Massively parallel implementation of finite element, meshless and isogeometric analysis methods in computational mechanics

Abstract

The primary purpose of engineering analysis is to provide a numerical simulation of a physicalphenomenon in a way that is accurate but also computationally feasible. The need to accuratelysimulate various physical processes in complex geometries is important, and has perplexed scientistsfor many years. The up-to-date simulation methods can accurately model the physical domain but oftenrequire high computational effort. A simulation needs to be performed within a reasonable time-framewith the given computational resources in order to be affordable in real-world applications. Thus, animportant aspect in terms of feasibility is the efficient implementation of a simulation method thatenables its application in large-scale problems. While the prevailing cost in traditional finite elementanalysis (FEA) is in the solution phase, the main drawback of meshless methods (MMs) andisogeometric analysis (IGA) when addressing real-world problems is the high cost for the formulation ofthe characteristic matrices. Therefore, in order to make them efficient in large-scale simulations, thesemethods require massively parallel algorithms not only for the solution phase but also for the assemblyphase.The aim of this work is to accelerate computationally expensive parts of simulation methods in amanner that is both efficient and scalable. Algorithms in the context of this aim are explored andimplemented in this work. For the solution phase, domain decomposition is an attractive option as itsplits the domain into several subdomains and allows their concurrent solution. As for the formulationphase, assembling the matrix by non-zero allows different parts of the matrix to be calculated inparallel. The calculations involved in a particular algorithm must be performed efficiently. Hence,calculations like matrix operations, which are omnipresent in the simulation, should be handledappropriately. Each matrix format has its own strengths and weaknesses and should be used for thetask it is most suitable for. All of the above are combined with GPUs (graphics processing units), whichhave been attracting a lot of attention in recent years due to their remarkable performance features.GPU implementations are developed, for the solution phase in FEA and the formulation phase of MMsand IGA, which led to a great reduction of the time required for the simulation of a particular model.

Η αριθμητική προσομοίωση κατασκευών και άλλων φορέων πρέπει να γίνεται με ένα τρόπο πουπροσφέρει ικανοποιητική ακρίβεια ενώ είναι υπολογιστικά εφικτός. Σε περιπτώσεις πολύπλοκηςγεωμετρίας, η ακριβής προσομοίωση του φορέα είναι ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα πουαντιμετωπίζουν οι μηχανικοί. Οι σύγχρονες μέθοδοι προσομοίωσης μπορούν να προσφέρουν τηνεπιθυμητή ακρίβεια αλλά πολλές φορές έχουν υψηλό υπολογιστικό κόστος. Για να είναι μιαπροσομοίωση εφαρμόσιμη σε πραγματικά προβλήματα, θα πρέπει να πραγματοποιείται σε λογικάυπολογιστικά χρονικά πλαίσια. Επομένως, ένας σημαντικός παράγοντας για την εφαρμογή τωνπροσομοιώσεων στην πράξη είναι η αποδοτική υλοποίηση τους, η οποία θα επιτρέψει την εφαρμογήτους σε προβλήματα μεγάλης κλίμακας. Στις κλασικές μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων (FEA) τομεγαλύτερο κόστος βρίσκεται στην επίλυση των αλγεβρικών εξισώσεων. Σε μη πλεγματικές μεθόδους(MMs) καθώς και στην ισογεωμετρική ανάλυση (IGA), το κόστος για την κατασκευή τωνχαρακτηριστικών μητρώων (π.χ. μητρώο στιβαρότητας) είναι ιδιαίτερα υψηλό. Επομένως, για ναμπορούν αυτές οι μέθοδοι να αξιοποιηθούν σε προβλήματα μεγάλης κλίμακας, απαιτούνται τεχνικέςμαζικής πολυεπεξεργασίας όχι μόνο για την επίλυση αλλά και για τη φάση κατασκευής τωνχαρακτηριστικών μητρώων, τα οποία απαιτούν αριθμητική ολοκλήρωση.Ο σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η επιτάχυνση των υπολογιστικά απαιτητικών φάσεων τωνμεθόδων αριθμητικής προσομοίωσης με βασικά κριτήρια την αποδοτικότητα και επεκτασιμότητα σεπαράλληλο υπολογιστικό περιβάλλον. Για την επίλυση των εξισώσεων, οι μέθοδοι υποφορέων είναιιδιαίτερα ελκυστικές καθώς χωρίζουν το φορέα σε πολλούς υποφορείς και επιτρέπουν την ταυτόχρονηεπίλυσή τους. Όσον αφορά τη φάση κατασκευής των χαρακτηριστικών μητρών, ο υπολογισμός μεβάση τα μη μηδενικά στοιχεία του μητρώου επιτρέπει την παράλληλη υλοποίησή τους. Οι αριθμητικέςπράξεις που πραγματοποιούνται κατά την εκτέλεση ενός αλγορίθμου πρέπει να γίνονται αποδοτικά.Επομένως, υπολογισμοί όπως πράξεις με μητρώα θέλουν ιδιαίτερη προσοχή. Κάθε τύπος μητρώουείναι κατάλληλος για διαφορετικές λειτουργίες και πρέπει να χρησιμοποιείται κατάλληλα. Όλα ταπαραπάνω συνδυάζονται με τις κάρτες γραφικών (GPUs) οι οποίες έχουμε εξαιρετικές δυνατότητες γιαπαράλληλους υπολογισμούς. Σε αυτή τη διατριβή υλοποιούνται κώδικες για κάρτες γραφικών για τηφάση επίλυσης στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων καθώς και τη φάση κατασκευής τωνχαρακτηριστικών μητρώων στις μη-πλεγματικές και στις ισογεωμετρικές μεθόδους με σκοπό τη