Dynamics of planetary systems in resonances: from the planar to the spatial case

Abstract

Over the last decades, there has been a tremendous increase of extrasolar planetary systems discoveries. Many of such systems consist of more than one planet and the study of planetary orbits concerning their long-term stability is very interesting. Also, many planets seem to be locked in mean motion resonance (MMR). The aim of this thesis is to utilize the model of spatial general three body problem (GTBP), in order to simulate such resonant systems through the computation of periodic orbits. We figure out regions where the planets in resonances should be ideally hosted in favour of long-term stability and therefore, survival. In other words, we analyze planar and spatial symmetric and asymmetric configurations of systems consisting of a star and two planets or a planet and an asteroid by computing families of periodic orbits in each case. These families are obtained through analytic continuation schemes and the linear horizontal and vertical stability of periodic orbits is studied. Particularly, in the elliptic restricted TBP (ERTBP) and for the cases of 1/2, 1/3 and 3/2 resonances, we showed how asymmetric families are generated through two types of bifurcation points, belonging either to symmetric families of the ERTBP or to asymmetric ones of the circular restricted TBP (CRTBP). In the planar GTBP, we depicted the way the evaluation of a continuation scheme alters the topological structure of the families: either modifying their overall shape, or forming gaps, which interrupt their smooth emanation from the bifurcation point. Moreover, we performed a thorough application of continuation schemes by varying, on the one hand, the mass of the initially massless body (starting from spatial CRTBP) and on the other, the third dimension or (equivalently) the inclination (starting from the planar TBP). In the first case, we observed the formation of closed loops and foldings, which result in the generation of three dimensional families evolving exclusively in space, i.e. they cannot be generated by continuation schemes described above. Additionally, we calculated both planar and spatial families of symmetric periodic orbits, along with their stability, for meaningful planets' mass ratios for all the MMR values into which the extrasolar planets are found to be locked (4/3, 3/2, 2/1, 5/2, 3/1 and 4/1) and 1/1, as well, and every possible configuration. Furthermore, we provided evidence that resonant inclined planets should be connected with a migration Type II mechanism, which involves the passage of the planets from the vertical critical periodic orbits (v.c.o.) - after resonant capture - with the inclination resonance, which takes effect when the planets' inclinations increase and the respective resonant angles librate. Given the mass ratio and the eccentricities of the planets, then, we can conclude whether the system had passed through a v.c.o. and thus, would have a non-zero mutual inclination. Finally, we relate the long-term dynamical stability of fictitious planetary systems with the evolution in the vicinity of periodic orbits and then, present the evolution of real exoplanetary systems along periodic orbits, particularly existing for the configuration, mass ratio and resonance of their planets.

