Διερεύνηση της επίδρασης των μη-τέλειων διεπιφανειών πάνω στη συνολική μηχανική και θερμική συμπεριφορά των νανο-σύνθετων υλικών

Abstract

The subject of the present doctoral thesis is the investigation of the effect of non-perfect interfaces on the overall mechanical behavior of nano-composite materials for mechanical and thermal actions. The study is done in the framework of linear elasticity and thermoelasticity for infinitesimal strains using the simplified model of an elastic inhomogeneity within an elastic matrix. In this model, the bonding of the two materials is simulated with a two-dimensional continuum medium sticking on its opposite sides with inhomogeneity and matrix and exhibits mechanical behavior of spring or membrane type. The mechanical behavior of both spring-type and membrane-type interface is specified by the constitutive equations of the surface continuum which are derived based on the thermodynamics of continuum media. The constitutive equations derived for a spring type interface coincide with those being proposed empirically in the literature. In the present work, the constitutive equations for a membrane type interface re-derived within the linear elasticity of infinitesimal strains assuming absence of residual stress in the continuum media; it is shown that the elastic constants involved in these equations must be positive in order the elastic energy of the surface continuum to be positive. In the present work, the nature of the surface tension is clarified by introducing the concept of surface eigenstrains for two-dimensional media being the counterpart of eigenstrains defined in volume (bulk) astic media. The surface tension is interpreted as the membrane stress developed due to uniform surface eigenstrains distributed over the surface continuum of a membrane type interface; the surface eigenstrains prescribe the miss-fitting strains induced by the existing difference in the atomic distances of the matrix and inhomogeneity.The effect of both spring-type and membrane type interface on the overall energetic behavior of a nano- composite material is investigated using the inhomogeneity-matrix model prescribed previously. In the analysis, a part of the interface is assumed to correspond to the one of the two types of non-perfect interfaces mentioned previously, while the remaining, to a perfect interface. The inhomogeneity-matrix system is stressed either by a set of equilibrated surface forces acting on the external boundary of the matrix, or by a distribution of eigenstrains within inhomogeneity. For both loadings, the elastic energies stored in matrix, inhomogeneity and non-perfect interface, as well as the total potential energy of the system are defined. Based on these definitions, two new energy propositions regarding the potential energy of the system are established. These propositions allow one to determine the change in potential energy occurred in the system as a non-perfect interface forms or extent while the system is stressed. These two propositions constitute the extension of the Irwin-Bilby-Eshelby theorem developed for cracks to non-perfect interfaces.The general results, regarding the energy state of the system discussed previously, are applied to the case of a cylindrical inhomogeneity of circular crosssectional and infinite length, which is embedded to an unbounded matrix. The deformation of the system is assumed to be two-dimensional (inplane or antiplane) coming either from uniform stress applied at infinity or from eigenstrains acting in the inhomogeneity. For both loadings, the fully elastic fields along with the elastic energies stored in system constituents are obtained explicitly when the non-perfect covers the whole interface. It shown that a significant amount of elastic energy is stored in both non-perfect interfaces as the inhomogeneity size is in the nano-scale. An interesting result was derived with respect to the change in total potential energy occurring in an inhomogeneity-matrix system, as its perfect interface is transformed to a non-perfect one while the system is stressed. For both loadings, it was shown that if a perfect interface is transformed to a spring-type one, the change in the total potential energy of the system is negative and the hoop interface stress in the matrix increases. The opposite occurs if a perfect interface is transformed to a membrane-type interface: the change in the total energy of the system is positive and the hoop interface stress in the matrix decreases. Although this result was produced regarding a cylindrical circular inhomgeneity embedded in an unbounded matrix and for two specific loadings, it is conjured that it is valid for any geometry and any loading of the system. Essentially, this result reveals the identity of a spring type-interface and a membrane type interface, whose behaviors deviates oppositely from that of a perfect one. A spring type interface characterizes a deteriorating behavior of the bonds between the constituents of a composite, and a membrane type interface, an upgrading behavior. In a composite material, the transformation of a perfect interface to a non-perfect one is accompanied with changes in the thermal conditions holding across the interface. It is assumed that a spring type interface exhibits thermal behavior of low thermal conductivity, while a membrane type interface, behavior of high conductivity. The low thermal conductivity behavior is prescribed by a linear relation between heat flow and temperature jump across the interface, while those of a high conductivity, by a linear relationship between the interface which is related linearly with the interface temperature. The effect of non-perfect interfaces on the overall thermal and thermo-mechanical behavior of nano-composite materials is investigate by using the simplified model of a cylindrical circular inhomogeneity embedded in an unbounded matrix. For both non-perfect interface types, complete thermal and thermoelastic fields are obtained, when the inhomogeneity disturbs a linear temperature distribution of the matrix. It is shown that, for both types of non-perfect interfaces, the contribution of a remote uniform thermal flow to the thermo-elastic fields arising in the system becomes insignificant in nanoscale. A special case of the thermal and thermo-elastic fields obtained for a membrane type interface with a high conductivity behavior provides an important result related with the surface tension in interfaces of nano-particles. Misfitting thermal deformation produced by a membrane type interface with a high conductivity behavior induces constants stress in the interface of ‘surface tension’ type. Also, it was shown that the results regarding the stress concentration obtained for the mechanical loadings are valid for the thermal loadings considered.

