Αναδρομική εκτίμηση κατάστασης μη γραμμικών στοχαστικών δυναμικών συστημάτων: νέα μη γραμμικά φίλτρα Kalman, βελτιωμένα φίλτρα σωματιδίων και εφαρμογή σε συστήματα συνεχούς καταγραφής της γλυκόζης

Abstract

The first part of this thesis deals with the recursive state estimation of discrete time nonlinear stochastic systems. The formulation of the problem and some basic results are presented in the introduction, with emphasis on the Kalman Filter and its nonlinear variants (EKF, UKF, GHKF), while the Particle Filters are also mentioned. Then, some heuristic modifications of nonlinear Kalman Filters are presented: inversion of the output function, estimation of a specific state function, use of an alternative sigma-point set for UKF and use of the mode. In the following, systems that consist of linear dynamical systems interconnected through static nonlinear characteristics are studied. Initially, the case of single-input nonlinearities is considered and it is proved that in this case it is possible to reduce the computation of all the expected values involved to one and two-dimensional integration. This way, more accurate calculations can be made than with the direct integration on the state space, which may be of high dimension. Then the case of multi-input characteristics is treated, and it is shown that again it is possible to reduce the integration order. Furthermore, it is shown that the results of the proposed techniques are invariant to similarity transformations of the state space. A quadrature technique, alternative to the Gauss-Hermite quadrature, specially designed for nonlinear filters using norm minimization concepts is proposed and its convergence is proved. Finally, improvements for the Auxiliary Particle Filter and the Unscented Particle Filter are presented. All the proposed techniques are compared with the standard ones in suitable examples. The results show that in some cases the improvement is drastic. The second part deals with the use of filters in data from a Continuous Glucose Monitoring System (CGMS). The importance of the CGMS in the construction of an Artificial Pancreas is explained and the problems of CGMSs are described. Filters based on the Kalman Filter and on the Particle Filter are designed using simple models of the systems dynamics. The filters are applied to experimental data from ICU patients, and the results show that the use of filters leads to significant reduction of the glucose estimation error.

Το πρώτο μέρος της διατριβής αφορά την αναδρομική εκτίμηση κατάστασης μη γραμμικών στοχαστικών συστημάτων διακριτού χρόνου. Εισαγωγικά παρουσιάζεται ο μαθηματικός φορμαλισμός και τα βασικά αποτελέσματα στην περιοχή με έμφαση στο Φίλτρο Kalman και τις μη γραμμικές παραλλαγές του (EKF, UKF, GHKF), ενώ γίνεται συνοπτική παρουσίαση και των Particle Filters. Ύστερα, παρουσιάζονται κάποιες ευρετικές τροποποιήσεις στα Φίλτρα Kalman για μη γραμμικά συστήματα: αντιστροφή της συνάρτησης εξόδου, εκτίμηση συγκεκριμένης μη γραμμικής συνάρτησης της κατάστασης, εναλλακτικό σύνολο σ-σημείων για το UKF και χρήση της επικρατούσας τιμής. Ακολούθως μελετώνται συστήματα που αποτελούνται από γραμμικά δυναμικά συστήματα τα οποία διασυνδέονται μεταξύ τους με μη γραμμικές στατικές χαρακτηριστικές. Αρχικά εξετάζεται η περίπτωση όπου οι χαρακτηριστικές έχουν μια είσοδο, στην οποία είναι δυνατό όλα τα προβλήματα υπολογισμού αναμενόμενων τιμών να αναχθούν σε προβλήματα ολοκλήρωσης σε μία και δύο διαστάσεις. Με τον τρόπο αυτό είναι εφικτό να γίνουν ακριβέστεροι υπολογισμοί σε σχέση με τον άμεσο υπολογισμό που απαιτεί ολοκλήρωση στο χώρο κατάστασης ο οποίος ενδέχεται να έχει μεγάλη διάσταση. Κατόπιν εξετάζεται η περίπτωση χαρακτηριστικών με πολλές εισόδους όπου και πάλι είναι δυνατή η μείωση της τάξης της ολοκλήρωσης. Επίσης αποδεικνύεται ότι οι προτεινόμενες τεχνικές δίνουν αποτελέσματα αναλλοίωτα σε μετασχηματισμούς ομοιότητας του χώρου κατάστασης. Προτείνεται μέθοδος αριθμητικής ολοκλήρωσης για τον υπολογισμό των αναμενόμενων τιμών, εναλλακτική της Gauss-Hermite ειδικά σχεδιασμένη για μη γραμμικά φίλτρα βάσει ελαχιστοποίησης νορμών και αποδεικνύεται η σύγκλισή της. Τέλος, προτείνονται βελτιώσεις στα Auxiliary Particle Filter και Unscented Particle Filter. Όλες οι προτεινόμενες τεχνικές συγκρίνονται σε κατάλληλα παραδείγματα με τις πρότυπες. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι σε πολλές περιπτώσεις η βελτίωση είναι δραστική. Το δεύτερο μέρος άφορα τη χρήση φίλτρων σε δεδομένα από Σύστημα Συνεχούς Καταγραφής της Γλυκόζης (ΣΣΚΓ). Εξηγείται η σημασία του ΣΣΚΓ στη δημιουργία Τεχνητού Παγκρέατος και περιγράφονται τα προβλήματα που έχουν τα ΣΣΚΓ. Σχεδιάζονται Φίλτρα βασισμένα στο Φίλτρο Kalman και τα Particle Filters κάνοντας χρήση απλών μοντέλων για τη δυναμική του συστήματος. Τα φίλτρα εφαρμόζονται σε πειραματικά δεδομένα από ασθενείς σε MEO και τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η χρήση των φίλτρων οδηγεί σε σημαντική μείωση του σφάλματος εκτίμησης της γλυκόζης.