Μελέτη της συμπεριφοράς των λύσεων συστημάτων εξισώσεων διαφορών εκθετικού τύπου

Abstract

The main theme of this thesis is the study of the asymptotic behaviour of the solutions of exponential difference equations. We obtain results concerning the behaviour of the positive solutions of difference equations. More precisely, we study the existence of the unique positive equilibrium. In addition, we investigate the boundedness and the persistence of the positive solutions. Finally we study the convergence of the positive solutions to the unique positive equilibrium. We also study the stability of the zero equilibria of systems of differenceequations, using the Centre Manifold Theorem. Difference equations and systems of difference equations containing exponential terms have numerous potential applications in Biology. Exponential difference equations system may be useful in modelling a two-species population that includes a self-regulating mechanism that limits the sizes of both populations. The results of this thesis could be used to create more elaborate biological models to facilitate understanding the underlying ecological mechanisms.

Το κύριο θέμα αυτής της εργασίας είναι η μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς των λύσεων των εξισώσεων διαφορών εκθετικού τύπου. Μελετάται η συμπεριφορά των θετικών λύσεων εξισώσεων διαφορών. Συγκεκριμένα, μελετάτε η ύπαρξη του μοναδικού θετικού σημείου ισορροπίας. Επιπλέον, διερευνάται κατά πόσο οι θετικές λύσεις είναι φραγμένες και εμμένουσες. Τέλος, μελετάται η σύγκλιση των θετικών λύσεων προς το μοναδικό θετικό σημείο ισορροπίας. Μελετάται επίσης η σταθερότητα του μηδενικού σημείου ισορροπίας των συστημάτων εξισώσεων διαφορών, χρησιμοποιώντας το θεώρημα κεντρικής πολλαπλότητας. Οι εξισώσεις διαφορών και τα συστήματα εξισώσεων διαφορών που περιέχουν εκθετικούς όρους έχουν πολλές πιθανές εφαρμογές στη Βιολογία. Τα συστήματα εξισώσεων διαφορών εκθετικού τύπου είναι χρήσιμα στη μοντελοποίηση ενός πληθυσμού δύο ειδών που περιλαμβάνουν έναν μηχανισμό αυτορύθμισης που περιορίζει τα μεγέθη και των δύο πληθυσμών. Τα αποτελέσματα αυτής της εργασίας θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για τη δημιουργία πιο περίπλοκων βιολογικών μοντέλων για τη διευκόλυνση της κατανόησης των βασικών οικολογικών μηχανισμών.