Μελέτη μικροδομικών υλικών με χρήση προσαρμοστικών πεπερασμένων στοιχείων

Abstract

Η προσπάθεια των μηχανικών για την καλύτερη περιγραφή του κόσμου που τους περιβάλλει με συστήματα εξισώσεων (διαφορικών, ολοκληρωτικών και συνδυασμού τους), οδηγεί συνεχώς σε νέους και αρχικά δυσπρόσιτους τρόπους, κάποιας, αποτύπωσης της πραγματικότητας. Αυτό έχει σαν συνέπεια να ανακύπτουν δυσκολίες, αρχικά, στην αναγνώριση του φυσικού νοήματος κάποιων από τις εμπλεκόμενες ποσότητες και τελικά στην αναλυτική επίλυση των προτεινόμενων μοντέλων. Εξαιτίας, αυτών των δυσκολιών αλλά και της διορατικότητας κάποιων επιφανών επιστημόνων, η προσεγγιστική επίλυση εξισώσεων έχει αποκτήσει τη σημασία που έχει σήμερα. Στην παρούσα διατριβή παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που προέκυψαν από τη θεωρητική) και την εκτενή αριθμητική διερεύνηση υποθετικών και πραγματικών προβλημάτων στα πλαίσια των λεγάμενων διπολικών θεωριών της ελαστικότητας και πιο συγκεκριμένα την μορφή της που αναπτύχθηκε πληρέστατα από τον Mindlin [107], με χρήση των μεθόδων h- και p- των μικτών πεπερασμένων στοιχείων. Εν συντομία, αναφέρεται ότι το σημαντικότερο κομμάτι της εργασίας αφορά την ανάπτυξη πολυδιάστατων μικτών διατυπώσεων σε προβλήματα των προαναφερθέντων θεωριών, των οποίων οι μεταβλητές έχουν απαιτήσεις συνέχειας C⁰. Οι γενικοί τύποι αυτών των προβλημάτων είναι ο εφελκυσμός, η κάμψη και η ύβωση δοκών από μικροδομικά υλικά, η διερεύνηση ρηγματωμένων πλακών. Παράλληλα, εκπονήθηκε η διατύπωση ενεργειακών θεωρημάτων τύπου Hellinger-Reissner και Hu-Washizu, τα οποία διέπουν τις αναπτυχθείσες μικτές διατυπώσεις και κατά συνέπεια και την ισχυρή μορφή από την οποία αυτές προέρχονται. Σημαντική συνεισφορά στην κατανόηση και εξακρίβωση της καλής τοποθέτησης των προαναφερθέντων προβλημάτων προσφέρεται μέσω τις μαθηματικής διερεύνησης της και πιο συγκεκριμένα από την διατύπωση και τον υπολογισμό των λεγάμενων συνθηκών Babuška-Brezzi, που διατυπώνονται για κάποιες από τις αναπτυχθείσες μικτές διατυπώσεις. Παράλληλα, διεξήχθη ενδελεχής αριθμητική προσομοίωση των μικτών διατυπώσεων με τη βοήθεια αριθμητικού κώδικα που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της διατριβής ενώ έγινε σύγκριση των παραγόμενων αποτελεσμάτων με τις υπάρχουσες ακριβείς λύσεις των ισχυρών μορφών τους (a-priori error estimation). Για την πληρέστερη αντιμετώπιση του προβλήματος, αναπτύχθηκαν και εκ των υστέρων εκτιμητές σφάλματος για μικτές μονοδιάστατες διατυπώσεις (α-posteriori error estimation). Η αριθμητική μέθοδος που επιλέχθηκε και επεκτάθηκε κατάλληλα για την αριθμητική] προσέγγιση των προκείμενων προβλημάτων ήταν τα μικτά ιεραρχικά πεπερασμένα στοιχεία και ειδικότερα οι μέθοδοι h- και p- αυτών. Η συγκεκριμένη μεθοδολογία δίνει τη δυνατότητα να διαμορφώσει ο χρήστης τις εξισώσεις με τον τρόπο που θέλει και βολεύει, έτσι ώστε να αποκτήσει καλύτερη ενδοσκόπηση του προβλήματος. Πιο συγκεκριμένα, η δυνατότητα επιλογής των προσεγγιζόμενων εντατικών μεγεθών παρέχει μια αρκετά πιο χρήσιμη (και ακριβή) αντίληψη της μηχανικής πραγματικότητας του προβλήματος. Η προαναφερθείσα μεθοδολογία υλοποιήθηκε σε κώδικα πεπερασμένων στοιχείων, ο οποίος αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του αντικειμενοστραφούς περιβάλλοντος του υπολογιστικού πακέτου MATLAB και της γλώσσας C++, ενώ επεκτάθηκε και προϋπάρχων κώδικας σε γλώσσα FORTRAN. Το αναπτυχθέν περιβάλλον εργασίας είναι πλήρες, με την έννοια, ότι διαθέτει δομημένο αρχείο εισόδου δεδομένων (input file) και γραφικό περιβάλλον αλληλεπίδρασης με τον χρήστη (GUI). Παράλληλα, διαθέτει πλήρες αρχείο βοήθειας για τις χρησιμοποιούμενες εντολές και βιβλιοθήκη των υποστηριζόμενων πεπερασμένων στοιχείων. Η σκέψη πίσω από τη δημιουργία του προγράμματος είχε δύο άξονες. Πρώτον, έπρεπε να είναι εύκολη η επέκταση του, με την έννοια της δυνατότητας προσθήκης δυνατοτήτων όπως επιπλέον πεπερασμένα στοιχεία, μέθοδοι αριθμητικής ολοκλήρωσης κλπ. (modular αρχιτεκτονική προγραμματισμού). Ο δεύτερος άξονας αφορούσε στην πρακτικότητα του και πιο συγκεκριμένα στο να είναι το κατά το δυνατό πιο πλήρες, εύκολο στη χρήση για ένα μέσο χρήστη-μηχανικό και αξιοποιήσιμο σε πραγματικές εφαρμογές. Εξαιτίας αυτής της αρχιτεκτονικής ο χρήστης μπορεί, με αρκετή ευκολία, να επεκτείνει το πρόγραμμα σε όλους τους βασικούς τομείς λειτουργίας του.