Density estimates for a fractional elliptic system and applications

Abstract

This thesis investigates phase–transition phenomena for bounded minimizers of fractional, vector-valued energies and the associated nonlocal elliptic system driven by (-Δ)^s, 0 < s < 1, coupled with a nonnegative potential W possessing at least one zero ‘α’. The vectorial and nonlocal character of the problem creates difficulties absent from the scalar/local theory, and motivates the development of a robust set of analytic tools tailored to the system. A first part of the work builds a general framework for bounded minimizers and weak solutions: structural energy bounds with the correct scaling, replacement-type arguments, and maximum-principle–style mechanisms adapted to vector fields, together with auxiliary estimates that convert energetic information into quantitative geometric control. These results are designed to function as a toolbox for the nonlocal vectorial setting. The second part applies the above technical results to establish quantitative density estimates for the minimizers of functionals of this type, relative to the points ‘α’ where the potential vanishes. The results establish that if a minimizer deviates from the phase ‘α’ on a set of positive measure at some scale, then this deviation must persist at all larger scales with a uniform lower density. These density theorems lead to further consequences, including rigidity/Liouville-type results and pointwise control near the phase ‘α’.

Η παρούσα διατριβή μελετά φαινόμενα μεταβάσεων φάσης για φραγμένους ελαχιστοποιητές fractional, διανυσματικών ενεργειών και το αντίστοιχο μη-τοπικό ελλειπτικό σύστημα που διέπεται από τον τελεστή (-Δ)^s, 0 < s < 1, σε συνδυασμό με ένα μη αρνητικό δυναμικό W το οποίο διαθέτει τουλάχιστον ένα μηδενικό ‘a’. Ο διανυσματικός και μη-τοπικός χαρακτήρας του προβλήματος εισάγει δυσκολίες που απουσιάζουν από τη βαθμωτή/τοπική θεωρία και καθιστά αναγκαία την ανάπτυξη ενός ισχυρού συνόλου αναλυτικών εργαλείων προσαρμοσμένων στο υπό μελέτη σύστημα. Ένα πρώτο μέρος της εργασίας οικοδομεί ένα γενικό πλαίσιο για φραγμένους ελαχιστοποιητές και ασθενείς λύσεις: άνω φράγματα της ενέργειας με τη σωστή κλίμακα, επιχειρήματα τύπου αντικατάστασης (replacement), καθώς και μηχανισμούς τύπου αρχής μεγίστου προσαρμοσμένους σε διανυσματικά πεδία, μαζί με βοηθητικές εκτιμήσεις που μετατρέπουν ενεργειακή πληροφορία σε ποσοτικό γεωμετρικό έλεγχο. Τα αποτελέσματα αυτά έχουν σχεδιαστεί ώστε να λειτουργούν ως «εργαλειοθήκη» για το μη-τοπικό διανυσματικό πλαίσιο. Το δεύτερο μέρος εφαρμόζει τα παραπάνω τεχνικά αποτελέσματα για να αποδείξει ποσοτικά θεωρήματα πυκνότητας για ελαχιστοποιητές συναρτησιακών αυτού του τύπου, σε σχέση με τα σημεία ‘a’ όπου μηδενίζεται το δυναμικό. Συγκεκριμένα, δείχνουμε ότι αν ένας ελαχιστοποιητής αποκλίνει από τη φάση ‘a’ σε σύνολο θετικού μέτρου σε κάποια κλίμακα, τότε αυτή η απόκλιση διατηρείται σε όλες τις μεγαλύτερες κλίμακες με ομοιόμορφο κάτω φράγμα πυκνότητας. Τα θεωρήματα πυκνότητας οδηγούν σε περαιτέρω συνέπειες, όπως αποτελέσματα τύπου Liouville και σημειακό έλεγχο κοντά στη φάση ‘a’.