Αυτομορφισμοί ελευθέρων γινομένων

Abstract

In this dissertation, we primarily study (outer) automorphisms of free products and the structure of subgroups of the group of outer automorphisms of free products. The tools employed are mainly geometric in nature, lying at the core of Geometric Group Theory, and have been developed for the study of outer automorphism groups of free groups (in analogy with the study of mapping class groups) and of free products. The first category of results concerns the Tits alternative. We prove that the outer automorphism group of a finitely generated free-by-finite group is translation discrete and satisfies the strong Tits alternative. The second category of results provides a sufficient condition for a subgroup of the outer automorphism group to contain a non-abelian free subgroup. Moreover, we show that two fully irreducible outer automorphisms $[\phi]$, $[\psi]$ are either independent—meaning that sufficiently large powers of them generate a free subgroup of rank two—or they are strongly correlated, in the sense that some powers differ by an element of $\mathcal{O}(\mathcal{G})$ , which, in some power, stabilizes a point in the outer space $\mathcal{O}(\mathcal{G})$. Finally, we provide conditions on the factors and their automorphism groups that ensure the existence of an (upper) bound for the orders of finite subgroups of $\mathrm{Out}(G,\mathcal{G})$, and we compute an explicit upper bound for the orders of torsion elements in $\mathrm{Out}(G,\mathcal{G})$.

Στην παρούσα διατριβή μελετώνται ως επί το πλείστον (εξωτερικοί) αυτομορφισμοί ελευθέρων γινομένων και η δομή των υποομάδων της ομάδας εξωτερικών αυτομορφισμών ελευθέρων γινομένων. Τα εργαλεία που χρησιμοποιούνται είναι κυρίως γεωμετρικά, βρίσκονται στον πυρήνα της Γεωμετρικής Θεωρίας Ομάδων, και έχουν αναπτυχθεί για την μελέτη ομάδων εξωτερικών αυτομορφισμών, ελευθέρων ομάδων (σε αναλογία με την μελέτη των mapping class groups) και ελευθέρων γινομένων. Η πρώτη κατηγορία αποτελεσμάτων αφορά στο εναλλακτικό του Tits. Αποδεικνύουμε ότι η ομάδα εξωτερικών αυτομορφισμών μιας πεπερασμένα παραγόμενης free-by-finite ομάδας έχει “διακριτά μήκη μετατόπισης” και ικανοποιεί το ισχυρό εναλλακτικό του Tits. H δεύτερη κατηγορία αποτελεσμάτων περιλαμβάνει μια ικανή συνθήκη προκειμένου μια υποομάδα της ομάδας εξωτερικών αυτομορφισμών να περιέχει μη αβελιανή ελεύθερη υποομάδα. Επιπλέον, αποδεικνύουμε ότι δύο πλήρως ανάγωγοι εξωτερικοί αυτομορφισμοί $[\phi]$, $[\psi]$ είτε είναι "ανεξάρτητοι", δηλαδή κατάλληλα μεγάλες δυνάμεις τους παράγουν μια ελεύθερη υποομάδα τάξης $2$, είτε είναι "ισχυρά συσχετισμένοι" με την έννοια ότι κάποιες δυνάμεις τους διαφέρουν κατά ένα στοιχείο της $\mathrm{Out}(G,\mathcal{G})$ του οποίου κάποια δύναμη σταθεροποιεί ένα στοιχείο του εξωτερικού χώρου $\mathcal{O}(\mathcal{G})$. Τέλος, δίνονται συνθήκες στους παράγοντες και στις ομάδες αυτομορφισμών τους οι οποίες εξασφαλίζουν την ύπαρξη (άνω) φράγματος για τις τάξεις των πεπερασμένων υποομάδων της $\mathrm{Out}(G,\mathcal{G})$ και υπολογίζεται ένα άνω φράγμα για τις τάξεις των στοιχείων πεπερασμένης τάξης της $\mathrm{Out}(G,\mathcal{G})$.