Έλεγχος της δυναμικής συμπεριφοράς μη-γραμμικών κυκλωμάτων με μικροϋπολογιστές και εκπαιδευτικές εφαρμογές του

Abstract

AbstractThis PhD Thesis was done in the Department of Physics of Aristotle University of Thessaloniki, the subject of the study was the control of dynamic behavior of non-linear circuits using microcontrollers. In the context of the thesis, original educational devices were proposed for the control of dynamic behavior and a new approach is proposed through the experimental study of the chaotic systems. The dissertation consists of ten chapters, nine of which belong to five sections and the tenth chapter contains the conclusions from the whole thesis. The first section consists of the first chapter in which the study focuses on the analysis of dynamic systems, by studying their equilibrium points and their stability. Methods of determining the behavior of dynamic systems and their path to chaos are also being examined. For this purpose, the Lyapunov exhibitors, dimensions and Poincaré map are studied. We examine the approximate methods of solving dynamic systems using the Euler and Runge-Kutta methods. The second chapter makes up the second section where a new laboratory device of Chua oscillator is presented. The proposed implementation is suitable for teaching in the lab, courses related to non-linear circuits and chaos for undergraduate, postgraduate and doctoral students. It consists of two independent circuits, the first of which is Chua's non-linear resistor, while the second is the rest of the Chua oscillator circuit. In the third section (chapter three), attempts were made to create a chaotic generator device that has not been presented in any other work and is designed to enable the study of chaotic systems at each level of teaching. The device is capable of displaying the three basic charts of the chaotic theory (phase portrait, Poincaré map, bifurcation diagram) on an analogue or digital oscilloscope, or recording the produced time series on an SD card for further processing on a personal computer. All studies and constructions of microcontroller systems with their capabilities are presented in detail. In the fourth section (four, five, six, seven, eight chapters) were theoretically and experimentally studied seven original non-linear systems, three of which are being proposed for the first time. In the first system, the Lorenz system with the most common values for the parameters σ = 10 and b = 8/3 with the parameter (ρ) takes the ρ [99.5, 235]. The second system studied is the Chua oscillator system and the third Chua oscillator circuit system with non-linear element with cubic characteristic. Circuits have rich dynamic behavior with many similarities but also many variations as shown in the charts listed in the corresponding chapters. The fourth system being studied is the Duffing oscillator described by a second-order differential equation that includes a non-linear term and is forced by a harmonic signal. Because of its strong non-linear behavior, it has a wide range of dynamic behaviors. The fifth system studied is a variation of the Lorenz system, with parameter b [0, 1] and with parameter (a) taking values 2.5, 1.0, 0.5. The system belongs to the systems with hidden attractors and in the category without equilibrium points. The system has areas where the toroid coexists either with a symmetrical pair of strange attractors or with a symmetrical pair of limit circles and other regions where 3 limit circles coexist. The sixth system being studied is a Hyperjerk system with the parameter α [3.6, 5.6] and parameter (b) takes values 0.01, 0.2, 0.4, 0.6. which also has hyperchaotic areas. The seventh system being studied is a system where many attractors coexist, and the megastability phenomenon for different initial conditions is examined while the control parameters of the system are stable. Furthermore, for the first time, the bidirectional and unidirectional coupling schemes between two quasiperiodically forced chaotic systems with megastability have been studied. In all the above systems the study was conducted theoretically, and on the computer using programs in True Basic, as well as experimentally using the developed device. Phase diagrams, Poincaré maps and bifurcation diagrams, as taken from the oscilloscope, are provided. In fifth section (chapter ninth), a text encryption device based on a chaotic "random" number generator was studied and constructed. The main element of this CRNG was a microcontroller, which was used as a platform for the implementation of the proposed CRNG.