ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΤΟΜΙΑ-ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Χ + (Χ+1)

Abstract

THE PRESENT DOCTORAL THESIS CONSISTS OF THREE CHAPTERS, NAMELY: CHAPTER 1: CRITERIA AND FORMULAE FOR PRIME NUMBERS. CHAPTER 2: PRIMES AND CYCLOTOMY. CHAPTER3: PRIME AND COMPOSITE NUMBERS OF THE FORM X2+(X+1)2. IN CHAPTER 1 NEW PRIMALITY CRITERIA ARE OBTAINED, ALONG WITH NEW FORMULAE FOR THE SEQUENCE OF PRIMES (RECURSIVE AND EXPLICIT). SUCH FORMULAE ARE EXTENDED IN CHAPTER 2 BY MEANS OF CYCLOTOMIC CONCEPTS AND COSINE FUNCTIONS. IN CHAPTER 3 THE PRIME AND COMPOSITENUMBERS OF THE FORM X2+(X+1)2 ARE EXAMINED. THEIR STUDY DEPENDS HEAVILY ON THE FOLLOWING THEOREM(SIERPINSKI): THE NUMBER X2+(X+1)2 IS COMPOSITE IF THERE EXIST NATURAL NUMBERS Y, Z SUCH THAT: (*) T(X)= T(Y)+T(Z). (HERE T(X), T(Y), T(Z) DENOTE TRIANGULAR NUMBERS). THE DESCRIPTION OF ALL COMPOSITE NUMBERS OF THEFORM X2+(X+1)2 IS REDUCED TO THE STUDY OF THE INTEGRAL SOLUTIONS OF THE FOLLOWING FAMILY OF DIOPHANTINE EQUATIONS OF FERMAT TYPE: (FK) X2- 2Y2=2K2-1, K=0,1,2,... . THUS THE STUDY OF EQUATION (*) IS REDUCED TO THE STUDY OF THE FAMILY OF EQUATIONS (FK) IN TERMS OF GAUSS TYPE TRANSFORMATIONS. FINALLY, ALL COMPOSITE NUMBERS OF THE FORM X2+(X+1)2 ARE DETERMINED IN TERMS OF SUITABLE (NON-HOMOGENEOUS) LINEAR RECURRENCE SEQUENCES OF ORDER 2 (THEOREM 3.4.15). AS A CONSEQUENCE, ALL PRIMES OF THE SAME FORM IN A GIVEN INTERVAL CAN BE DETERMINED BY A SEIVING PROCEDURE (THEOREM 3.4.16).

Η ΠΑΡΟΥΣΑ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΑΠΟΤΕΛΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ, ΜΕ ΤΟΥΣ ΕΞΗΣ ΤΙΤΛΟΥΣ: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΤΟΜΙΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΠΡΩΤΟΙ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Χ2+(Χ+1)2. ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΠΑΡΟΥΣΙΑΖΟΝΤΑΙ ΝΕΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥΣ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ, ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΝΕΟΙ ΤΥΠΟΙ (ΑΝΑΓΩΓΙΚΟΙ ΚΑΙ ΕΚΠΕΦΡΑΣΜΕΝΟΙ) ΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΕΚΤΕΙΝΟΝΤΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1, ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΑΡΧΙΚΩΝ ΡΙΖΩΝ ΤΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ, ΟΠΟΤΕ ΕΠΙΤΥΓΧΑΝΕΤΑΙ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΣΥΝΑΦΕΙΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΚΥΚΛΟΤΟΜΙΑΣ. ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΞΕΤΑΖΟΝΤΑΙ ΟΙ ΠΡΩΤΟΙ, ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΟΙ ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ, ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Χ2+(Χ+1)2. ΕΠΙ ΤΟΥ ΠΡΟΚΕΙΜΕΝΟΥ, ΒΑΣΙΚΟΣ ΕΙΝΑΙ Ο ΡΟΛΟΣ ΤΟΥ ΕΞΗΣ ΚΛΑΣΙΚΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ SIERPINSKI: Ο ΑΡΙΘΜΟΣΧ2+(Χ+1)2 ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΘΕΤΟΣ ΤΟΤΕ ΚΑΙ ΜΟΝΟΝ ΤΟΤΕ ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υ, ΖΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΟΤΗΤΑ: (*) Τ(Χ)=Τ(Υ)+Τ(Ζ). (ΕΔΩ, ΤΑ Τ(Χ), Τ(Υ), Τ(Ζ) ΣΥΜΒΟΛΙΖΟΥΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ). Η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Χ2+(Χ+1)2 ΑΝΑΓΕΤΑΙ ΣΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΚΟΛΟΥΘΗΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΤΥΠΟΥ FERMAT:(Fk) X2-2Y2=2K2-1, K=0,1,1,... . ΠΙΟ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΑ, ΗΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΣ (*) ΑΝΑΓΕΤΑΙ ΣΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ (FK) ΜΕΣΩ ΚΑΤΑΛΛΗΛΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΥΠΟΥ GAUSS. ΩΣ ΗΜΙΤΕΛΙΚΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ (ΘΕΩΡΗΜΑ 3.4.15) ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3, ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ Η ΠΛΗΡΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Χ2+(Χ+1)2 ΜΕΣΩ ΜΗ-ΟΜΟΓΕΝΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΑΝΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑΣ ΤΑΞΕΩΣ. Η ΑΝΑΓΩΓΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Χ2+(Χ+1)2 ΟΔΗΓΕΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΗΣ ΙΔΙΑΣ ΜΟΡΦΗΣ, ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΟΣΚΙΝΟΥ (ΤΕΛΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 3.4.16).