Συμπεριφορά πλακών συνθέτων υλικών υπό συνθήκες κρούσης χαμηλής ταχύτητας

Abstract

Low-velocity impact in composite laminates is a destructive loading condition since it leads to significant internal damage, no detectable by visual inspection. Numerous researchers have made significant efforts to model the impact response of composite plates and facilitate the analysis and design for impact resistance, using simple linear spring-mass models or a combination of continuum mechanics models and contact laws. Many investigators have used simple engineering structures beams, plates and shells to demonstrate the impact response of composite structures. The basic concept for modelling the impact of an object to a target was proposed by Timoshenko (1913). He introduced the procedure where the description of the interaction between the impactor and the structure (Euler beam) was implemented using the Hertzian contact law. This approach was further extended in isotropic plates and shells. Lee, 1940; Greszcuk, 1982; Lee et al., 1983 and Shivakumar et al, 1985, proposed simple models of the low-velocity impact problem. Although many important contributions exist in the bibliography for the characterization of the impact response of laminated plates, analytical solutions are considered to be very few. Most of the models proposed are for analyzing specially orthotropic plates subjected to a local dominated impact. In addition, these models do not take into account the shear coupling terms of the bending stiffness matrix, e.g. D16 and D26. Sun and Chattopadhyay (1975), Dobyns (1981), and Ramkumar and Chen (1983) employed the first order shear deformation theory developed by Whitney and Pagano (1970), and used it in conjunction with the Hertzian contact law or plasticity contact law for characterizing the impact of laminated composite plates. In their analysis they have studied the impact response of a simply supported orthotropic plate subjected to central impact using the lamination theory that includes transverse shear deformations. It is evident that the contact force history must be computed as part of the solution of the dynamic response problem solving the nonlinear integral equation. Christoforou and Swanson (1991) and Carvalho (1996), obtained an analytical solution of the impact problem using the Laplace transform technique. Qian and Swanson (1990) obtained analytical solutions by linearising the contact deformation law and compared this with a Rayleigh-Ritz approach with numerical integration in time. The three dimensional finite element method with an explicit formulation where also used in the dynamic analysis of laminated plates subjected to low velocity impact. Moreover, many researchers have proposed simple models for characterizing the impact phenomenon. Shivakumar et.al. (1985) developed a simple model to predict the impact force and the duration of the impact phenomenon on composite plates. The composite plates were modeled as three springs while their stiffness was calculated by the plate properties and the contact parameters. Other researchers instead of a classical Hertzian law used the statical indentation law presented by Yang and Sun (1982) and Tan and Sun (1985). The non Hertzian Contact impact was considered for combining the overall deformation of the structure to the local deformation in the contact area and was used to predict the impact response of transversely isotropic beams and plates. In general, it is impossible to obtain the exact solution for an impact problem except by ignoring the local contact deformation or pre-assuming the contact force. The first step for understanding the problem is to predict the force applied by the projectile on the structure during impact. In order to characterize the contact force history, the model should account for the motion of the target, the effective stiffness of the projectile The present work deals with the development of a numerical scheme for the calculation of the dynamic response of any type of laminated composite plates subjected to any type (and/or combination) of boundary conditions under low-velocity impact. Using the p-version Ritz polynomials any shape that can be represented in Cartesian coordinates can be formulated. The governing second order differential equations are derived and allow furnishing solutions with a variety of boundary conditions along the edges of the plate shape represented in Cartesian coordinates. Statically determined non-linear contact laws, for loading and unloading conditions, are coupled with the partial differential equations governing the dynamic response of the composite plate. These nonlinear governing equations of the contact-impact problem are decoupled according to the second order terms by the method of principal transformation and then solved numerically. The dynamic response of fully clamped cross-ply and a variation of simply support and fixed boundary conditions for angle ply and cross ply composite laminates was investigated. Rectangular, circular and elliptical plates where analysed using the developed numetrical scheme. A total analysis method is used in order to check the efficiency of the results. Starting from the homogeneous formulation of the structure the eigenfrequencies and eigenshapes were calculated for all material and boundary conditions cases. Using the “transformation of the principal” method all cases were subjected in force and pressure pulses in order to check the efficiency of the dynamic solver developed. The efficiency of the present method was investigated comparing the respective results with well-known benchmark problems, experimental results and FEM analysis using MSC-NASTRAN and LSDYNA 3D codes. Following this exhaustive analysis, the coupled contact-impact problem was formulated and numerous contact schemes were applied to the problem. For the impact problem the type of the response is intimately related to the contact stiffness, impact energy, ply thickness and orientation, geometrical configuration and boundary conditions, as well as the orthotropic material properties and the longitudinal, transverse and interlaminar strength both in compression and in tension. Three types of dynamic responses were found to exist, local, global and transitional. All types are categorised and analysed. Using Buckingham Theorem the numerous parameters of the dynamic contact-impact problem were grouped to non-dimensional groups in order to provide a flexible analysis scheme for theoretical and experimental evaluation of the low velocity impact problem. A general normalised graph for characterising the impact response of structures was constructed. The numerous advantages for analysing impact phenomena using the normalised curve developed were presented. Moreover its use for predicting composite material damage area on low velocity impact conditions was presented.

