Στοχαστικός έλεγχος με διακριτές προσαρμογές και εργοδικά ή υφαιρετικά κριτήρια βελτιστοποίησης: εφαρμογές στη χρηματοοικονομία

Abstract

Η παρούσα εργασία εξετάζει προβλήματα στοχαστικού ελέγχου με διακριτές προσαρμογές (stochastic impulse control problems). Τέτοιες μορφές ελέγχου είναι βέλτιστες όταν οι προσαρμογές μίας συνεχούς στοχαστικής διαδικασίας ενέχουν πάγια και αναλογικά κόστη. Το πλήθος των εφαρμογών τους είναι μεγάλο: χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι ο έλεγχος μίας συναλλαγματικής ισοτιμίας από μία κεντρική τράπεζα, ο καθορισμός των βέλτιστων χρόνων και μεγεθών για τη συγκομιδή ενός μέρους από έναν πληθυσμό, ο έλεγχος χαρτοφυλακίου κ.α. Η σχετική βιβλιογραφία έχει εστιάσει την έρευνα σε προβλήματα στα οποία μεγιστοποιείται ή ελαχιστοποιείται ένα υφαιρετικό κριτήριο σε έναν άπειρο χρονικό ορίζοντα. Πρόσφατες έρευνες έδειξαν ότι για κάποια προβλήματα στοχαστικού ελέγχου με διακριτές προσαρμογές (π.χ. για τον έλεγχο μίας συναλλαγματικής ισοτιμίας) είναι προτιμότερη η υιοθέτηση εργοδικών κριτηρίων κατά τα οποία μεγιστοποιείται μία συνάρτηση κερδών ανά μονάδα χρόνου ή αντίστοιχα ελαχιστοποιείται μία συνάρτηση απώλειας ανά μονάδα χρόνου. Προβλήματα με εργοδικά κριτήρια πρακτικά δεν έχουν εξετασθεί στη βιβλιογραφία και δεν υπάρχει μία γενική μεθοδολογία επίλυσής τους. Η κύρια συνεισφορά της εργασίας είναι ότι παρουσιάζει μία μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων στοχαστικού ελέγχου με διακριτές προσαρμογές και εργοδικά κριτήρια βελτιστοποίησης. Η μεθοδολογία συνδυάζει βασικά αποτελέσματα στοχαστικού λογισμού με αλγορίθμους επίλυσης προβλημάτων μη γραμμικής βελτιστοποίησης. Οι βέλτιστες στρατηγικές που προκύπτουν συγκρίνονται με αυτές που προκύπτουν με την υιοθέτηση υφαιρετικών κριτηρίων. Ως μέσα για τη διεξαγωγή της σύγκρισης χρησιμοποιούμε δύο προβλήματα διαχείρισης χαρτοφυλακίου το ένα από τα οποία παρουσιάζεται για πρώτη φορά. Στην εργασία εξετάζεται επίσης ένα επενδυτικό πρόβλημα στοχαστικού ελέγχου με διακριτές προσαρμογές και υφαιρετικά κριτήρια η επίλυση του οποίου με βάση την κλασσική μέθοδο επίλυσης ενός συστήματος qv-ανισοτήτων παρουσιάζει ιδιαιτερότητες.