Το αντικείμενο της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η διερεύνηση της επίδρασης των μη-τέλειων διεπιφανειών πάνω στη συνολική συμπεριφορά των νανο-σύνθετων υλικών για μηχανικές και θερμικές δράσεις. Η έρευνα γίνεται στα πλαίσια της γραμμικής ελαστικότητας και θερμοελαστικότητας για απειροστές παραμορφώσεις χρησιμοποιώντας ένα απλοποιημένο μοντέλο μίας ελαστικής ανομοιογένειας που είναι ένθετη σε μία ελαστική μήτρα. Σε αυτό το μοντέλο, η σύνδεση των δύο υλικών προσομοιώνεται με ένα διδιάστατο συνεχές μέσο του οποίου οι αντίθετες πλευρές είναι συνδεδεμένες με την ανομοιογένεια και τη μήτρα και η μηχανική συμπεριφορά που παρουσιάζει είναι αυτή του ελατηρίου ή της μεμβράνης. Η μηχανική συμπεριφορά της διεπιφάνειας ελατηριακού ή μεμβρανικού τύπου προσδιορίζεται από τις καταστατικές εξισώσεις της συνεχούς επιφάνειας οι οποίες παράγονται βασιζόμενοι στη θερμοδυναμική του συνεχούς μέσου. Οι καταστατικές εξισώσεις που παράγονται για την διεπιφάνεια ελατηριακού τύπου ταυτίζονται με αυτές που έχουν εισαχθεί εμπειρικά στη βιβλιογραφία. Στην παρούσα εργασία, οι καταστατικές εξισώσεις της μεμβρανικού τύπου διεπιφάνειας επανεξάγονται στα πλαίσια της γραμμικής ελαστικότητας των απειροστών παραμορφώσεων θεωρώντας ότι στο συνεχές μέσο απουσιάζουν οι παραμένουσες τάσεις: δείχνεται ότι οι ελαστικές σταθερές που εμπλέκονται σε αυτές τις εξισώσεις πρέπει να είναι θετικές έτσι ώστε η ελαστική ενέργεια της συνεχούς επιφάνειας να είναι θετική. Στην παρούσα εργασία, διασαφηνίστηκε η φύση της επιφανειακής τάσης με την εισαγωγή της έννοιας της επιφανειακής ιδιοπαραμόρφωσης για το διδιάστατο μέσο ως το ανάλογο των ιδιοπαραμορφώσεων που ορίζονται σε συνεχή μέσα όγκου. Η επιφανειακή τάση ερμηνεύεται ως η μεμβρανική τάση που αναπτύσσεται λόγω των ομοιόμορφων επιφανειακών ιδιοπαραμορφώσεων, που είναι κατανεμημένες στη συνεχή επιφάνεια της διεπιφάνειας μεμβρανικού τύπου: οι επιφανειακές ιδιοπαραμορφώσεις ορίζουν την ασυνέχεια των παραμορφώσεων που παράγονται από την υπάρχουσα διαφορά των ατομικών αποστάσεων της μήτρας και της ανομοιογένειας.Η επίδραση των δύο τύπων διεπιφανειών, ελατηριακού και μεμβρανικού τύπου πάνω στη συνολική ενεργειακή συμπεριφορά των νανο-σύνθετων υλικών διερευνάται χρησιμοποιώντας το μοντέλο ανομοιογένειας-μήτρας, που περιγράφηκε προηγουμένως. Στην ανάλυση που γίνεται, ένα μέρος της διεπιφάνειας θεωρείται ότι αντιστοιχεί σε μη-τέλεια διεπιφάνεια, ενώ το υπόλοιπο, σε τέλεια διεπιφάνεια. Το σύστημα ανομοιογένειας-μήτρας υποβάλλεται σε ένταση είτε από