Αναλυτική μελέτη επίπεδων και σφηνοειδών διατάξεων διπλο-αρνητικών υλικών

Abstract

The scope of the doctoral thesis is the analytical investigation of planar and wedge-shaped double-negative metamaterial structures. Regarding the planar slab, an integrated method for the investigation of its focusing characteristics is introduced. More specifically, the transfer coefficient from the source to the focus plane is used for the determination of the system's resolution. Furthermore, two new correlation criteria, based on the concepts of correlation coefficient and mean-square error, are proposed for the extraction of the optimum focus plane position. The efficiency of the method is, extensively, tested by means of a theoretical and a numerical analysis. Successively, the field dynamic behavior of the planar geometry is examined in the presence of an amplitude modulated source. To this end, the time-dependent electric field intensity is computed through integration, initially, with respect to frequency and then with respect to wavevector. Thus, analytical expressions are obtained, avoiding any numerical integration used in the literature for the same problem. Closed-form expressions for the first integral are derived through a rigorous mathematical analysis in the frequency plane and are, elaborately, tested for their accuracy. Then, the second integral is computed via a stationary phase approximation. A complete physical interpretation of the, so developed, field expressions is provided and an interpretation of the evanescent waves amplification phenomenon is described. On the other hand, the double-negative wedge is solved, for the first time, via the Kontorovich-Lebedev transform. Among the advantages of this approach is the establishment of a direct analogy between wedge-shaped and planar structures. In particular, the field in the wedge-shaped geometry is expressed as superposition of modes corresponding to the poles of the Kontorovich-Lebedev transform, just as the field in the planar geometry is expressed via a set of modes which arise from the spatial Fourier transform singularities. Unlike double-positive wedges, in the double-negative case there exist complex poles, which correspond to modes of the same nature as the surface waves in planar slabs. Moreover, the complete spectrum is constituted of modes, involving Hankel functions of both kinds. Notice that the case of a double-negative material with refractive index equal, in an absolute value sense, to the refractive index of the surrounding space, which is, actually, examined in the present thesis, is representative of the general case, since it examines phenomena, such as negative refraction and the excitation of surface waves, which arise in the general case.

Σκοπός της διδακτορικής διατριβής είναι η αναλυτική μελέτη επίπεδων και σφηνοειδών διατάξεων διπλο-αρνητικών μεταϋλικών. Αναφορικά με την επίπεδη πλάκα, εισάγεται μία ολοκληρωμένη μέθοδος για τη διερεύνηση των εστιακών της χαρακτηριστικών. Συγκεκριμένα, ο συντελεστής μετάδοσης από το επίπεδο της πηγής στο εστιακό επίπεδο χρησιμοποιείται για τον καθορισμό της αναλυτικότητας. Επιπλέον, δύο νέα κριτήρια, με βάση τις έννοιες του συντελεστή συσχέτισης και του μέσου τετραγωνικού σφάλματος, προτείνονται για την εύρεση του εστιακού επιπέδου. Η αποδοτικότητα της μεθόδου ελέγχεται αναλυτικά και αριθμητικά. Ακολούθως, η δυναμική συμπεριφορά του πεδίου εξετάζεται παρουσία μιας κατά πλάτος διαμορφωμένης πηγής. Προς το σκοπό αυτό, η ηλεκτρική πεδιακή ένταση υπολογίζεται μέσω ολοκλήρωσης, αρχικά, ως προς τη συχνότητα και κατόπιν ως προς τη φασική σταθερά. Έτσι, εξάγονται αναλυτικές εκφράσεις και αποφεύγονται οι αριθμητικές ολοκληρώσεις των υπαρχουσών μεθόδων. Το ολοκλήρωμα ως προς τη συχνότητα βρίσκεται σε κλειστή μορφή μέσω αυστηρής ανάλυσης στο επίπεδο συχνοτήτων, ενώ αυτό ως προς τη φασική σταθερά με χρήση της τεχνικής στάσιμης φάσης. Τα αποτελέσματα ελέγχονται διεξοδικά για την ορθότητά τους και παρέχεται η πλήρης φυσική τους ερμηνεία. Από την άλλη πλευρά, η σφηνοειδής δομή διπλο-αρνητικού υλικού επιλύεται για πρώτη φορά, μέσω του μετασχηματισμού Kontorovich-Lebedev. Ανάμεσα στα πλεονεκτήματα της τεχνικής είναι η εύρεση πλήρους αναλογίας με την περίπτωση της επίπεδης γεωμετρίας. Ειδικότερα, το πεδίο στην σφηνοειδή δομή εκφράζεται ως υπέρθεση ρυθμών που αντιστοιχούν στους πόλους του μετασχηματισμού Kontorovich-Lebedev, όπως το πεδίο στην επίπεδη πλάκα καθορίζεται από ρυθμούς που προκύπτουν από τα σημεία ανωμαλίας του μετασχηματισμού Fourier. Αντίθετα με την περίπτωση συμβατικών υλικών, στα διπλο-αρνητικά υλικά εμφανίζονται μιγαδικοί πόλοι, που αντιστοιχούν σε ρυθμούς ίδιας φύσης με τα επιφανειακά κύματα των επίπεδων διατάξεων. Επιπλέον, το πλήρες φάσμα περιέχει ρυθμούς που εμπλέκουν και τα δύο είδη της συνάρτησης Hankel. Σημειώνεται ότι η περίπτωση σταθερού δείκτη διάθλασης, που εξετάζεται στη παρούσα διατριβή, είναι αντιπροσωπευτική της γενικής περίπτωσης, καθώς περιλαμβάνει φαινόμενα, όπως η αρνητική διάθλαση και η διέγερση επιφανειακών ρυθμών, που απαντώνται στη γενική περίπτωση.