Στα πλαίσια της παρούσας διατριβής προσεγγίστηκε το πρόβλημα της κρούσης των σύνθετων υλικών μέσω μιας συνολικής μεθοδολογίας. Ο όρος συνολική μπορεί να χαρακτηρίσει την παρούσα εργασία της διατριβής γιατί η αναλυτική και αριθμητική υλοποίηση του προβλήματος που παρουσιάσθηκε επιλύει πολλά παράπλευρα προβλήματα. Η επίλυση του προβλήματος της κρούσης χαμηλής ταχύτητας σε σύνθετα υλικά κινήθηκε σε τέσσερις φάσεις. Σε πρώτη φάση αναπτύχθηκε το κύριο εργαλείο με το οποίο εξελίσσεται η διαδικασία μοντελοποίησης του προβλήματος. Η κατάστρωση του μοντέλου επίλυσης φυσικών συχνοτήτων και η αριθμητική επίλυση αυτού δίνει εκτιμήσεις για την ακρίβεια της μεθόδου Ritz με τη χρήση των αποδεκτών συναρτήσεων p-Ritz. Η μέθοδος Ritz επιτρέπει την πλήρη μοντελοποίηση του πολύστρωτου λαμβάνοντας υπόψη και τους καμπτικούς όρους σύζευξης κάτι που μέχρι στιγμής δεν έχει παρουσιαστεί στη βιβλιογραφία. Κατά τη δεύτερη φάση και μετά την τεκμηρίωση της πρώτης φάσης και τον έλεγχο της ακρίβειας των υπολογισμών των φυσικών συχνοτήτων, διατυπώθηκε το δυναμικό πρόβλημα. Η ακρίβεια των υπολογισμών ήταν εξαιρετική και σε ικανοποιητική σύγκλιση με τα αποτελέσματα του κώδικα πεπερασμένων στοιχείων LSDYNA3D. Παράλληλα αποδείχτηκε ότι το δυναμικό μοντέλο, επιλύει το δυναμικό φαινόμενο για όλα τα σχήματα και τους συνδυασμούς συνοριακών συνθηκών. Σε εξέλιξη των ανωτέρω έγινε η διατύπωση του συζευγμένου προβλήματος της κρούσης και επιλύθηκε για διάφορα υλικά και συνοριακές συνθήκες που αποτελούν μοντέλα υποδείγματα στη διεθνή βιβλιογραφία. Η ικανότητα πρόβλεψης των μοντέλων χαρακτηρίζεται ιδιαίτερα ικανοποιητική ενώ παρουσιάστηκε ο τρόπος εισαγωγής μη γραμμικών νόμων επαφής, στο συζευγμένο σύστημα διαφορικών εξισώσεων. Με σκοπό τον πλήρη χαρακτηρισμό του φαινομένου αλλά και τη μείωση των παραμέτρων που χαρακτηρίζουν το πρόβλημα σε μια προσπάθεια χαρακτηρισμού των κύριων παραμέτρων που διέπουν την κρούση παρουσιάζεται ο τρόπος υπολογισμού των αδιάστατων ομάδων που περιγράφουν την κρούση. Στα πλαίσια αυτής της ανάλυσης υπολογίστηκε το Νομογράφημα Κρουστικής Απόκρισης. Το Νομογράφημα Κρουστικής Απόκρισης μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην οργάνωση πειραμάτων χαρακτηρισμού της κρουστικής αντοχής πολύστρωτων διατάξεων. Για την επίλυση του κύριου προβλήματος προτάθηκε μια διαδικασία ιεραρχικής αντιμετώπισης του προβλήματος. Για να καθοριστεί η κρουστική απόκριση του πολύστρωτου η διάταξη υποβάλλεται σε δυναμικό και στατικό χαρακτηρισμό με τη χρήση αριθμητικών μοντέλων που βασίζονται στη μέθοδο Ritz. Υλοποιήθηκε μια μέθοδος που δύναται να επιλύει διάφορες γεωμετρίες σε ποικιλία συνοριακών συνθηκών. Στη βιβλιογραφία μέχρι στιγμής έχουν παρουσιαστεί μοντέλα για παραλληλόγραμμες πλάκες, ειδικώς ορθότροπες και σε συνοριακές συνθήκες απλής έδρασης. Υλοποιήθηκαν προγράμματα σε Fortran που επιλύουν στατικά και δυναμικά προβλήματα σε καμπτικά φορτία και για ποικίλους συνδυασμούς συνοριακών συνθηκών. Υλοποιήθηκε το συζευγμένο πρόβλημα της κρούσης πολύστρωτης διάταξης από σφαίρα (διεισδυτή) σε χαμηλές ταχύτητες Έγινε σύγκριση ελαστοπλαστικών μη γραμμικών μοντέλων επαφής με γραμμικά μοντέλα επαφής. Με τη χρήση της θεωρίας αδιαστατοποίησης καθορίστηκαν οι αδιάστατες ομάδες που διέπουν το πρόβλημα της κρούσης και δημιουργήθηκε το Νομογράφημα Κρουστικής Απόκρισης. Αποδείχτηκε ότι το Νομογράφημα Κρουστικής Απόκρισης ισχύει για οιαδήποτε συμμετρική πολύστρωτη διάταξη σε όποια συνοριακή συνθήκη και αν είναι και οιοδήποτε σχήμα πλάκας. Αποδείχτηκε ότι το Νομογράφημα Κρουστικής Απόκρισης μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως χάρτης αντοχής και ανοχής σε κρούση με τη χρήση της αδιάστατου Κατωφλιού Δύναμης για Διαστρωματική Αποκόλληση.