Topics on mean-field and McKean-Vlasov backward stochastic differential equations, and the backward propagation of chaos

Abstract

Backward propagation of chaos is referring to the phenomenon where the behavior of interactive agents (or particles), described from a system of backward stochastic differential equations (BSDEs), progressively resembles the one as if they where independent, while the number of agents increases to infinity. This thesis aims to study backward propagation of chaos in a setting as general as possible, and also to introduce the notion of stability of backward propagation of chaos. Here stability is understood as the continuity property of backward propagation of chaos with respect to the data sets. The interaction between the different agents is expressed through their empirical measure. In order to identify the asymptotic behaviour of the mean-field systems of BSDEs we are going to use the McKean–Vlasov BSDE. We consider two instances of backward propagation of chaos, when we have path dependence in the generator and when we have the usual instantaneous dependence. So, we begin by establishing the existence and uniqueness for the solutions of the mean-field system and McKean–Vlasov BSDE, under an appropriate framework. Next, we introduce a new way of proving backward propagation of chaos which allows for asymmetric terminal conditions for the mean-field systems, and general square-integrable martingales with independent increments as drivers. Furthermore, we also show that the known convergence rates for the backward propagation of chaos extend to our general setting. Finally, we introduce the notion of stability of backward propagation of chaos with respect to data sets, and prove its validity under a natural setting, for the usual dependence case. First we establish the uniform convergence of the mean-field systems to the McKean–Vlasov BSDEs with respect to the data sets, and then we naturally expand the known stability of BSDEs to include the McKean–Vlasov BSDEs. Their conjunction gives us the stability result. Because our setting incorporates both continuous and discontinuous cases, it allows the development of numerical schemes for the backward propagation of chaos under L^2−type approximations. Additionally to the treatment of backward propagation of chaos, in chapter 1 we present a new way for proving the main section theorems of stochastic calculus. Some merits of our approach are that it requires minimum prerequisites, avoids any direct mention of capacities and works directly with the predictable section while measurable section is an immediate corollary, thus also avoids the double work that is hiddenin the background of the usual proofs. Last but not least, optional (resp. accessible) section follows from an intuitive approximation argument based on the dichotomy of predictable and totally inaccessible times that further clarifies the relationship between these concepts. The chapter closes with an interesting short proof of a disintegration theorem about measures, provided for completeness reasons.

Η οπισθόδρομη διάδοση του χάους αναφέρεται στο φαινόμενο όπου η συμπεριφορά αλληλεπιδραστικών παραγόντων (ή σωματιδίων), που περιγράφεται από ένα σύστημα οπισθόδρομων στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων (BSDEs), μοιάζει προοδευτικά με αυτήν σαν να ήταν ανεξάρτητοι, ενώ ο αριθμός των παραγόντων τείνει άπειρο. Η παρούσα διατριβή στοχεύει να μελετήσει την οπισθόδρομη (ή προς τα πίσω) διάδοση του χάους σε ένα περιβάλλον όσο το δυνατόν γενικότερο και να εισαγάγει την έννοια της ευστάθειας της οπισθόδρομης διάδοσης του χάους. Εδώ η ευστάθεια νοείται ως η ιδιότητα συνέχειας της οπισθόδρομης διάδοσης του χάους σε σχέση με τα σύνολα δεδομένων. Η αλληλεπίδραση μεταξύ των διαφορετικών παραγόντων εκφράζεται μέσω του εμπειρικού τους μέτρου. Για να προσδιορίσουμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά των mean-field συστημάτων από BSDEs θα χρησιμοποιήσουμε τη McKean–Vlasov BSDE. Θεωρούμε δύο περιπτώσεις αντίστροφης διάδοσης του χάους, όταν έχουμε εξάρτηση μονοπατιού στον γεννήτορα και όταν έχουμε τη συνήθη στιγμιαία εξάρτηση. ΄Ετσι, ξεκινάμεμε την καθιέρωση της ύπαρξης και της μοναδικότητας για τις λύσεις του συστήματος mean-field και της McKean–Vlasov BSDE, κάτω από κατάλληλα πλαίσια. Στη συνέχεια, εισάγουμε έναν νέο τρόπο απόδειξης της οπισθόδρομης διάδοσης του χάους που επιτρέπει ασύμμετρες τερματικές συνθήκες για τα συστήματα μέσου πεδίου και γενικά τετραγωνικά ολοκληρώσιμα martingales με ανεξάρτητες προσαυξήσεις ως οδηγούς. Επιπλέον, δείχνουμε επίσης ότι οι γνωστοί ρυθμοί σύγκλισης για την αντίστροφη διάδοση του χάους επεκτείνονται και στο γενικό μας περιβάλλον. Τέλος, εισάγουμε την έννοια της ευστάθειας της οπισθόδρομης διάδοσης του χάους σε σχέση με τα σύνολα δεδομένων, και αποδεικνύουμε την εγκυρότητά της εντός φυσιολογικού πλαισίου, για τη περίπτωση της συνήθους εξάρτησης. Πρώτα καθιερώνουμε την ομοιόμορφη σύγκλιση των συστημάτων μέσου πεδίου στις McKean–Vlasov BSDE σε σχέση με τα σύνολα δεδομένων και στη συνέχεια επεκτείνουμε φυσιολογικά τη γνωστή ευστάθεια των BSDE για να συμπεριλάβουμε και McKean–Vlasov BSDE. Η σύνθεση τους μας δίνει το αποτέλεσμα ευστάθειας. Επειδή το πλαίσιο μας ενσωματώνει τόσο συνεχείς όσο και ασυνεχείς περιπτώσεις, επιτρέπει την ανάπτυξη αριθμητικών σχημάτων για την αντίστροφη διάδοση του χάους υπό προσεγγίσεις τύπου L^2.Επιπρόσθετα της έρευνας της αντίστροφης διάδοσης του χάους, στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζουμε έναν νέο τρόπο για την απόδειξη μερικών από τα θεμελιώδη θεωρήματα του στοχαστικού λογισμού. Κάποια από τα πλεονεκτήματα της προσέγγισής μας είναι ότι απαιτεί ελάχιστες προϋποθέσεις, αποφεύγει οποιαδήποτε άμεση αναφορά σε χωρητικότητες, εργάζεται άμεσα με τη προβλέψιμη τομή ενώ η μετρήσιμη τομή είναι ένα άμεσοσυμπέρασμα και έτσι αποφεύγεται η διπλή εργασία που κρύβεται στο παρασκήνιο στις συνήθεις αποδείξεις. Τελευταίο αλλά εξίσου σημαντικό, η επιλεκτική (αντιστ. προβλέψιμη) τομή απορρέει από ένα διαισθητικό επιχείρημα προσέγγισης που βασίζεται στη διχοτόμηση προβλέψιμων και ολοκληρωτικά απρόσιτων χρόνων που διασαφηνίζει περαιτέρω τη σχέση μεταξύ αυτών των εννοιών. Το κεφάλαιο κλείνει με μια ενδιαφέρουσασύντομη απόδειξη ενός θεωρήματος αποσύνθεσης μέτρων, που παρέχεται για λόγους πληρότητας.