Χρόνοι διακοπής με εφαρμογές στα χρηματοοιονομικά και την διαχείριση κινδύνων

Abstract

Stochastic processes belong to the broader domain of probability theory concerning mathematical models for phenomena that evolve over time. For this reason, they play a central role in modeling problems across various disciplines, such as finance, risk management, physics, meteorology, biology, and sequential analysis. One main categorization of stochastic processes is based on the nature of the observation time of the stochastic phenomenon, which is typically classified as either discrete or continuous. Among the most well-known discrete-time processes is the random walk, while in continuous time the Poisson process and the Brownian motion (or Wiener process) stand out, both belonging to the wider class of Lévy processes. The aforementioned processes are at the core of this doctoral thesis, which focuses on their applications in finance and risk management. An important concept considered in the thesis that is related to the trajectory of a stochastic process the so called “stopping time”. A stopping time is a random variable that represents the first continuous or discrete time at which the process under study satisfies a certain condition. The role of stopping times is crucial in many fundamental results of stochastic processes and in particular in martingale theory (e.g. in Optional Stopping Theorem). The main applications of stopping times considered in this thesis are: (i) The time until a surplus process of an insurance company either exceeds a safety level or falls below zero, with reference to the topic of ruin theory. (ii) The time at which the market price of an asset crosses a certain threshold, triggering the exercise, or activation, or deactivation of a specific option contract. Chapter 1 provides an overview of stochastic processes in both discrete and continuous time and introduces some fundamental models needed for our study, such as Lévy processes and martingales. It then defines the notion of stopping times and reviews key related results. The chapter concludes with an exposition of several measure-changing techniques and their applications to stochastic processes. Chapter 2 presents the most established models describing surplus processes related to an insurance portfolio, such as the Sparre Andersen renewal risk model and the classical risk model perturbed by diffusion. Next, the concepts of ruin probability and the Gerber-Shiu discounted penalty function are introduced. For each model, methods of evaluating several quantities of interest are studied using appropriate measure-changing techniques. Closed-form expressions are provided in the special case where the claim sizes follow an exponential distribution. Numerical examples are included to illustrate the theoretical results discussed in this introductory chapter on ruin theory. Chapter 3 focuses on generalized Gerber-Shiu functions where the stopping time corresponds to the time of ruin. A method is proposed to extend existing generalized Gerber-Shiu functions into a new function that takes also into account the number of claims until ruin. This result is derived via a measure-changing technique and is applied to the Sparre Andersen model, allowing dependence between claim amounts and inter-claim times. For specific dependence structures, analytical expressions are provided, concerning special cases of the generalized Gerber-Shiu function. The chapter concludes with numerical illustrations of the theoretical findings. Chapter 4 addresses a more general framework where the surplus process is modeled by a renewal jump-diffusion process. The stopping time considered here is the first exit time of the surplus process from an interval of the form [0,b], introducing the notion of an upper barrier b (safety level). In this model, a new form of a generalized Gerber-Shiu-type function is defined, where the surplus is inspected only at claim arrival times. A special case of the proposed function enables the study of the joint distribution of the time, the number of claims, the surplus, and the aggregate claim amount until exit from [0,b]. For this function, closed-form expressions are derived for certain classes of distributions capable of approximating any positive distribution of claim sizes and inter-arrival times. The applicability of the theoretical results is supported by presenting numerical examples at the end of the chapter. Chapter 5 introduces fundamental concepts related to financial derivatives, offering a brief overview of the most common option types. Two particular cases are discussed in more details. The first concerns European barrier options, where pricing is derived via an appropriate measure-changing technique, with European call options arising as a special case. Closed-form formulas are provided under the geometric Brownian motion framework. The second case deals with American options, where the stopping time corresponds to the optimal exercise time chosen by the holder. Analytical results are obtained for the perpetual option using appropriate change of measure techniques in the case of geometric Brownian motion. The chapter concludes with illustrative examples. Chapter 6 is the final chapter of the thesis, which is focused on perpetual American options. In this chapter, one of the basic assumptions in the related bibliography, concerning continuous inspection of the underlying assets value, is replaced by a new, and in some situations more realistic assumption that is based on the concept of random inspection. This assumption aims to capture uncertainty in investors behavior, where actions may occur at random times. Under this framework, a randomly observed Lévy jump-diffusion process is considered. The general results are applied to the case (a) of geometric Brownian motion and (b) jump-diffusion process with exponentially distributed upward and downward jumps. The chapter concludes with numerical examples illustrating the applicability of the main results, emphasizing the role of the random inspection process, which is modeled by an exogenous Poisson process.

