The unilateral contact buckling problem of geometrically perfect and imperfect beams

Abstract

The present dissertation deals with the unilateral contact buckling problem of beams. Due to the rapid improvement of modern computer technology, research concerning the development of computational techniques for solving unilateral buckling problems has reached a sufficient level. Therefore, a theoretical study which is able to derive analytical solutions for a class of problems may contribute in many levels to the existing knowledge in the area of the contact buckling problems. More specifically, through this dissertation, a theoretical study concerning the contact buckling problem of beams is presented. The study focuses on the calculation of the critical buckling loads of geometrically perfect and imperfect beams in the presence of unilateral supports. This is achieved by means of the fundamental elastic stability theory which is appropriately modified in order to take into account in a mathematically accurate way the unilateral constraints. A particular feature in the aforementioned mathematical approach is the connection of the buckling problem of beams with a series of theorems and definitions from the area of differential equations and Boundary Value Problems. Under this approach, significant findings concerning the solvability of such problems were revealed. These findings are rather difficult to be discovered by applying computational techniques, proving in some way the importance of the theoretical study in the treatment of complex mechanical problems. More specifically, the study in the present dissertation is separated into six Chapters. Initially, in Chapter 2, a wide discussion concerning the variety of applications where unilateral contact buckling occurs is displayed. Also in that chapter a review regarding the methodologies and techniques which have been developed until today for the treatment of such problems, is presented.In the sequel, Chapter 3 covers the issue of buckling for a simply supported beam. In particular, the Boundary Value Problem (BVP) of an axially loaded beam with or without transverse loading is formulated. Through this formulation the concept of “snap” buckling and the concept of “instability” due to the development of extremely large deflections is clearly displayed, leading to the definitions of the critical and instability loads respectively. Due to the fact that the buckling problem is actually a BVP, the rest part of the chapter is devoted to the mathematical description of the homogeneous and non-homogeneous ordinary BVP. In this description a series of definitions and theorems are given. Especially, the presented Theorem 3.4 is of great importance because it connects the solvability of a non-homogeneous BVP (i.e. buckling of a geometrically imperfect beam) with the solutions of the corresponding homogeneous BVP (i.e. buckling of the geometrically perfect beam). This fundamental theorem is applied in all the cases of constrained buckling examined in this dissertation. In the end of the chapter, specific examples prove that singular points may exist in buckling problems of geometrically imperfect beams. It is essential to notice that these singular points affect the buckling load of a certain structure and are not easy to be detected by the geometrically nonlinear finite element analysis.In Chapter 4, the unilateral contact buckling problem of a geometrically perfect and imperfect beam in the presence of one intermediate unilateral support, is presented. The homogeneous constrained BVP is initially formulated. The formulation is based on the fundamental elastic stability theory of Euler, appropriately modified in order to take into account the unilateral constraint. The solution is obtained under the separation of the problem into subproblems, according to the possible contact situations (i.e. the constraint may be active, inactive or in neutral contact status). These subproblems are actually the BVPs that correspond to each contact case. The inequality character of these BVPs is maintained in the formulation and in the solution.Due to the fact that the case of the geometrically perfect beam constitutes an eigenvalue problem, equilibrium is denoted by a bifurcation state and infinite solutions exist. Analytical descriptions are obtained for these solutions which, of course, are valid only under the fulfillment of certain inequality restrictions. In the following part of Chapter 4, the corresponding non-homogeneous BVP is studied. More specifically, first,arbitrary initial geometric imperfections compatible with the function of the unilateral constraintare introduced in the structure. Then, the non-homogeneous constrained BVP is formulated under the same considerations as in the case of the geometrically perfect beam. Following the previous solution procedure, the initial BVP is separated into subproblems, one for each contact situation. The extraction of the solution is not straight forward in this case because, for the different values of the applied load, the problem may be uniquely solvable, unsolvable or solvable with infinite solutions. The issue of solvability is strongly connected with the solutions of the corresponding homogeneous subproblems examined in the case of the geometrically perfect beam. Due to the complexity of the problem, an appropriate calculation procedure is proposed for the treatment of the unilateral buckling of imperfect beams. This procedure is able to detect the critical or singular points in the solution of the problem analytically, without the need to apply any load incrementation scheme. It is noticed that in many cases the calculated buckling load is not the actual load that the beam is able to sustain, due to the fact that the ultimate load is affected by the actual strength