Orbital dynamics and diffusion at the resonances in the near-earth space environment

Abstract

The present thesis deals with the study of the dynamical regimes of motion of artificial Earth satellites in the so-called Medium Earth Orbit (MEO) region. After introducing a number of fundamental tools of Hamiltonian Mechanics necessary to understand the results presented in the thesis, we derive the secular Hamiltonian that describes the dynamics in the MEO region. To do so, the equations of motion are obtained starting from the disturbing forces of the Geopotential, Sun, Moon, and Solar Radiation Pressure. The secular Hamiltonian is the starting point for the presentation of a complete analytic theory for lunisolar resonances, which provides a framework for understanding the structure of the so-called "inclination-only dependent lunisolar resonances" and for computing the correct form of their separatrices in the ”action” space (i.e. the space of the elements $(e, i)$). We show the correspondence between the theoretical phase portraits of each resonance and the numerical Fast Lyapunov Indicator (FLI) cartography. Next, profiting from these results, we address the eccentricity growth phenomenon, providing quantitative estimates for the maximum eccentricity reachable along inclination-only dependent lunisolar resonances as a function of the initial inclination. In addition, we derive the limits in inclination within which the mechanism is active, as well as the dependence of these limits on the initial phases of the longitude of the node of the satellite and the Moon. We also provide numerical values of the minimum lifetime of a satellite as a function of the initial eccentricity for a given initial inclination. After examining single orbits, we then consider what happens to a set of orbits by studying the diffusion properties in the MEO region. We explore how one can tackle analytically this problem, illustrating the use, in respect, of the Melnikov and Landau-Teller approaches. The theory is presented in detail on an archetype model for inclination-only dependent lunisolar resonances and then applied to MEO objects in the domain of the $2g+h$ resonance. The appendices provide a detailed FLI cartography of the MEO region for different choices of the initial phases of a satellite's angles, discussing chaos indicators and reporting explicit formulae for the coefficients of the resonant Hamiltonian for inclination-only dependent lunisolar resonances.