Ως αντικείμενο μελέτης, οι στοχαστικές ανελίξεις ανήκουν στο ευρύτερο φάσμα της θεωρίας πιθανοτήτων και χρησιμοποιούνται ως μαθηματική μοντελοποίηση φαινομένων τα οποία εξελίσσονται στον χρόνο. Γι’ αυτό το λόγο, αποτελούν κυρίαρχο ρόλο στην μοντελοποίηση προβλημάτων που αφορούν τον κλάδο των χρηματοοικονομικών, τη διαχείριση κινδύνων καθώς και άλλων ακόμα όπως τη φυσική, τη μετεωρολογία, τη βιολογία και ακολουθιακή ανάλυση. Ο βασικός διαχωρισμός τους αφορά τον χρόνο παρατήρησης του στοχαστικού φαινομένου ο οποίος συνήθως γίνεται σε διακριτό και συνεχή χρόνο. Ανάμεσα στις πιο διαδεδομένες ανελίξεις διακριτού χρόνου είναι ο τυχαίος περίπατος ενώ σε συνεχή χρόνο ξεχωρίζουν: η ανέλιξη Poisson, η κίνηση Brown ή αλλιώς ανέλιξη Wiener που υπάγονται στην ευρύτερη οικογένεια των ανελίξεων Lévy. Οι προαναφερθείσες ανελίξεις αποτελούν το επίκεντρο μελέτης της παρούσας διδακτορικής διατριβής προσανατολίζοντας την εφαρμογή τους στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση κινδύνων. Μια πολύ σημαντική έννοια, που σχετίζεται με την διαδρομή μια ανέλιξης, είναι αυτή του χρόνου διακοπής. Ο χρόνος διακοπής είναι μια τυχαία μεταβλητή με ακέραιες ή συνεχείς τιμές ο οποίος προσδιορίζεται με βάση τη διαθέσιμη πληροφορία που παρέχεται από την πραγματοποίηση μιας στοχαστικής ανέλιξης. Συγκεκριμένα, σχετίζεται με την πρώτη χρονική στιγμή που η υπό μελέτη ανέλιξη ικανοποιεί μια συνθήκη. Αξίζει να αναφερθεί πως ο ρόλος του χρόνου διακοπής είναι καθοριστικός για πολλά από τα σημαντικότερα ευρήματα της θεωρίας της στοχαστικής ανάλυσης όπως είναι η έννοια της στοιχηματικής ανέλιξης (martingale) και το Θεώρημα Επιλεκτικής Διακοπής. Οι κυριότερες εφαρμογές που απασχολούν την παρούσα διδακτορική διατριβή είναι οι εξής: i) Στον αναλογισμό, ο χρόνος έως ότου η ανέλιξη πλεονάσματος μιας ασφαλιστικής εταιρίας υπερβεί κάποιο επίπεδο ασφαλείας ή πέσει κάτω από το μηδέν και αποτελεί αντικείμενο μελέτης της θεωρίας χρεοκοπίας. ii) Ο χρόνος που η χρηματιστηριακή τιμή ενός αξιογράφου υπερβεί ένα κατώφλι σηματοδοτώντας την εξάσκηση, την ενεργοποίηση ή απενεργοποίηση ενός συγκεκριμένου δικαιώματος προαίρεσης. Στο Κεφάλαιο 1, αρχικά γίνεται μια σύντομη αναφορά των στοχαστικών ανελίξεων διακριτού και συνεχούς χρόνου και παρουσιάζονται οι βασικότερες από αυτές, όπως η ανέλιξη Lévy και οι ανελίξεις martingale. Στη συνέχεια δίνεται ο ορισμός του χρόνου διακοπής και η αναφορά των κυριότερων αποτελεσμάτων που σχετίζονται με αυτόν. Κλείνοντας, γίνεται μια αναφορά σε τεχνικές αλλαγής μέτρου και πώς