of the cross section of the beam. For this reason, in the last part of Chapter 4,the proposed methodology is also equipped with design criteria. Therefore, a complete answer to the matter of unilateral contact buckling of beams with initial imperfections is given.The unilateral contact buckling problem of the geometrically perfect and imperfect beams is extended in Chapter 5 with the consideration of two unilateral constraints in the formulation of the constrained BVP. Due to the fact that the method presented in Chapter 4 can easily be extended in cases with more than one unilateral supports (the difficulty is attributed only to the extend of the mathematical operations), Chapter 5 considers two unilateral constraints in an “opposite” function mode. The treatment of this specific constrained BVP is based on the methodology described in Chapter 4. Obviously, the main BVP is now separated into nine different constrained subproblems, one for each possible contact case. All the analytically extracted solutions are valid under the fulfillment of certain inequality restrictions which are introduced by the constraints.The proposed methodology displayed in Chapters 4 and 5 is able to be implemented in a variety of cases. Thus, Chapter 6 and 7 are mainly devoted to the implementation and the better comprehension of the proposed methodology through the demonstration of several examples. The presented examples concern cases with different initial contact situations, various initial geometric imperfections with different shapes and amplitudes and various positions for the unilateral constraints. The aim of the demonstrated examples is to reveal the advantages and the innovative points of the present dissertation. The arising conclusions and the innovative points of the present research are summarized in the last chapter of the dissertation (Chapter 8). Furthermore, some suggestions for further research are given in that chapter. Due to the fact that the proposed methodology uses tools from the mathematical area of ordinary differential equations and BVPs, appendices A,B and C at the end of the manuscript provide the fundamentals of the corresponding theories. Most of the information given in the specific appendices concerns definitions and properties of the vector space which constitutes a subspace of the well known Hilbert space.Through this dissertation the following points are achieved:•The present work avoids to handle the contact buckling problem numerically. Instead of using variational inequalities for the treatment of the constraints, a more simplified formulation is applied which, nevertheless, maintains the features of a constrained BVP. This formulation is based on the classical Euler’s equilibrium method of elastic stability, appropriately modified in order to treat the unilateral constraints.•The proposed methodology creates a strong connection between the mechanical and the mathematical aspects, of the buckling problem. Taking into account Euler’s method and the fact that the buckling problem is actually, from the mathematical point of view, a homogeneous or a non homogeneous BVP, answer to the solvability of the problem could be given just utilizing theorems from the mathematical field of differential equations and BVPs. •The application of these theorems in various examples localizes the singular points in the obtained solution and specific analytic expressions can be given to them. It is essential to notice that these singular points cannot be located easily in a finite element analysis procedure. An inadequate loading incrementation procedure may “pass” these singular points.•The calculation of the critical loads and the determination of the singular points is accomplished directly through the utilization of an appropriate calculation procedure which is based on the analytical solutions and the fundamental mathematical theorems, without applying a load incrementation scheme.•Arbitrary geometrically imperfect systems can be investigated under different initial contact situations.•Analytical solutions are derived for both the studied cases (i.e. the perfect and imperfect configurations). These solutions can be used as benchmarks in the development of computational methods.•The particular formulation of the constrained Euler buckling problem of beams in the present dissertation, offers the potential of deriving analytical solutions for a variety of practical problems associated with different end boundary conditions and initial contact conditions. Furthermore, the automatic solution procedure gives the opportunity of studying the influence of the position of the constraints in the value of the critical load. •The major advantage of the present study, in comparison with related works on the unilateral contact buckling of beams, is that it proposes a methodology of finding the instability and ultimate load of beams in the presence of initial geometric imperfections. As the axial loading increases, the bending strength of the beam is decreased due to the interaction between bending moment and axial force. The decrease in the strength is strongly dependent on the shape and magnitude of the initial geometric imperfection. But, except that obvious conclusion, imperfections influence the buckling modes of a beam when unilateral supports are present. Depending on the initial imperfection, the buckling mode as well as the critical buckling load may be different for two beams with common features (i.e. position of the unilateral supports, material and section properties etc.). This happens due to the fact that each imperfection may activate different contact conditions during the bending deformation. This issue has both theoretical and practical interest and has not been investigated in previous works concerning the unilateral buckling of beams.

