Nonlinear water waves over varying bathymetry: theoretical and numerical study using variational methods

Abstract

The understanding of the motion of water waves is of fundamental importance for manyapplications related to disciplines such Naval and Marine Hydrodynamics, Coastaland Environmental Engineering, and Oceanography. Even under the simplifyingassumptions that fluid is ideal and the flow irrotational, the complete mathematicalformulation of the free-boundary problem of water waves is very complicated and itstheoretical and numerical study comprises a contemporary direction of research.In the first part of this thesis, a new system of two Hamiltonian equations is derived,governing the evolution of free-surface waves. This system is coupled with a time independent Coupled Mode System (CMS), called the substrate problem, that accountsfor the internal fluid kinematics. The derivation is based on the use of Luke’svariational principle in conjunction with an appropriate series representation of thevelocity potential. The critical feature of this approach, initiated in (Athanassoulis &Belibassakis 1999, 2000), is the use of an enhanced vertical modal expansion thatserves as an exact representation of the velocity potential in terms of horizontal modalamplitudes. Herein, we study further and justify this expansion. In particular, it isproved that under appropriate smoothness assumptions, the modal amplitudes exhibitrapid decay, ensuring that the infinite series can be termwise differentiated in the nonuniformfluid domain, including its physical boundaries. This justifies the variationalprocedure and proves that the resulting system, called Hamiltonian/Coupled-ModeSystem (HCMS), is an exact reformulation of the complete hydrodynamic problem,and therefore it is valid for fully nonlinear waves and significantly varying seabeds.In fact, it is a modal version of Zakharov/Craig-Sulem Hamiltonian formulation(Zakharov 1968, Craig & Sulem 1993) with a new, versatile and efficient representationof the Dirichlet to Neumann operator (DtN) operator, needed for the closure of thenon-local evolution equations. No smallness assumptions are made, that is, thepresent approach is a non-pertubative one. In HCMS, the DtN operator is definedin terms of one of the unknown modal amplitudes, namely, the free-surface modalamplitude. Its computation avoids the numerical solution of the Laplace equation inthe whole fluid domain, required in direct numerical methods, and the evaluationof higher-order horizontal derivatives, required in Boussinesq or other higher-orderpertubative methods. Instead, a system of horizontal second order partial differentialequations needs to be solved.In the second part of the thesis, our theoretical results are exploited for the numericalsolution of various nonlinear water wave problems. The backbone of our numericalmethod is the computation of the DtN operator through its modal characterizationwhich is achieved by a fourth-order finite-difference method. The accuracy andconvergence of the new characterization of the DtN operator is assessed in test casesof highly non-uniform domains and our theoretical findings concerning the rate ofdecay of the modal amplitudes are numerically verified. This preparatory investigationdemonstrates that a small number of modes suffices for the accurate computation ofthe DtN operator even in extremely deformed domains. Subsequently, a number ofphysically interesting water-wave problems, over flat as well as varying bathymetry,are considered. The first application concerns the computation of steady travellingperiodic waves above a flat bottom for a wide range of nonlinearity and shallownessconditions up to the breaking limit. Next, we turn to the time integration of thenew evolution equations by employing a fourth-order Runge-Kutta for the simulationof wave interactions with variable bathymetry and vertical walls. Computationsare validated against predictions from laboratory experiments and other numericalmethods in connection with several nonlinear phenomena. In particular we studythe interaction of solitary waves with a vertical wall (reflection) and a plane beach(shoaling) and the transformation of regular incident waves past submerged obstacles(harmonic generation) or undulating bathymetry (Bragg scattering). Numericalresults on the interaction of a solitary wave with an undulating bottom patch are alsoprovided. The present method provides stable and accurate long time simulationsof nonlinear waves in various depths, from deep to shallow waters, avoiding thecomputational burden of direct numerical methods as well as the use of filteringtechniques, frequently required in pertubative approaches.