Η διατριβή αφορά την μελέτη τροχιών μικρών σωμάτων (π.χ. δορυφόρων ή διαστημικών καταλοίπων) γύρω από τη Γή στη λεγόμενη “Ενδιάμεση Περιοχή Γήινων Δορυφορικών Τροχιών” (Medium Earth Orbits – MEO), που αντιστοιχεί περίπου σε τιμές του μεγάλου ημιάξονα της τροχιάς από 11000 έως 40000 χλμ. Περαιτέρω, η μελέτη επικεντρώνεται στη λεπτομερή μελέτη των τροχιών που εντάσσονται σε περιοχές των λεγόμενων “αιώνιων συντονισμών υπό την επίδραση Ηλίου-Σελήνης” (lunisolar secular resonances). Πρόκειται για συντονισμούς που προκαλούνται όταν οι συχνότητες μετάπτωσης της γωνίας του περικέντρου g και της γραμμής των κόμβων h του μικρού σώματος βρίσκoνται σε ρητή σχέση είτε μεταξύ τους είτε με μία ή περισσότερες από τις αργές συχνότητες μετάπτωσης των ουρανίων σωμάτων που επηρεάζουν την τροχιά, δηλ. του Ηλίου και της Σελήνης. Εκ των τελευταίων, η πλέον σημαντική είναι η συχνότητα μετάπτωσης της γραμμής των κόμβων της τροχιάς της Σελήνης ως προς την εκλειπτική, η οποία αντιστοιχεί σε περίοδο περίπου 18.6 ετών. Επειδή στη ζώνη ΜΕΟ όλες οι παραπάνω συχνότητες λαμβάνουν τιμές της ίδιας τάξης μεγέθους, μπορούν να προκληθούν συντονισμοί χαμηλής τάξης, οι οποίοι επηρεάζουν σημαντικά τα χαρακτηριστικά των δορυφορικών τροχιών και οδηγούν σε πληθώρα σημαντικών φαινομένων και εφαρμογών στο πλαίσιο της αστροδυναμικής. Αρχικά χρησιμοποιήθηκε η μεθοδολογία της “δυναμικής χαρτογραφίας” (dynamical cartography) της περιοχής MEO. Ο υπολογισμός έγινε με τα εξής βήματα: ι) υπολογίζονται και χρησιμοποιούνται κατόπιν στον αριθμητικό ολοκληρωτή οι λεγόμενες εξισώσεις κίνησης της μακροχρόνιας δυναμικής, οι οποίες προκύπτουν από τις ακριβείς εξισώσεις κίνησης υπολογίζοντας το μέσο όρο των τελευταίων ως προς όλες τις γρήγορες γωνίες του προβλήματος σε μεταβλητές γωνίας-δράσης. ιι) υπολογίζονται επίσης οι γραμμικοποιημένες εξισώσεις μεταβολών από τις εξισώσεις (ι). ιιι) Μέσω των εξισώσεων μεταβολών, για κάθε διαφορετική αρχική συνθήκη υπολογίζεται ένας εκ των προτεινόμενων στη βιβλιογραφία “δεικτών του χάους” (chaotic indicator), του οποίου η εξέλιξη της αριθμητικής τιμής κατά μήκος της τροχιάς υποδηλώνει το πόσο κοντά σε οργανωμένη ή χαοτική τροχιά εντάσσεται η υπό μελέτη τροχιά. Τέλος, αξιοποιώντας όλα τα βήματα (ι) έως (ιιι) υπολογίζονται οι τιμές του χαοτικού δείκτη για συγκεκριμένο χρόνο ολοκλήρωσης σε ένα πλέγμα αρχικών συνθηκών, και η απεικόνιση των τιμών αυτών ως συνάρτηση των αρχικών συνθηκών παράγει το “δυναμικό χάρτη” (dynamical map) του προβλήματος. Για δοθείσες εξισώσεις κίνησης οι δυναμικοί χάρτες παραμετροποιούνται με βάση παραμέτρους που αποτελούν ακριβή ή προσεγγιστικά τροχιακά ολοκληρώματα της κίνησης. Στη μελέτη παρείχθησαν μέσω πολύμηνων υπολογισμών δυναμικοί χάρτες που απεικονίζουν την τιμή του συγκεκριμένου χαοτικού δείκτη γνωστού στη βιβλιογραφία ως ο Γρήγορος Δείκτης Lyapunov (Fast Lyapunov Indicator – FLI), για όλη την περιοχή ΜΕΟ, επιλέγοντας ως παραμέτρους την τιμή του μεγάλου ημιάξονα a (στο εύρος από $a=10000$ έως $a=33000$ χλμ), καθώς και