Στην διδακτορική διατριβή μελετήθηκε με αναλυτικό τρόπο το πρόβλημα του καμπτικού λυγισμού γεωμετρικά τέλειων και ατελών δοκών υπό αξονική θλίψη παρουσία μονόπλευρων συνδέσμων στήριξης. Μονόπλευροι καλούνται οι σύνδεσμοι που απαγορεύουν τη μετακινήση μόνο σε μία κατεύθυνση ενώ επιτρέπουν να αναπτυχθεί στην αντίθετη. Tαυτόχρονα μεταβιβάζουν την αντίδραση που είναι εργικά αντίστοιχη στην μετακίνηση που απαγορεύουν.Το πρόβλημα του λυγισμού δοκών με μονόπλευρους συνδέσμους παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον διότι δύναται να ενεργοποιηθούν μορφές λυγισμού που δεν θα μπορούσαν να αναπτυχθούν στην περίπτωση του λυγισμού με αμφίπλευρους συνδέσμους. Η ιδιαιτερότητα αυτή αποκτά προφανώς μεγαλύτερη σημασία στην περίπτωση όπου στη δοκό μπορεί να ενεργούν περισσότεροι του ενός σύνδεσμοι που να ενεργοποιούνται για την ίδια ή και για διαφορετική κατεύθυνση. Ανάλογα την περίπτωση που μελετάται, το φαινόμενο του μονόπλευρου λυγισμού μπορεί να οδηγήσει σε μεγαλύτερα η και μικρότερα κρίσιμα φορτία λυγισμού σε σχέση πάντοτε με την περίπτωση του κλασικού λυγισμού.Γενικά, το φαινόμενο του μονόπλευρου λυγισμού στις κατασκευές αποτελεί ένα κατεξοχήν πολύπλοκο πρόβλημα λόγω της συνύπαρξης δύο τύπων μη γραμμικότητας, της γεωμετρικής και της μη γραμμικότητας λόγω των φαινομένων επαφής. Αν σε όλα αυτά συνυπολογιστεί και η περίπλοκη γεωμετρία των κατασκευών στις οποίες εμφανίζεται το πρόβλημα του μονόπλευρου λυγισμού, η χρήση μεθόδων της υπολογιστικής μηχανικής καθίσταται αναγκαία. Παρόλα αυτά, μπορούν να αναπτυχθούν και να χρησιμοποιηθούν αναλυτικού τύπου προσεγγίσεις σε προβλήματα των οποίων το μηχανικό προσομοίωμα μπορεί να αναπαρασταθεί απο στατικά συστήματα δοκών ή πλακών.Στη πλαίσια της συγκεκριμένης διατριβής αναπτύχθηκε μια αναλυτικού τύπου μεθοδολογία εύρεσης του φορτίου αστάθειας δοκών με γεωμετρικές ατέλειες παρουσία μονόπλευρων συνδέσμων. Η μελέτη βασίστηκε στην κλασική θεωρία της γραμμικής θεωρίας ελαστικής ευστάθειας που τροποποιήθηκε κατάλληλα ούτως ώστε να ληφθεί υπόψη η λειτουργία των μονόπλευρων συνδέσμων. Η μαθηματική μόρφωση του προβλήματος στα πλαίσια αυτής της θεωρίας, αντιστοιχεί στην μόρφωση ενός προβλήματος συνοριακών τιμών (Boundary Value Problem-BVP) συνήθων διαφορικών εξισώσεων 4ης τάξης με ανισοτικούς περιορισμούς Οι περιορισμοί εισάγονται απο την λειτουργία των συνδέσμων και θα πρέπει να ικανοποιούνται για κάθε τιμή του φορτίου. Στην περίπτωση του προβλήματος του λυγισμού δοκών με αρχικές γεωμετρικές ατέλειες, το παραπάνω πρόβλημα συνοριακών τιμών είναι μη ομογενές (non-homogeneous BVP). Η επίλυση των μη ομογενών προβλημάτων βασίζεται στην εφαρμογή ενός θεμελιώδους θεωρήματος που σχετιζεται με την ύπαρξη και τη μοναδικότητα της λύσης που χρησιμοποιεί τις λύσεις των αντίστοιχων καθε φορά ομογενών προβλημάτων συνοριακών τιμών (homogeneous BVPs). Για το λόγο αυτό αρχικά επιλύεται το ομογενές πρόβλημα συνοριακών τιμών με περιορισμούς. Η ύπαρξη των συνδέσμων αποτελεί πηγή μη γραμμικότητας καθιστώντας την αναλυτική επίλυση του προβλήματος ιδιαίτερα δυσχερή. Στην παρούσα διατριβή προτείνεται μια μεθοδολογία επίλυσης που βασίζεται στο διαχωρισμό του αρχικού προβλήματος συνοριακών τιμών με περιορισμούς, σε υποπροβλήματα τα οποία διατηρούν μεν τον ανισοτικό τους χαρακτήρα, αλλα, επιπλέον, δύναται να επιλυθούν αναλυτικά. Έτσι η τελική λύση έχει αναλυτική έκφραση αλλά παράλληλα και συγκεκριμένο πεδίο εφαρμογής ως αποτέλεσμα της χρήσης των ανισοτικών περιορισμών. Η δυνατότητα του διαχωρισμού του αρχικού ανισοτικού προβλήματος συνοριακών τιμών σε ανισοτικά υποπροβλήματα, πηγάζει απο τις διαφορετικού τύπου συνθήκες επαφής που δύναται να εμφανιστούν κατα την διάρκεια της κάμψης.