Η κατανόηση της κίνησης των υδάτινων κυμάτων είναι ουσιαστικής σημασίας για πολλές εφαρμογές που σχετίζονται ε τομείς όπως η Ναυτική και Θαλάσσια Υδροδυναμική, η Παράκτια και Περιβαλλοντική Μηχανική, και η n ωκεανογραφία. Ακόμη και υπό τις απλοποιητικές υποθέσεις του ιδανικού ρευστού και της αστρόβιλης ροής, η πλήρης μαθηματική διατύπωση του κυματικού προβλήματος με την ελεύθερη επιφάνεια είναι ιδιαίτερα πολύπλοκη και η θεωρητική και αριθμητική της μελέτη αποτελεί μία σύγχρονη κατεύθυνση έρευνας.Στο πρώτο μέρος της παρούσας διατριβής, εξάγεται ένα νέο σύστημα δύο μη-τοπικών εξελικτικών εξισώσεων Hamilton, οι οποίες περιγράφουν την δυναμική των μη-γραμμικών κυμάτων ελεύθερης επιφάνειας. Αυτό το σύστημα είναι συζευγμένο ε ένα χρονοανεξάρτητο κινηματικό υποπρόβλημα που αναπαριστά την κινηματική του υποκείμενου ρευστού. Η διαδικασία βασίζεται στη χρήση της μεταβολικής αρχής του (Luke 1967) σε συνδυασμό με μία κατάλληλη αναπαράσταση του δυναμικού της ταχύτητας σε μορφή συγκλίνουσας σειράς. Το βασικό χαρακτηριστικό αυτής της μεθοδολογίας, η οποία εισήχθη με τις εργασίες (Athanassoulis & Belibassakis 1999, 2000) είναι η χρήση ενός βελτιωμένου αναπτύγματος κατακόρυφων ιδιοσυναρτήσεων, το οποίο οδηγεί σε μια ακριβή αναπαράσταση του δυναμικού της ταχύτητας συναρτήσει των συντελεστών (πλατών) των ιδιομορφών που συνθέτουν το ανάπτυγμα. Σε αυτή την εργασία, το ανωτέρω ανάπτυγμα μελετάται λεπτομερώς για την περίπτωση των πλήρως μη-γραμμικών υδατίνων κυμάτων. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι, υπό κατάλληλες υποθέσεις λειότητας, τα πλάτη των ιδιομορφών μειώνονται ταχέως, εξασφαλίζοντας έτσι ότι το ανάπτυγμα μπορεί να παραγωγίζεται κατά όρους στο χωρίο του ρευστού, μέχρι και τα ανομοιόορφα φυσικά του σύνορα (ελεύθερη επιφάνεια και πυθμένας). Το γεγονός αυτό, νομιμοποιεί τους χειρισμούς στην μεταβολική διαδικασία που ακολουθείται, και αποδεικνύει ότι το προκύπτον σύστημα (Hamiltonian/Coupled-Mode System (HCMS)), είναι μία ακριβής αναδιατύπωση του πλήρους υδροδυναμικού προβλήματος. Στην ουσία είναι μία εναλλακτική εκδοχή της Zakharov/Craig-Sulem διατύπωσης κατα Hamilton (Zakharov 1968, Craig & Sulem 1993) με μία νέα, ευέλικτη και αποδοτική αναπαράσταση του τελεστή Dirichlet to Neumann (DtN), ο οποίος υπεισέρχεται στην διατύπωση των μη-τοπικών εξελικτικών εξισώσεων. Εν προκειμένω, ο τελεστής DtN εκφράζεται μέσω του πρώτου όρου του αναπτύγματος του δυναμικού ταχύτητας. δεν γίνεται χρήση καμίας ασυμπτωτικής υπόθεσης, δηλαδή, η παρούσα μέθοδος είναι μη-διαταρακτική. Ο