για διάφορες τιμές των αρχικών γωνιών g και h του μικρού σώματος, καθώς και της αρχικής τιμής της γωνίας $\Omega_\Sigma$ της Σελήνης. Για κάθε επιλογή παραμέτρου, οι χάρτες αποδίδονται στο επίπεδο των αρχικών συνθηκών $(e,i)$ = εκκεντρότητα και κλίση της τροχιάς του μικρού σώματος ώς προς το γεωκεντρικό σύστημα συντεταγμένων ΜΕΕ. Η παραπάνω μελέτη έδωσε πλήθος νέων στοιχείων σε σχέση με προηγούμενες, λιγότερο λεπτομερείς χαρτογραφίες της περιοχής ΜΕΟ. Συγκεκριμένα, η μελέτη επέτρεψε να προσδιορισθούν λεπτομερώς τα διαχωριστικά όρια (separatrices) όλων των βασικών μακροχρόνιων συντονισμών που εμφανίζονται στην περιοχή ΜΕΟ. Μεταξύ αυτών, διακρίνονται δύο βασικές κατηγορίες συντονισμών: α) οι συντονισμοί που εξαρτώνται μόνο από την κλίση της τροχιάς (inclination-only dependent resonances). Πρόκειται για συντονισμούς μεταξύ των συχνοτήτων μετάπτωσης των γωνιών g και h, των οποίων η ακριβής θέση στο επίπεδο (e,i) είναι ανεξάρτητη από την τιμή της εκκεντρότητας και εξαρτάται μόνο από την τιμή της κλίσης i. Οι πιο σημαντικοί συντονισμοί αυτού του είδους έχουν επισημανθεί στη διεθνή βιβλιογραφία ήδη από τη δεκαετία του 1960, αλλά στη διδακτορική διατριβή δόθηκε μια πιο λεπτομερής χαρτογράφηση. Μεταξύ αυτών, οι πλέον σημαντικοί για τις εφαρμογές είναι η συντονισμοί $2g+h$ και $2g$, που αντιστοιχούν σε κλίσεις πολύ κοντά στις τιμές που επιλέγονται από όλα τα υπάρχοντα μεγάλα συστήματα δορυφορικής πλοήγησης (GPS, Galileo, GLONASS και Beidou), καθώς και από άλλους δορυφόρους, στρατιωτικών ή επιστημονικών εφαρμογών. β) Συντονισμοί που εμπλέκουν τη συχνότητα μετάπτωσης της γωνίας ΩΣ. Μεταξύ αυτών, ιδιαίτερη σημασία έχουν οι συντονισμοί $h-\Omega_\Sigma$ , και $2h-\Omega_\Sigma$ , οι οποίοι εμφανίζουν το χαρακτηριστικό ότι οι αντίστοιχες ζώνες συντονισμού, όπως εντοπίζονται από τη δυναμική χαρτογραφία, τέμνουν εγκαρσίως τις περιοχές των συντονισμών $2g+h$ και $2g$ στις περιοχές $a=25000$ χλμ (περίπου) και $a=30000$ χλμ αντίστοιχα. Λόγω των εγκαρσίων τομών έχουμε τότε τη δημιουργία περιοχών “διπλού συντονισμού” (double resonance) εντός των οποίων οι κινήσεις είναι ιδιαίτερα χαοτικές και οδηγούν σε ταχύτατη εξάπλωση, μέσω χαοτικής διάχυσης, των περιοχών στο επίπεδο (e,i) που καταλαμβάνονται από τις τροχιές των μικρών σωμάτων, ακόμη και όταν οι τελευταίες εξελίσσονται από αρχικά εγγύτατες μεταξύ τους αρχικές συνθήκες. Η μελέτη της χαοτική διάχυσης και του ρυθμού εξάπλωσης των τροχιών περιγράφεται στο τελευταίο μέρος της διατριβής. Ο αναλυτικός εντοπισμός των παραπάνω συντονισμών πραγματοποιήθηκε με τη μαθηματική (ημι-αναλυτική) μοντελοποίηση όλων των προαναφερθέντων συντονισμών, και την εξ αυτής κατανόηση της δομής τους στο φασικό χώρο, όπως αυτή αποτυπώνεται μέσω της φαινομενολογίας των δυναμικών χαρτών