόχρονα ένα πλήθος κυµατικών ϕαινοµένων,αρκετά από τα οποία βρίσκονται σε ουσιώδη σύζευξη µεταξύ τους. Η προσοµοίωσητης γένεσης και διάδοσης των κυµατισµών και η ακριβής περιγραφή τωνµετασχηµατισµών που υφίστανται στις παράκτιες περιοχές είναι απαραίτητη σεσχέση µε τον σχεδιασµό των ϑαλάσσιων κατασκευών, την ασφάλεια καθώς και τηνπρόβλεψη της εξέλιξης του προφίλ της ακτογραµµής. ΄Ενα από τα πιο ενδιαφέροντακαι ενεργά πεδία έρευνας, τις τελευταίες δεκαετίες είναι η µαθηµατική και αριθµητικήµοντελοποίηση των επιφανειακών κυµατισµών β αρύτητας. Αυτό αποτελεί και τοαντικείµενο µελέτης της παρούσας εργασίας. Τα µοντέλα που χρησιµοποιούνταιευρέως τα τελευταία χρόνια, για αυτό το σκοπό, είναι τα µοντέλα µέσου βάθους,µε το πιο γνωστό από αυτά να είναι οι µη γραµµικές εξισώσεις ρηχών υδάτων(NSWE). Οι εξισώσεις αυτές είναι ικανές να µοντελοποιήσουν µερικά σηµαντικάϕαινόµενα όπως η αναρρίχηση των κυµάτων σε ακτές αλλά δεν είναι κατάλληλες γιανερά µέσου η µεγαλύτερου βάθους όπου τα ϕαινόµενα διασποράς είναιισχυρότερα από τα µη-γραµµικά ϕαινόµενα. Για αυτόν τον λόγο εισάγονται οιεξισώσεις τύπου Boussinesq (ΒΤ) οι οποίες περιέχουν όρους διασποράς.Στόχος της παρούσας εργασίας είναι η υλοποίηση και παρουσίαση µιας νέαςαριϑµητικής µεθόδου για την επίλυση ενός 2∆ ΒΤ µοντέλου αναπτύσσοντας µιαυψηλής τάξης ακρίβειας µέθοδο πεπερασµένων όγκων εφαρµόσιµη σε µη δοµηµέναυπολογιστικά πλέγµατα. Η επίτευξη του παραπάνω επιτυγχάνεται σε τρία στάδια.Αρχικά κατασκευάζεται µια καλώς ισορροπηµένη υβριδική µέθοδος πεπερασµένωνόγκων (ΠΟ)/πεπερασµένων διαφορών (Π∆) για την επίλυση δυο εκτεταµένων ΒΤµοντέλων στη 1∆, αυτών του Nwogu και των Madsen και Sørensen. Το σχήµα ΠΟείναι τύπου Godunov υψηλής ευκρίνειας (high resolution) και χρησιµοποιεί τονπροσεγγιστικό επιλυτή Riemann του Roe για τον υπολογισµό των αριθµητικώνροών . Οι όροι διασποράς διακριτοποιούνται κατάλληλα και γίνεται ανάντη διακριτοποίηση των πηγαίων όρων τοπογραφίας καταλήγοντας σε ένα καλώςισορροπηµένο σχήµα. Ιδιαίτερη προσοχή δίνεται στην ακριβή διακριτοποίηση τωνυγρών/στεγανών κινούµενων συνόρων. Οι δυο ΒΤ εξισώσεις συγκρίνονται µεταξύ τουςκαι µε τις NSWE έτσι ώστε να επιλεχθεί το κατάλληλο για την διακριτοποίησή του σε2∆.Στην συνέχεια γίνεται σύγκριση των δυο βασικών τρόπων υλοποίησης τωνµεθόδων ΠΟ, για την επίλυση των NSWE, σε 2∆ για µη δοµηµένα υπολογιστικάπλέγµατα που προέρχονται από τριγωνισµούς. Συγκρίνουµε, µέσα σε έναελεγχόµενο υπολογιστικό περιβάλλον, ένα κεντροθετηµένο ανά κέντρο βάρουςυπολογιστικού κελιού (τριγώνου) και ένα κεντροθετηµένο ανά κόµβο (median-dual)σχήµα, µε στόχο την επιλογή του βέλτιστου για την διακριτοποίηση των ΒΤεξισώσεων σε 2∆. Και τα δύο σχήµα συγκρίνονται και δοκιµάζονται ως προς τηνσυµπεριφορά και απόδοσή τους σε προβλήµατα αναφοράς.Τέλος παρουσιάζεται ένα νέο αριθµητικό σχήµα για την επίλυση 2∆ ΒΤ εξισώσεωνχρησιµοποιώντας το κεντροθετηµένο ανά κόµβο σχήµα ΠΟ για µη δοµηµέναυπολο- γιστικά πλέγµατα. Από όσο γνωρίζουµε είναι η πρώτη ϕορά που µιαπροσέγγιση ΠΟ αναπτύσεται και εφαρµόζεται για την προσέγγιση εκτεταµένων ΒΤεξισώσεων σε µη δοµηµένα πλέγµατα. Το σχήµα είναι υψηλής τάξης ακρίβειας καικαλώς ισορροπηµένο. Η υψηλή τάξη ακρίβειας επιτυγχάνεται µέσω της τεχνικήςMUSCL (Monotone Upstream- centered Schemes for Conservation Laws) και ηχρονική δακριτοποίηση µέσω µιας άµεσης µεθόδου SSP Runge-Kutta υψηλής τάξης.Ιδιαίτερη προσοχή δίνεται στην ακριβή διακριτοποίηση των υγρών/στεγανών κινούµενωνσυνόρων. Επιπρόσθετα και για το παραπάνω αριθµητικό µοντέλο, κατασκευάζονταικαι συγκρίνονται δυο τύπων µηχανισµοί ϑραύσης επιφανειακών κυµατισµών. ΄Εναςνέος µηχανισµός ϑραύσης υβριδικού τύπου παρουσιάζεται εδώ για πρώτη ϕορά. Τοαριθµητικό µοντέλο β α θµονοµείται ως προς την ακρίβεια και ευρωστεία του σεεκτεταµένο αριθµό υπολογιστικών προβληµάτων που περ- ιλαµβάνουν πληθώρακυµατικών ϕαινοµένων και γίνεται σύγκριση µε πειραµατικά δεδοµένα.