υπολογισμός του τελεστή DtN παρακάμπτει την αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Laplace σε όλο το υγρό χωρίο, όπως απαιτείται στις ευθείες αριθμητικές μεθόδους, καθώς και την υλοποίηση υψηλής τάξεως οριζοντίων παραγώγων, όπως απαιτείται σε μεθόδους τύπου Boussinesq ή σε υψηλοτάξιες διαταρακτικές μεθόδους. Στο δεύτερο μέρος της διατριβής, τα θεωρητικά ας αποτελέσματα εφαρμόζονται για την αριθμητική επίλυση μη-γραμμικών προβλημάτων υδάτινων κυμάτων. Το θεμελιώδες στοιχείο της αριθμητικής μεθόδου είναι ο υπολογισμός του τελεστή DtN, μέσω της επίλυσης του υποκειμένου κινηματικού προβλήματος στην μορφή οριζόντιων διαφορικών εξισώσεων. Η ακρίβεια και σύγκλιση αυτού του υπολογισμού αξιολογείται σε δοκιμαστικές περιπτώσεις έντονα ανομοιόμορφων χωρίων και τα θεωρητικά ευρήματα, σχετικά με το ρυθμό μείωσης των πλατών του αναπτύγματος, επιβεβαιώνονται αριθμητικά. Αυτή η προκαταρκτική διερεύνηση καταδεικνύει ότι ένας μικρός αριθμός όρων του αναπτύγματος αρκεί για τον ακριβή υπολογισμό του τελεστή DtN, ακόμη και σε περιπτώσεις έντονα παραμορφωμένων χωρίων. Στην συνέχεια, θεωρούμε διάφορα προβλήματα μη- γραμμικών υδάτινων κυμάτων, πάνω από σταθερή ή μεταβαλλόμενη βαθυμετρία. Η πρώτη εφαρμογή αφορά τον υπολογισμό οδευόντων περιοδικών κυμάτων σε σταθερό βάθος, για ένα ευρύ φάσμα συνθηκών η-γραμμικότητας και ρηχότητας, έως το όριοθραύσεως. Στη συνέχεια, θεωρούμε την αριθμητική ολοκλήρωση των εξελικτικών εξισώσεων, η οποία επιτυγχάνεται με την μέθοδο Runge-Kutta τετάρτης τάξεως, και υλοποιείται για την προσομοίωση των αλληλεπιδράσεων υδάτινων κυμάτων με μεταβαλλόμενο πυθμένα ή με κατακόρυφα σύνορα. Οι υπολογισμοί επαληθεύονται με την χρήση διαθέσιμων αποτελεσμάτων από εργαστηριακά πειράματα ή/και άλλες αριθμητικές μεθόδους. Συγκεκριμένα, μελετάται η αλληλεπίδραση μοναχικών (solitary) κυμάτων με κατακόρυφο τοίχο (ανάκλαση) και με κεκλιμένο επίπεδο (ρήχωση). Επίσης, μελετάται ο μετασχηματισμός μονοχρωματικών κυματισμών που κινούνται πάνω από βυθισμένα εμπόδια (γένεση αρμονικών) ή κυματοειδή βαθυμετρία (ανάκλαση Bragg). Επιπλέον, δίνονται αποτελέσματα για την περίπτωση μοναχικού κύματος σε βαθυμετρία που αποτελείται από ένα κυματοειδές τμήμα σε έναν κατά τα άλλα σταθερό πυθμένα. Η παρούσα μέθοδος επιτυγχάνει ευσταθείς και ακριβείς προσομοιώσεις ισχυρά μη-γραμμικών κυμάτων σε ύδατα ενδιαμέσου και μικρού βάθους, αποφεύγοντας το υπολογιστικό κόστος των ευθέων αριθμητικών μεθόδων καθώς και τη χρήση τεχνικών φιλτραρίσματος, που συχνά απαιτούνται σε διαταρακτικές μεθόδους.