που είχαν υπολογισθεί στο πρώτο έτος. Το κυριότερο νέο αποτέλεσμα που προήλθε από τη θεωρητική ανάλυση ήταν η πρόταση ενός βελτιωμένου μοντέλου, το οποίο συμπληρώνει κατά ουσιαστικό τρόπο το έως τούδε λεπτομερέστερο μοντέλο στη διεθνή βιβλιογραφία, γνωστό ως μοντέλο Breiter. Το κύριο νέο χαρακτηριστικό του προτεινόμενου στη διατριβή μοντέλου αφορά το γεγονός ότι το μοντέλο αυτό προβλέπει την ύπαρξη χάους, και προσφέρει ικανοποιητική ερμηνεία της φαινομενολογίας ως προς τις χαοτικές τροχιές στη βάση της ομοκλινικής δυναμικής που επάγεται από τις ευσταθείς και ασταθείς ασυμπτωτικές πολλαπλότητες της λεγόμενης “κεντρικής αναλλοίωτης πολλαπλότητας” (τροχιές κυκλικές που διατηρούν αναλλοίωτη στο χρόνο την τιμή $e=0$). Αποδεικνύεται ότι η κεντρική πολλαπλότητα είναι “εγκαρσίως υπερβολική” (normally hyperbolic), οι δε ομοκλινικές ταλαντώσεις των ευσταθών και ασταθών ασυμπτωτικών πολλαπλοτήτων της κεντρικής πολλαπλότητας αντιστοιχούν, στη φυσική τους ερμηνεία, σε εναλλασσόμενες περιοχές αρχικών συνθηκών εντός των οποίων το μικρό σώμα μπορεί να οδηγηθεί σε ταχεία (ή μη) αύξηση της τροχιακής εκκεντρότητας. Ας σημειωθεί ότι τα αποτελέσματα αυτά έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον καθότι, μέσω ενός γνωστού εργαλείου της μαθηματικής φυσικής και των δυναμικών συστημάτων, ήτοι τη μελέτη των πολλαπλοτήτων και του ομοκλινικού χάους, δίνεται θεωρητική ερμηνεία σε ένα φαινόμενο, της αύξησης της εκκεντρότητας, με πολλές πρακτικές εφαρμογές για την αστροδυναμική. Ειδικότερα, έχει προταθεί ότι ο μηχανισμός αύξησης της εκκεντρότητας μπορεί να αξιοποιηθεί προκειμένου να οδηγούνται, με χαμηλό κόστος, οι μη-χρησιμοποιούμενοι δορυφόροι σε επανείσοδο στην ατμόσφαιρα (λόγω του χαμηλού περικέντρου), έστω και αν ο μεγάλος ημιάξονας της τροχιάς αντιστοιχεί σε ύψη πολύ ανώτερα της επίδρασης της Γήινης ατμόσφαιρας. Πλην των ανωτέρω, από το μοντέλο που προτείνεται στη διατριβή προκύπτουν και άλλες βελτιώσεις σε σχέση με το μοντέλο Breiter. Ειδικότερα, προτείνονται τρία διαφορετικά μοντέλα μέσω των οποίων ενσωματώνεται στον υπολογισμό των διαχωριστικών καμπυλών κάθε συντονισμού η επίδραση των “διπλών συντονισμών”, της τομής δηλαδή με τους συντονισμούς $h-\OmegaΩ_\Sigma$ , και $2h-\OmegaΩ_\Sigma$ της Σελήνης. Αξιοποιώντας τα παραπάνω μοντέλα δείχνεται πώς αποτυπώνονται θεωρητικά οι διαχωριστικές καμπύλες επί των δυναμικών χαρτών στο επίπεδο $(e,i)$. Σύγκριση με τους αριθμητικούς χάρτες έδειξε ότι η σύμπτωση μεταξύ θεωρητικών και αριθμητικά υπολογιζόμενων ορίων των συντονισμών είναι πολύ ικανοποιητική. Περαιτέρω, από τη σύγκριση αυτή προκύπτουν δύο αποτελέσματα πρακτικής αξίας: ι) προτείνονται αναλυτικοί τύποι που δίνουν τη μέγιστη τιμή της εκκεντρότητας που ανακτάται από το μικρό σώμα ως συνάρτηση