Μελέτη της θεωρίας διαστάσεων στην περιοχή των τοπολογικών χώρων και των δικτυωτών

Abstract

The study of dimensions of topological spaces and partially ordered sets (usually, posets), the characterizations of those dimensions using matrices and the notion of universality in classes of frames and classes of bases for frames, which are determined by meanings of dimensions, are the subjects of the doctoral thesis.Especially, we define a new topological dimension, called quasi covering dimension, dimq. We prove that dimq is greater than or equal to the classical covering dimension, dim, and we present examples of topological spaces, computing their dimq and dim. Also, we prove properties of the dimension dimq.Afterwards, we study the Universality Problem, which focuses on finding universal topological spaces (respectively, universal frames) in various classes of topological spaces (respectively, classes of frames). We prove that in the class of all regular frames with weight less than or equal to a cardinal τ and small inductive dimension, frind, less than or equal to an ordinal α, there exist universal elements. This study is succeeded by defining and studying a new dimension for frames, which is called small inductive dimension, frind, and the notion of saturated class of frames.We define new notions for the theory of frames such as the notions of classes of bases, the universal element for classes of bases and the notion of base dimension-like function of the type of the small inductive dimension frind. Based on the above notions, we prove that in a class of bases for frames, which is determined by the new base dimension, there exist universal elements. We study the order-dimension of finite partially ordered sets with matrices. In every finite poset (X,≤), we assign a matrix, called order-matrix. We study properties of this matrix and we characterize the linear extensions of the partial order ≤ and the order-dimension of X using the order-matrices. Based on the above results, we give an algorithm which computes the order-dimension of an arbitrary finite poset.Moreover, we study the covering dimension of finite lattices using matrices. We study the notions of minimal covers and their order using order-matrices and incidence matrices. We give an algorithm which finds the set of all minimal covers of an arbitrary finite lattice and based on this study we give an algorithm which computes the covering dimension of an arbitrary finite lattice. This study is completed by presenting an algorithm which computes the covering dimension of the linear sum and the lexicographic product of two arbitrary finite lattices. Finally, we study the Krull-dimension of finite distributive lattices through join-prime elements, order-matrices and incidence matrices. An algorithm which finds the set of all join-prime elements of an arbitrary finite lattice and an algorithm for computing the height of finite posets are provided. Based on the above results, we succeed a computing of the Krull-dimension for an arbitrary finite distributive lattice through matrices.

Αντικείμενο μελέτης της διδακτορικής διατριβής αποτελούν οι διαστάσεις τοπολογικών χώρων και μερικώς διατεταγμένων συνόλων (partially ordered sets ή συνηθέστερα, posets), οι χαρακτηρισμοί αυτών με πίνακες και η έννοια της καθολικότητας σε κλάσεις frames και κλάσεις βάσεων για frames οι οποίες προσδιορίζονται από έννοιες διαστάσεων. Ειδικότερα, ορίζουμε μία νέα τοπολογική διάσταση, την quasi διάσταση κάλυψης, dimq. Αποδεικνύουμε ότι η dimq είναι μεγαλύτερη ή ίση της κλασικής διάστασης κάλυψης, dim, και παρουσιάζουμε παραδείγματα τοπολογικών χώρων, προσδιορίζοντας τόσο τη διάσταση dimq όσο και τη διάσταση dim αυτών. Επίσης, αποδεικνύουμε ιδιότητες της διάστασης dimq. Επίσης, μελετάμε το Πρόβλημα Καθολικότητας, το οποίο έγκειται στην εύρεση καθολικών τοπολογικών χώρων (αντίστοιχα, καθολικών frames) σε διάφορες κλάσεις τοπολογικών χώρων (αντίστοιχα, κλάσεις frames). Αποδεικνύουμε ότι στην κλάση όλων των κανονικών frames που έχουν βάρος μικρότερο ή ίσο ενός πληθαρίθμου τ και μικρή επαγωγική διάσταση, frind, μικρότερη ή ίση ενός διατακτικού αριθμού α, υπάρχουν καθολικά στοιχεία. Η μελέτη αυτή επιτυγχάνεται με τον ορισμό και τη μελέτη μίας νέας διάστασης για frames, την οποία καλούμε μικρή επαγωγική διάσταση, frind, και της έννοιας της κορεσμένης κλάσης frames. Ορίζουμε νέες, για τη θεωρία των frames, έννοιες, όπως της κλάσης βάσεων, του καθολικού στοιχείου για κλάσεις βάσεων καθώς, επίσης, την έννοια της διάστασης βάσης του τύπου της μικρής επαγωγικής διάστασης frind. Βασιζόμενοι στις παραπάνω έννοιες, αποδεικνύουμε ότι σε κλάση βάσεων για frames, η οποία προσδιορίζεται από τη νέα διάσταση βάσης, υπάρχουν καθολικά στοιχεία. Μελετάμε την order-διάσταση πεπερασμένων μερικώς διατεταγμένων συνόλων μέσα από πίνακες. Σε κάθε πεπερασμένο poset (X,≤) προσαρτάμε τον λεγόμενο order-πίνακα. Μελετάμε ιδιότητες αυτού του πίνακα και χαρακτηρίζουμε τις γραμμικές επεκτάσεις της μερικής διάταξης ≤ και την order-διάσταση του X χρησιμοποιώντας τους order-πίνακες. Βασιζόμενοι στα παραπάνω αποτελέσματα, δίνουμε έναν αλγόριθμο για τον υπολογισμό της order-διάστασης ενός τυχαίου πεπερασμένου poset. Επιπλέον, μελετάμε τη διάσταση κάλυψης πεπερασμένων δικτυωτών μέσα από πίνακες. Μελετάμε τις έννοιες των minimal καλύψεων και της τάξης αυτών μέσα από order-πίνακες και πίνακες πρόσπτωσης. Δίνουμε έναν αλγόριθμο ο οποίος προσδιορίζει το σύνολο των minimal καλύψεων σε ένα οποιοδήποτε πεπερασμένο δικτυωτό και βασιζόμενοι σε αυτή τη μελέτη δίνουμε έναν αλγόριθμο ο οποίος υπολογίζει τη διάσταση κάλυψης ενός τυχαίου πεπερασμένου δικτυωτού. Η μελέτη αυτής της διάστασης ολοκληρώνεται παρουσιάζοντας έναν αλγόριθμο ο οποίος υπολογίζει τη διάσταση κάλυψης του γραμμικού αθροίσματος και του λεξικογραφικού γινομένου δύο οποιονδήποτε πεπερασμένων δικτυωτών. Τέλος, μελετάμε τη Krull-διάσταση πεπερασμένων επιμεριστικών δικτυωτών μέσα από join-πρώτα στοιχεία, order-πίνακες και πίνακες πρόσπτωσης. Περιγράφονται νέοι χαρακτηρισμοί αυτών των εννοιών μέσα από αυτούς τους πίνακες και δίνονται ένας αλγόριθμος προσδιορισμού του συνόλου των join-πρώτων στοιχείων σε ένα οποιοδήποτε πεπερασμένο δικτυωτό και ένας αλγόριθμος υπολογισμού του ύψους πεπερασμένων posets. Βάσει όλων αυτών των αποτελεσμάτων επιτυγχάνεται ο υπολογισμός της Krull-διάστασης για ένα οποιοδήποτε πεπερασμένο επιμεριστικό δικτυωτό μέσα από πίνακες.