ένα ισόρροπο σύστημα επιφανειακών δυνάμεων που επενεργεί στην εξωτερική επιφάνεια της μήτρας, είτε από μία διανομή ιδιοπαραμορφώσεων στην ανομοιογένεια. Για τους δύο τύπους φόρτισης που εξετάζονται, ορίζονται οι ελαστικές ενέργειες που αποθηκεύονται στη μήτρα, στην ανομοιογένεια και στη μη-τέλεια διεπιφάνεια, όπως και η ολική δυναμική ενέργεια του συστήματος. Βασιζόμενοι σε αυτούς τους ορισμούς, θεμελιώνονται δύο νέες ενεργειακές προτάσεις όσον αφορά τη ολική δυναμική ενέργεια του συστήματος. Αυτές οι προτάσεις επιτρέπουν τον προσδιοριμό της μεταβολής της ολικής δυναμικής ενέργειας που συμβαίνει στο σύστημα, όταν σχηματίζεται ή επεκτείνεται η μη-τέλεια διεπιφάνεια ενώ το σύστημα είναι υπό ένταση. Οι δύο αυτές προτάσεις αποτελούν την επέκταση σε μη τέλειες διεπιφάνειες του θεωρήματος των Irwin-Bilby-Eshelby που έχει αναπτυχθεί για ρωγμές. Τα γενικά αποτέλεσματα, σχετικά με την ενεργειακή κατάσταση του συστήματος που περιγράφηκαν προηγούμενα, εφαρμόζονται στην περίπτωση της κυλινδρικής ανομοιογένειας κυκλικής διατομής και άπειρου μήκους, η οποία είναι ένθετη σε μία απείρως εκτεινόμενη μήτρα. Η παραμόρφωση στο σύστημα θεωρείται ότι είναι διδιάστατη (συνεπίπεδη ή αντιεπίπεδη) η οποία προέρχεται από την εφαρμογή ομοιόμορφων τάσεων στο άπειρο σύνορο της μήτρας ή από την εφαρμογή ιδιοπαραμορφώσεων στην ανομοιογένεια. Για τους δύο τύπους φόρτισης, λαμβάνονται σε αναλυτική μορφή τα πλήρη ελαστικά πεδία μαζί με τις ελαστικές ενέργειες που αποθηκεύονται στα στοιχεία του συστήματος όταν η μη-τέλεια διεπιφάνεια καταλαμβάνει όλη την έκταση της διεπιφάνειας. Δείχνεται ότι ένα σημαντικό ποσό της ελαστικής ενέργειας αποθηκεύεται και στους δύο τύπους μη-τέλειων διεπιφανειών όταν το μέγεθος της ανομοιογένειας είναι στη νανο-κλίμακα. Ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα που προέκυψε αφορά τη μεταβολή της ολικής δυναμικής ενέργειας που συμβαίνει σε ένα υπό ένταση σύστημα ανομοιογένειας-μήτρας, όταν η τέλεια διεπιφάνεια μετασχηματίζεται σε μη-τέλεια. Για τους δύο τύπους φόρτισης, δείχνεται ότι αν η τέλεια διεπιφάνεια μετασχηματιστεί σε μία ελατηριακού τύπου, η μεταβολή της ολικής δυναμικής ενέργειας του συστήματος είναι αρνητική και οι διεπιφανειακές εφαπτομενικές ορθές τάσεις στη μήτρα αυξάνονται. Το αντίθετο συμβαίνει όταν η τέλεια διεπιφάνεια μετασχηματίζεται σε διεπιφάνεια μεμβρανικού τύπου: η μεταβολή της ολικής δυναμικής ενέργειας του συστήματος είναι θετική και οι διεπιφανειακές εφαπτομενικές ορθές τάσεις στη μήτρα μειώνονται. Επίσης, αυτό το αποτέλεσμα