Τις τελευταίες δεκαετίες σημειώθηκε μια ραγδαία αύξηση στις ανακαλύψεις εξωπλανητικών συστημάτων. Πολλά συστήματα εξ’ αυτών αποτελούνται από περισσότερους του ενός πλανήτες και η μελέτη των πλανητικών τροχιών είναι ιδιαιτέρως ενδιαφέρουσα. Ακόμα, πολλοί εξωπλανήτες είναι παγιδευμένοι σε συντονισμούς. Σκοπός της διδακτορικής διατριβής είναι η μοντελοποίηση τέτοιων συστημάτων μέσω του τρισδιάστατου γενικού προβλήματος των τριών σωμάτων (ΓΠΤΣ) και του υπολογισμού περιοδικών τροχιών. Διακρίνουμε περιοχές στις οποίες οι πλανήτες σε συντονισμό θα έπρεπε ιδανικά να είναι φιλοξενημένοι προς όφελος της μακρόχρονης ευστάθειάς τους και συνεπώς, της επιβίωσής τους. Ήτοι, αναλύουμε επίπεδες και τρισδιάστατες συμμετρικές και ασύμμετρες καταστάσεις συστημάτων που αποτελούνται από έναν αστέρα και δύο πλανήτες ή έναν πλανήτη και έναν αστεροειδή υπολογίζοντας οικογένειες περιοδικών τροχιών σε κάθε περίπτωση και μελετάμε την γραμμική οριζόντια και κάθετη ευστάθειά τους. Συγκεκριμένα, στο ελλειπτικό περιορισμένο ΠΤΣ (ΕΠΠΤΣ) και για τους συντονισμούς 1/2, 1/3 και 3/2 δείχνουμε τον τρόπο με τον οποίο γεννιούνται οι οικογένειες ασύμμετρων περιοδικών τροχιών μέσω δύο ειδών σημείων διακλάδωσης τα οποία ανήκουν είτε σε οικογένειες συμμετρικών τροχιών του ΕΠΠΤΣ, είτε ασύμμετρων του κυκλικού περιορισμένου ΠΤΣ. Στο ΓΠΤΣ δείχνουμε πώς η εφαρμογή του σχήματος επέκτασης αλλάζει τοπολογικά τη δομή των οικογενειών: είτε τροποποιώντας ολικά το σχήμα τους, είτε σχηματίζοντας κενά, τα οποία διακόπτουν την ομαλή γέννησή τους από το σημείο διακλάδωσης. Πραγματοποιήσαμε μια λεπτομερή εφαρμογή των σχημάτων επέκτασης ξεκινώντας είτε από το τρισδιάστατο περιορισμένο πρόβλημα και μεταβάλλοντας τη μάζα του σώματος που αρχικώς είχε μηδενική μάζα, είτε από το επίπεδο περιορισμένο ή γενικό πρόβλημα και μεταβάλλοντας την τρίτη διάσταση ή ισοδύναμα την κλίση. Στην πρώτη περίπτωση, παρατηρήσαμε αναδίπλωση της χαρακτηριστικής επιφάνειας, η οποία οδηγεί στην ύπαρξη περιοδικών τροχιών στο γενικό τρισδιάστατο πρόβλημα, οι οποίες δεν συνδέονται ούτε με οικογένειες του αντίστοιχου επίπεδου προβλήματος, αλλά ούτε με οικογένειες του περιορισμένου τρισδιάστατου προβλήματος. Επιπροσθέτως, μελετήσαμε όλους τους παρατηρημένους συντονισμούς στους οποίους βρίσκονται παγιδευμένοι εξωπλανήτες (4/3, 3/2, 2/1, 5/2, 3/1 και 4/1) αλλά και τον 1/1 τόσο στο επίπεδο όσο και στο χώρο για κάθε πιθανή συμμετρική κατάσταση. Επιπλέον, θεωρήσαμε το τρισδιάστατο ΠΤΣ και ένα απλοποιημένο μοντέλο για την προσομοίωση της αλληλεπίδρασης των πλανητών με το αέριο του πρωτοπλανητικού δίσκου, προκειμένου να περιγράψουμε τις πιθανές επιπτώσεις της μετανάστευσης στην αμοιβαία κλίση συστημάτων δύο πλανητών. Δείξαμε ότι ο «συντονισμός κλίσης» πρέπει να συνδεθεί με την ύπαρξη των καθέτως κρισίμων περιοδικών τροχιών κατά μήκος της οικογένειας επίπεδων περιοδικών τροχιών υπολογισμένης σε συγκεκριμένο συντονισμό. Δοθέντων των εκκεντροτήτων και του λόγου μαζών των πλανητών σε συντονισμό μπορούμε να συμπεράνουμε αν το πλανητικό σύστημα θα έχει αμοιβαία κλίση. Τέλος, συνδέσαμε τη μακρόχρονη εξέλιξη των εξωπλαντητικών συστημάτων με περιοδικές τροχιές, οι οποίες υφίστανται για το λόγο μαζών, την κατάσταση και τον συντονισμό των πλανητών τους.