Με τον τρόπο αυτό επιτυγχάνονται αναλυτικού τύπου λύσεις για μια πληθώρα εφαρμογών που σχετίζονται με την θέση των συνδέσμων, τις αρχικές συνθήκες επαφής και το είδος των γεωμετρικών ατελειών. Η εύρεση του κρίσιμου φορτίου αστάθειας καθώς και η αντίστοιχη μορφή λυγισμού δύναται να βρεθούν με την εφαρμογή συγκεκριμένων βημάτων που δεν απαιτούν την χρήση αριθμητικών μεθόδων και επαυξητικών βημάτων φόρτισης. Τα πρωτότυπα σημεία της παρούσας διδακτορικής διατριβής συνοψίζονται παρακάτω:•Η κύρια συνεισφορά της παρούσας διατριβής στο πρόβλημα του λυγισμού δοκών που εδράζονται σε μονόπλευρους συνδέσμους, εστιάζεται στη δυνατότητα εύρεσης με αναλυτική μέθοδο του φορτίου αστάθειας σε δοκούς με αρχικές γεωμετρικές ατέλειες. Γενικότερα, η παρουσία αρχικών γεωμετρικών ατελειών μπορεί να οδηγήσει σε διαφορετικές αρχικές συνθήκες επαφής στον ιδιο φορέα. Με δεδομένο ότι κατά την κάμψη οι συνθήκες επαφής δύναται να εναλλάσσονται δεν είναι εύκολη η εκτίμηση της μορφής λυγισμού που θα ενεργοποιηθεί. Η θέση των συνδέσμων και το είδος της αρχικής ατέλειας επηρεάζει άμεσα το κρίσιμο φορτίο καθώς και το είδος της αστάθειας που ενεργοποιείται. Σε σχέση με την υπάρχουσα βιβλιογραφία, εξετάζεται για πρώτη φορά μέσω αναλυτικής προσέγγισης η επιρροή των αρχικών ατελειών στο φορτίο αστάθειας και στην κρίσιμη μορφή λυγισμού. Επιπλέον, η εύρεση του φορτίου αστάθειας επιτυγχάνεται αυτόματα μέσω της χρήσης ενός ευέλικτου αλγόριθμου χωρίς την υιοθέτηση ενός επαυξητικού σχήματος φόρτισης και χρήσης αριθμητικών μεθόδων. •Επιτυγχάνεται η σύνδεση του μαθηματικού προβλήματος συνοριακών τιμών (ομογενούς και μη ομογενούς) με το μηχανικό πρόβλημα του λυγισμού μέσω της εφαρμογής θεμελιωδών θεωρημάτων του μαθηματικού προβλήματος συνοριακών τιμών συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Με τον τρόπο αυτό δύναται να εντοπιστούν ασυνέχειες και ιδιάζοντα σημεία στην ελαστική γραμμή με αναλυτικό τρόπο για πλήθος εφαρμογών. Σημειώνεται ότι η επίλυση αντίστοιχων προβλημάτων με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων απαιτεί εξιδεικευμένο λογισμικό που να μπορεί να διαχειριστεί συγχρόνως προβλήματα γεωμετρικής μη γραμμικότητας και συνθήκες επαφής. Παρόλα αυτά, ακόμα και για ένα σχετικά απλό πρόβλημα (δοκός με ένα σύνδεσμο) η εύρεση του φορτίου αστάθειας για κάποιες ιδιαίτερες περιπτώσεις δεν είναι εγγυημένη. Ανάλογα με τον τρόπο διακριτοποίησης του επιβαλλόμενου φορτίου, ενδέχεται η ανάλυση να υπερκεράσει τα ιδιάζοντα σημεία.•Η προτεινόμενη μεθοδολογία μπορεί να αντιμετωπίσει περιπτώσεις όπου εμφανίζεται πτώση της αντοχής του συστήματος σε λυγισμό λόγω εναλλαγής των συνθηκών επαφής υπο τη μεταβολή του αξονικού φορτίου. •Μελετάται η επιρροή των αρχικών ατελειών και των αρχικών συνθηκών επαφής στην τιμή του φορτίου αστάθειας ταυτόχρονα με την επιρροή της θέσης των συνδέσμων. •Επιτυγχάνεται η εύρεση του οριακού φορτίου σε δοκούς με μονόπλευρους συνδέσμους λαμβάνοντας υπόψη την ελαστοπλαστική αντοχή της διατομής της δοκού υπο κάμψη με αξονική δύναμη . Με αυτό τον τρόπο παράγονται λύσεις για πρακτικά προβλήματα στην επιστήμη του πολιτικού μηχανικού.