αυτές εφαρμόζονται στις στοχαστικές ανελίξεις. Στο Κεφάλαιο 2, παρουσιάζονται τα πιο γνωστά μοντέλα που περιγράφουν την ανέλιξη πλεονάσματος, όπως είναι το ανανεωτικό μοντέλο Sparre Andersen και το κλασικό μοντέλο εφοδιασμένο με διάχυση. Έπειτα γίνεται εισαγωγή στις κυριότερες έννοιες όπως η πιθανότητα χρεοκοπίας και η αναμενόμενη προεξοφλητική συνάρτηση ποινής Gerber-Shiu. Για κάθε ένα από τα παραπάνω μοντέλα αποδεικνύονται τρόποι υπολογισμού της συνάρτησης Gerber-Shiu, χρησιμοποιώντας την τεχνική της αλλαγής μέτρου. Αναλυτικοί τύποι παρουσιάζονται στην περίπτωση που οι αποζημιώσεις μοντελοποιούνται μέσω της εκθετικής κατανομής. Στο τέλος, παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα με σκοπό την καλύτερη κατανόηση όσων αποτελεσμάτων σχολιάστηκαν σε αυτό το εισαγωγικό κεφάλαιο της θεωρίας χρεοκοπίας. Tο Κεφάλαιο 3 ξεκινά με αναφορά στην έννοια των γενικευμένων συναρτήσεων Gerber-Shiu και αφορά την περίπτωση που ο χρόνος διακοπής είναι η στιγμή χρεοκοπίας. Έπειτα προτείνεται ένας τρόπος που οδηγεί στην επέκταση κάθε υπάρχουσας γενικευμένης συνάρτησης Gerber-Shiu σε μια νέα συνάρτηση η οποία λαμβάνει υπόψιν της και τον αριθμό των αποζημιώσεων μέχρι τη χρεοκοπία. Το συγκεκριμένο αποτέλεσμα βασίζεται σε μια τεχνική αλλαγής μέτρου και εφαρμόζεται στην περίπτωση μελέτης του μοντέλου Sparre Andersen επιτρέποντας την παρουσία εξάρτησης μεταξύ των αποζημιώσεων και των ενδιάμεσων χρόνων διαδοχικών αποζημιώσεων. Για συγκεκριμένες υποθέσεις εξάρτησης, αναλυτικοί τύποι δίνονται μαζί με συναρτήσεις που απορρέουν από μια ειδική περίπτωση γενικευμένης συνάρτησης Gerber-Shiu. Κλείνοντας, παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα των θεωρητικών αποτελεσμάτων που παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο. Το Κεφάλαιο 4, αφορά την πιο γενική περίπτωση όπου το πλεόνασμα περιγράφεται μέσω μιας ανανεωτικής ανέλιξης διάχυσης με άλματα. Ο χρόνος διακοπής που μελετάται, είναι η στιγμή πρώτης εξόδου του πλεονάσματος από ένα διάστημα της μορφής [0,b], εισάγοντας την έννοια του ανώτατου ορίου b. Στο μοντέλο αυτό μια νέα μορφή γενικευμένης συνάρτησης τύπου Gerber-Shiu εισάγεται με το πλεόνασμα να επιθεωρείται επιλεκτικά σε χρονικές στιγμές αποζημιώσεων. Μια ειδική περίπτωση της προτεινόμενης συνάρτησης δίνει την δυνατότητα να μελετηθεί η από κοινού κατανομή του χρόνου, του αριθμού των αποζημιώσεων, του συνολικού πλεονάσματος και του συνολικού ποσού αποζημίωσης έως ότου το πλεόνασμα εξέλθει από το διάστημα [0,b]. Για αυτή τη συνάρτηση κλειστοί τύποι