Saddle surfaces

Abstract

The notion of a saddle surface is well known in Euclidean space. In this thesis, the idea of a saddle surface is extended to geodesically connected metric spaces. It is proved that every energy minimizing surface in a nonpositively curved Aleksandrov’s space is a saddle surface. Further, it is proved that the notion of a saddle surface is well defined for a general Frechet surface and the space of saddle surfaces is complete in the Frechet distance. It is also proved a compactness theorem for saddle surfaces in metric spaces of curvature bounded from above in the sense of A.D.Aleksandrov. In spaces of constant curvature it is obtained a stronger result based on an isoperimetric inequality for a saddle surface. Finally, it is proved that a saddle surface in a three-dimensional space of nonzero constant curvature k is a space of curvature not greater than k in the sense of A.D.Aleksandrov, which generalizes a classical theorem by S.Z.Shefel.

Η έννοια της σαγματοειδούς επιφάνειας είναι γνωστή στον Ευκλείδειο χώρο. Σε αυτή τη διατριβή, η ιδέα της σαγματοειδούς επιφάνειας επεκτείνεται σε μετρικούς χώρους οι οποίοι είναι γεωδαισιακά συνεκτικοί. Αποδεικνύεται ότι κάθε επιφάνεια που ελαχιστοποιεί την ενέργεια, σε έναν μη θετικά καμπυλωμένο χώρο με την έννοια του A.D.Aleksandrov, είναι σαγματοειδής επιφάνεια. Περαιτέρω, αποδεικνύεται ότι η έννοια της σαγματοειδούς επιφάνειας είναι καλά καθορισμένη για μια γενική επιφάνεια Frechet και ο χώρος των σαγματοειδών επιφανειών είναι πλήρης ως προς την μετρική του Frechet. Αποδεικνύεται επίσης ένα θεώρημα συμπάγειας για σαγματοειδείς επιφάνειες σε μετρικούς χώρους καμπυλότητας φραγμένης άνω με την έννοια του A.D.Aleksandrov. Σε χώρους σταθερής καμπυλότητας επιτυγχάνεται ένα ισχυρότερο αποτέλεσμα με βάση μια ισοπεριμετρική ανισότητα για σαγματοειδείς επιφάνειες. Τέλος, αποδεικνύεται ότι μια σαγματοειδής επιφάνεια σε έναν τρισδιάστατο χώρο μη μηδενικής σταθερής καμπυλότητας k είναι ένας χώρος καμπυλότητας όχι μεγαλύτερης από k με την έννοια του A.D.Aleksandrov, το οποίο γενικεύει ένα κλασικό θεώρημα του S.Z.Shefel.