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή, που πραγματοποιήθηκε στο τμήμα Φυσικής του ΑΠΘ, αντικείμενο μελέτης αποτέλεσε ο έλεγχος της δυναμικής συμπεριφοράς μη γραμμικών κυκλωμάτων με την χρήση μικροελεγκτών. Στα πλαίσια της διατριβής προτείνονται πρωτότυπες εκπαιδευτικές συσκευές για τον έλεγχο της δυναμικής συμπεριφοράς και ένας νέος τρόπος προσέγγισης, μέσω της πειραματικής μελέτης των χαοτικών συστημάτων. Η διατριβή αποτελείται από δέκα κεφάλαια, με εννέα από αυτά να ανήκουν σε πέντε ενότητες και το δέκατο κεφάλαιο να περιέχει τα συμπεράσματα από όλη την διατριβή. Η πρώτη ενότητα αποτελείται από το πρώτο κεφάλαιο στο οποίο η μελέτη επικεντρώνεται στην ανάλυση των δυναμικών συστημάτων, με την μελέτη των σημείων ισορροπίας και της ευστάθειάς τους. Επίσης εξετάζονται μέθοδοι προσδιορισμού της συμπεριφοράς των δυναμικών συστημάτων καθώς και η πορεία τους προς το χάος. Για τον σκοπό αυτό μελετώνται οι εκθέτες Lyapunov, οι διαστάσεις και η απεικόνιση Poincaré. Εξετάζονται οι προσεγγιστικές μέθοδοι επίλυσης των δυναμικών συστημάτων με τις μεθόδους Euler και Runge-Kutta.Στην δεύτερη ενότητα ανήκει το δεύτερο κεφάλαιο όπου παρουσιάζεται μια νέα εργαστηριακή συσκευή του ταλαντωτή του Chua. Η προτεινόμενη υλοποίηση είναι κατάλληλη για τη διδασκαλία στο εργαστήριο, μαθημάτων που σχετίζονται με τα μη γραμμικά κυκλώματα και το χάος για προπτυχιακούς, μεταπτυχιακούς και διδακτορικούς φοιτητές. Αποτελείται από δύο ανεξάρτητα κυκλώματα, το πρώτο από τα οποία είναι η μη γραμμική αντίσταση του Chua, ενώ το δεύτερο είναι το υπόλοιπο κύκλωμα του ταλαντωτή Chua.Στην τρίτη ενότητα ανήκει το τρίτο κεφάλαιο όπου παρουσιάζονται οι προσπάθειες δημιουργίας μια συσκευής χαοτικής γεννήτριας που δεν έχει παρουσιαστεί σε καμία άλλη εργασία και έχει σαν σκοπό να δώσει την δυνατότητα της μελέτης των χαοτικών συστημάτων σε κάθε επίπεδο διδασκαλίας. Η συσκευή έχει την δυνατότητα απεικόνισης των τριών βασικών γραφημάτων της χαοτικής θεωρίας (πορτραίτου φάσης, διαγράμματος διακλάδωσης και απεικόνισης Poincaré) σε αναλογικό ή ψηφιακό παλμογράφο, ή εγγραφής των παραγόμενων χρονοσειρών σε κάρτα SD για την περαιτέρω επεξεργασία σε προσωπικό υπολογιστή. Δίδονται διεξοδικά όλες οι μελέτες και κατασκευές των μικροελεγκτικών συστημάτων με τις δυνατότητες τους. Στην τέταρτη ενότητα ανήκουν το τέταρτο, πέμπτο, έκτο, έβδομο και όγδοο κεφάλαιο όπου μελετώνται θεωρητικά και πειραματικά μέσω της πρωτότυπης εκπαιδευτικής συσκευής επτά μη γραμμικά συστήματα, τρία από τα οποία προτείνονται πρώτη φορά. Στο πρώτο σύστημα μελετάται, το σύστημα του Lorenz με τις πιο συνήθεις τιμές για τις παραμέτρους, σ =10 και b = 8/3, με την παράμετρο (ρ) να παίρνει τιμές στο διάστημα [99.5, 235]. Δεύτερο σύστημα που μελετάται είναι το σύστημα του ταλαντωτή Chua και τρίτο σύστημα το γενικευμένο κύκλωμα ταλαντωτή Chua με μη γραμμικό στοιχείο με κυβική χαρακτηριστική. Τα κυκλώματα παρουσιάζουν πλούσια δυναμικά χαρακτηριστικά με πολλές ομοιότητες, αλλά και πολλές διαφοροποιήσεις, όπως φαίνεται από τα διαγράμματα που παρατίθενται στα αντίστοιχα κεφάλαια. Το τέταρτο σύστημα που μελετάται είναι ο ταλαντωτής του Duffing που περιγράφεται από μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης που περιλαμβάνει ένα μη-γραμμικό όρο και διεγείρεται από ένα αρμονικό σήμα. Λόγω της έντονα μη γραμμικής συμπεριφοράς του παρουσιάζει μεγάλη γκάμα δυναμικών συμπεριφορών. Το πέμπτο σύστημα που μελετάται είναι μια παραλλαγή του συστήματος του Lorenz, με την παράμετρο b [0, 1] και με την παράμετρο (α) να παίρνει τις διακριτές τιμές 2.5, 1.0, 0.5. Το σύστημα ανήκει στα συστήματα με κρυφούς ελκυστές και στην κατηγορία χωρίς σημεία ισορροπίας. Το σύστημα έχει περιοχές όπου το τοροειδές συνυπάρχει είτε με συμμετρικό ζεύγος παράξενων ελκυστών είτε με συμμετρικό ζεύγος οριακών κύκλων και άλλες περιοχές όπου συνυπάρχουν 3 οριακοί κύκλοι. Το έκτο σύστημα που μελετάται είναι ένα Hyperjerk σύστημα με την παράμετρο α [3.6, 5.6] και με την παράμετρο (b) να παίρνει τις διακριτές τιμές 0.01, 0.2, 0.4, 0.6. και το οποίο παρουσιάζει και υπερχαοτικές περιοχές.Το έβδομο σύστημα που μελετάται είναι ένα σύστημα όπου συνυπάρχουν άπειροι ελκυστές και εξετάστηκε το φαινόμενο της πολυευστάθειας για διαφορετικές αρχικές συνθήκες καθώς οι παράμετροι ελέγχου του συστήματος είναι σταθερές. Επιπλέον, μελετήθηκε για πρώτη φορά το φαινόμενο του συγχρονισμού δύο αμφίδρομα και μονόδρομα συζευγμένων quasiperiodic forced nonlinear systems QFO με πολύ-ευστάθεια (megastability). Σε όλα τα παραπάνω συστήματα η μελέτη πραγματοποιήθηκε θεωρητικά, και στον υπολογιστή με την χρήση προγραμμάτων γραμμένων σε True Basic, καθώς και πειραματικά με την χρήση της αναπτυχθείσας συσκευής. Δίδονται τα φασικά διαγράμματα, απεικονίσεις Poincaré και διαγράμματα διακλάδωσης όπως πάρθηκαν από τον παλμογράφο.Στην Πέμπτη ενότητα που αποτελείται από το ένατο κεφάλαιο, μελετήθηκε και κατασκευάστηκε μια συσκευή κρυπτογράφησης κειμένου βασισμένη σε μια χαοτική γεννήτρια “τυχαίων” αριθμών. Το κύριο στοιχείο αυτής της CRNG ήταν ένας μικροελεγκτής, ο οποίος χρησιμοποιήθηκε ως πλατφόρμα για την εφαρμογή της προτεινόμενης CRNG.