παρήχθη για μια κυλινδρική κυκλική ανομοιογένεια που είναι ένθετη σε μία άπειρη μήτρα και για δύο συγκεκριμένες φορτίσεις. Αποδεικνύεται ότι ισχύει για κάθε γεωμετρία και για κάθε φόρτιση του συστήματος. Ειδικότερα, αυτό το αποτέλεσμα αποκαλύπτει την ταυτότητα της διεπιφάνειας ελατηριακού τύπου και της διεπιφάνειας μεμβρανικού τύπου, των οποίων η συμπεριφορά αποκλίνει αντίθετα από αυτήν της τέλειας. Η διεπιφάνεια ελατηριακού τύπου χαρακτηρίζει μια υποβαθμισμένη συμπεριφορά των δεσμών μεταξύ των συστατικών ενός σύνθετου υλικού, και η διεπιφάνεια μεμβρανικού τύπου, μια αναβαθμισμένη συμπεριφορά.Σε ένα σύνθετο υλικό, ο μετασχηματισμός μίας τέλειας διεπιφάνειας σε μία μη-τέλεια συνοδεύεται με μεταβολές στις θερμικές συνθήκες που βρίσκονται κατά μήκος της διεπιφάνειας. Θεωρείται ότι η διεπιφάνεια ελατηριακού τύπου παρουσιάζει θερμική συμπεριφορά χαμηλής θερμικής αγωγιμότητας, ενώ η διεπιφάνεια μεμβρανικού τύπου συμπεριφορά υψηλής αγωγιμότητας. Η συμπεριφορά χαμηλής θερμικής αγωγιμότητας περιγράφεται από μία γραμμική σχέση μεταξύ της θερμικής ροής και του θερμοκρασιακού άλματος κατά μήκος της διεπιφάνειας, ενώ αυτή της υψηλής αγωγιμότητας από μία γραμμική σχέση μεταξύ της διεπιφάνειας η οποία σχετίζεται γραμμικά με τη θερμοκρασία της διεπιφάνειας. Η επίδραση των μη-τέλειων διεπιφανειών πάνω στη συνολική θερμική και θερμο-μηχανική συμπεριφορά των νανο-σύνθετων υλικών διερευνάται χρησιμοποιώντας το απλοποιημένο μοντέλο μίας κυλινδρικής κυκλικής ανομοιογένειας που είναι ένθετη σε μία απείρος εκτεινόμενη μήτρα. Για τους δύο τύπους διεπιφανειών, βρίσκονται τα πλήρη θερμικά και θερμοελαστικά πεδία, όταν η ανομοιογένεια διαταράσσει μία γραμμική θερμοκρασιακή διακύμανση της μήτρας. Δείχνεται ότι, για τους δύο τύπους μη-τέλειων διεπιφανειών, στη νανοκλίμακα γίνεται ασήμαντη η συνεισφορά της απομακρυσμένης ομοιόμορφης θερμικής ροής στα θερμο-ελαστικά πεδία που αναπτύσσονται στο σύστημα. Η ειδική περίπτωση των θερμικών και θερμοελαστικών πεδίων που βρέθηκαν για τη διεπιφάνεια μεμβρανικού τύπου με συμπεριφορά υψηλής αγωγιμότητας παρέχει ένα σημαντικό αποτέλεσμα το οποίο σχετίζεται με την επιφανειακή τάση στις διεπιφάνειες των νανο-σωματιδίων. Η ασυνέχεια των παραμορφώσεων που παράγονται από τη διεπιφάνεια μεμβρανικού τύπου με συμπεριφορά υψηλής αγωγιμότητας παράγει σταθερές τάσεις στη διεπιφάνεια, ‘επιφανειακές τάσεις’. Επίσης, δείχθηκε ότι τα αποτελέσματα σχετικά με τη συγκέντρωση τάσεων που βρέθηκαν για τις μηχανικές φορτίσεις ισχύουν για τις θεωρούμενες θερμικές φορτίσεις.