της αρχικής κλίσης της τροχιάς, καθώς και το χρόνο που απαιτείται ώστε η εκκεντρότητα να φτάσει στη μέγιστη τιμή. ιι) Ερμηνεύθηκε θεωρητικά το φαινόμενο της εξάρτησης της θέσης των συντονισμών από τις αρχικές “φάσεις” (τις γωνίες h,g, ΩΣ), το οποίο είχε παρατηρηθεί από άλλους ερευνητές, αλλά χωρίς έως τώρα να έχει δοθεί θεωρητική ερμηνεία. Στο τελευταίο στάδιο της έρευνας μελετήθηκε, το πρόβλημα της μοντελοποίησης της χαοτικής διάχυσης εντός των προαναφερθέντων συντονισμών, καθώς και του προσδιορισμού, με ημι-αναλυτικές μεθόδους, της ταχύτητας της διάχυσης. Μελετήθηκε η ημι-αναλυτική μοντελοποίηση της διάχυσης μέσω δύο διαφορετικών προσεγγίσεων. α) Στο πλαίσιο της λεγόμενης προσέγισης Melnikov (τριών βαθμών ελευθερίας), διαχωρίζεται σε δύο προσεγγιστικά προβλήματα. Αρχικά, η λύση του προβλήματος ως προς το βαθμό ελευθερίας που περιγράφει το συντονισμό στο ολοκληρώσιμο μοντέλο Breiter επιλύεται προκειμένου να δοθεί ένας προσεγγιστικός αναλυτικός τύπος για την εξέλιξη των αντίστοιχων κανονικών μεταβλητών (δράση και γωνία) κατά μήκος της διαχωριστικής καμπύλης του συντονισμού. Στη συνέχεια, οι αναλυτικές αυτές εκφράσεις εισάγονται στους τύπους που δίνουν την εξέλιξη στο χρόνο των υπόλοιπων, καλούμενων και “αδιαβατικών” δράσεων. Τότε, η εξέλιξη των αδιαβατικών δράσεων προσεγγίζεται ημι-αναλυτικά μέσω του υπολογισμού των ολοκληρωμάτων Melnikov που προκύπτουν από την παραπάνω διαδικασία. β) Στο πλαίσιο, τώρα, της προσέγγισης Jeans-Landau-Teller, γράφεται ένα προσεγγιστικό ολοκληρώσιμο δυναμικό σύστημα που περιγράφει τους ομοκλινικούς παλμούς πλησίον της διαχωριστικής όσο και την εξέλιξη των αδιαβατικών δράσεων. Ωστόσο, οι συντελεστές του ολοκληρώσιμου αυτού δυναμικού συστήματος έχουν μία στοχαστική διακύμανση από τον έναν ομοκλινικό παλμό στον επόμενο, επομένως μέσω της παραπάνω διαδικασίας ορίζεται τελικά μία στοχαστική ανέλιξη, μέσω της οποίας μπορεί να προσεγγισθεί ημι-αναλυτικά η τιμή του συντελεστή της χαοτικής διάχυσης. Αναπτύχθηκε αρχικά ένα “αρχέτυπο μοντέλο” του συντονισμού δευτέρου είδους, στο πλαίσιο του οποίου και δοκιμάσθηκε αρχικά ο βαθμός προσέγγισης που επιτυγχάνεται στην εκτίμηση της ταχύτητας της διάχυσης τόσο με τη μέθοδο Melnikov όσο και τη μέθοδο Landau-Teller. Στη συνέχεια, εφαρμόστηκε η παραπάνω μοτελοποίηση στην περίπτωση του συντονισμού $2g+h$. Τα τελικά αποτελέσματα δείχνουν ότι και οι δύο μέθοδοι μπορούν να αξιοποιηθούν για την εκτίμηση του συντελεστή διάχυσης μέσω ημι-αναλυτικών προσεγγίσεων, εφόσον το σύστημα βρίσκεται μακριά από τις περιοχές των διπλών συντονισμών. Στην τελευταία περίπτωση, ωστόσο, η μέθοδος αποκλίνει κατά περίπου μία τάξη μεγέθους στην εκτίμηση της ταχύτητας διάχυσης σε σχέση με την ταχύτητα που προσδιορίζεται από τις αριθμητικές προσομοιώσεις.