Στατιστική φυσική πλεγματικών προτύπων πολύπλοκων συστημάτων με αταξία

Abstract

In this thesis, we investigate using numerical echniques the critical behavior of classical disordered spin systems. In particular, we present an efficient approximation scheme, which greatly facilitates the extension of Wang-Landau sampling in large systems for the estimation of critical behavior and we report applications of this scheme on several complex models, starting with the three-dimensional bimodal random-field Ising model. Using an extrapolation scheme to derive approximations of a two-parameter (exchange-energy, field-energy) density of states, we present a finite-size converging approach of the phase diagram that also yields values for the critical disorder strength and the associated correlation length's exponent in agreement with previous estimates from ground-state studies. A detailed investigation of the nature of the phase transition of the model at high values of the random field indicates that, despite the strong first-order-like characteristics, the transition remains continuous, in disagreement with the early mean-field theory prediction of a tricritical point. Additionally, we re-examine the question of saturation of the specific heat and the open problem of universality under the prism of lack of self-averaging of the model. We verify the theoretical expectations for large sample-to-sample fluctuations of the magnetic susceptibility and we present concrete evidence in favor of the two-exponent scaling scenario. Finally, in the last part of this thesis, the effects of quenched bond randomness on the critical behavior of two-dimensional Ising spin models are investigated. In particular, we consider the random-bond versions of (i) the simple Ising model and (ii) the super-antiferromagnetic (SAF) model with nearest- and next-nearest-neighbor competing interactions on the square (second-order transition in the pure version) and triangular (weak first-order transition in the pure version) lattices. A careful finite-size scaling analysis indicates that, while the marginal case of the random-bond Ising model is more properly described by the field-theoretically predicted scenario of logarithmic corrections, the random-bond SAF models, on both the square and triangular lattices, obey the generalized statement of weak universality for disordered systems. For these latter models an unusually strong saturating behavior of the specific heat is observed and attributed to the competing nature of the microscopic interactions, responsible for the SAF ordering. In addition, our findings for the SAF models are in good agreement with the general theoretical arguments concerning the effects of disorder on second- (Harris criterion) and first-order (Aizenmann-Wehr theorem) phase transitions.

Στην παρούσα διατριβή μελετάται αριθμητικά η κρίσιμη συμπεριφορά πολύπλοκων κλασικών συστημάτων spin τύπου Ising με αταξία. Αναπτύσσεται μια αριθμητική μεθοδολογία η οποία συνδυάζει σύγχρονες μεθόδους εντροπικής δειγματοληψίας (αλγόριθμος Wang-Landau) με την τεχνική του ελάχιστου κρίσιμου ενεργειακού υπόχωρου και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα εφαρμογής της μεθόδου σε μια σειρά συστημάτων. Αρχικά διερευνάται η κρίσιμη συμπεριφορά του τρισδιάστατου μοντέλου Ising τυχαίου πεδίου δίτιμης κατανομής. Μέσω μιας συστηματικής μελέτης σε χαμηλές θερμοκρασίες προσδιορίζεται με ακρίβεια το διάγραμμα φάσης του μοντέλου, η κρίσιμη τιμή του μέτρου τυχαιότητας και ο κρίσιμος εκθέτης του μήκους συσχέτισης, ενώ ταυτόχρονα δίδεται μια οριστική απάντηση στο ανοικτό ζήτημα της τάξεως της αλλαγής φάσης για υψηλές τιμές του μέτρου τυχαιότητας. Μελετώντας την κλιμάκωση πεπερασμένου πλέγματος του φράγματος της ελεύθερης ενέργειας και της λανθάνουσας θερμότητας, δείχνεται ότι τα χαρακτηριστικά της αλλαγής φάσης πρώτης τάξεως που εμφανίζει το μοντέλο, είναι φαινόμενα που εξαφανίζονται στο θερμοδυναμικό όριο, σε αντίθεση με την πρόβλεψη της θεωρίας μέσου πεδίου για την ύπαρξη τρικρίσιμου σημείου και αλλαγή φάσης πρώτης τάξεως. Επίσης, για το ίδιο μοντέλο, μελετάται η κλιμάκωση πεπερασμένου πλέγματος της ειδικής θερμότητας και αναδεικνύεται η ιδιότητα της έλλειψης αυτοαθροιστικότητας καθώς και η πιθανή απουσία ύπαρξης κλάσης οικουμενικότητας του μοντέλου. Επιβεβαιώνονται οι θεωρητικές προβλέψεις για ισχυρές δειγματικές διακυμάνσεις της μαγνητικής επιδεκτικότητας και παρουσιάζονται ισχυρά στοιχεία υπερ του σεναρίου κλιμάκωσης δύο εκθετών. Τέλος, στο τελευταίο μέρος της διατριβής μελετάται η επίδραση τυχαιότητας στο μέτρο της ενέργειας ανταλλαγής στο απλό μοντέλο Ising και στο υπεραντισιδηρομαγνητικό μοντέλο Ising με ανταγωνιστικές αλληλεπιδράσεις πρώτων και δευτέρων γειτόνων σε τετραγωνικό και τριγωνικό πλέγμα. Τα αριθμητικά δεδομένα και η λεπτομερής ανάλυση που παρουσιάζεται υποδεικνύουν ότι το μεν μοντέλο Ising τυχαίου δεσμού περιγράφεται αρκετά ικανοποιητικά από το σενάριο των λογαριθμικών διορθώσεων, τα δε υπεραντισιδηρομαγνητικά μοντέλα τυχαίου δεσμού, τόσο στο τετραγωνικό πλέγμα - που στην καθαρή εκδοχή του εμφανίζει συνεχή αλλαγή φάσης, όσο και στο τριγωνικό πλέγμα - που στην καθαρή εκδοχή του εμφανίζει ασθενή αλλαγή φάση πρώτης τάξεως - ικανοποιούν τη γενικευμένη διατύπωση της ασθενούς οικουμενικότητας για τα τυχαία συστήματα. Η ειδική θερμότητα των τελευταίων παρουσιάζει μια ισχυρά συγκλίνουσα συμπεριφορά η οποία και αποδίδεται στην παρουσία των ανταγωνιστικών αλληλεπιδράσεων. Επιπλέον, τα αποτελέσματα για τα υπεραντισιδηρομαγνητικά πρότυπα τόσο στο τετραγωνικό, όσο και στο τριγωνικό πλέγμα είναι σε καλή συμφωνία με τα γενικά θεωρητικά επιχειρήματα που έχουν διατυπωθεί για την επίδραση της τυχαιότητας σε αλλαγές φάσης δευτέρας (κριτήριο Harris) και πρώτης τάξεως (θεώρημα Aizenman - Wehr), αντίστοιχα.