δίνονται υπό συγκεκριμένες κλάσεις κατανομών οι οποίες έχουν την ικανότητα να προσεγγίσουν οποιεσδήποτε θετικές κατανομές. Η εφαρμογή των θεωρητικών αποτελεσμάτων παρουσιάζεται μέσω αριθμητικών παραδειγμάτων στο τέλος του κεφαλαίου. Το Κεφάλαιο 5 είναι εισαγωγικό και παρουσιάζονται θεμελιώδεις έννοιες που σχετίζονται με τα παράγωγα χρηματοοικονομικά προϊόντα. Ειδικότερα, επικεντρώνεται σε γενική παρουσίαση των δημοφιλέστερων δικαιωμάτων προαίρεσης. Δύο περιπτώσεις ξεχωρίζουν μεταξύ αυτών και σχολιάζονται εκτενέστερα. Η πρώτη αφορά τα δικαιώματα προαίρεσης κατωφλίου (barrier option) στα οποία ο χρόνος διακοπής είναι ντετερμινιστικός. Για μια υποκατηγορία δικαιωμάτων κατωφλίου παρουσιάζεται ο τρόπος τιμολόγησής του, μέσω κατάλληλης τεχνικής αλλαγής μέτρου με τα κλασικά δικαιώματα Ευρωπαϊκού τύπου να προκύπτουν ως ειδική περίπτωση. Έπειτα, κλειστοί τύποι παρουσιάζονται στην περίπτωση της γεωμετρικής κίνησης Brown. Η δεύτερη περίπτωση δικαιωμάτων είναι αυτή των Αμερικανικού τύπου με δυνατότητα εξάσκησης στο διηνεκές όπου ο χρόνος διακοπής αποτελεί την στιγμή εξάσκησης του δικαιώματος από τον κάτοχο του. Αναλυτικά αποτελέσματα παρουσιάζονται μέσω αλλαγής μέτρου στην περίπτωση της γεωμετρικής κίνησης Brown. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με την παρουσίαση αριθμητικών παραδειγμάτων. Το Κεφάλαιο 6 αποτελεί το τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής στο οποίο μελετώνται τα δικαιώματα Αμερικανικού τύπου με δυνατότητα εξάσκησης στο διηνεκές. Σε αυτό το κεφάλαιο, μια από τις βασικότερες υποθέσεις συνεχούς επιθεώρησης της αξίας μιας μετοχής αντικαθίσταται από μια νέα και σε ορισμένες περιπτώσεις πιο ρεαλιστική, υπόθεση από αυτή της τυχαίας επιθεώρησης. Η υπόθεση αυτή γίνεται για να ερμηνεύσει καλύτερα τα μοντέλα συνεχούς χρόνου δίνοντας έμφαση στην αβεβαιότητα ορισμένου τύπου επενδυτών που ενεργούν σε τυχαίους χρόνους. Εφαρμόζοντας την ιδέα αυτή, μελετάται η περίπτωση μιας τυχαία επιθεωρημένης ανέλιξης διάχυσης με άλματα (Lévy). Χρησιμοποιώντας ως βασικό εργαλείο την τεχνική αλλαγής μέτρου, γίνεται τιμολόγηση του δικαιώματος βασιζόμενη σε μια βέλτιστη στιγμή εξάσκησης. Τα γενικά αποτελέσματα εφαρμόζονται στην περίπτωση της γεωμετρική κίνησης Brown καθώς και σε μια ανέλιξη διάχυσης με εκθετικά κατανεμημένα άνω και κάτω άλματα. Τέλος, παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα σε αποτελέσματα που εξήχθησαν αναλυτικοί τύποι, δίνοντας έμφαση στην παράμετρο τυχαίας επιθεώρησης η οποία βασίζεται σε μία εξωγενή ανέλιξη Poisson.