Υπολογιστική ανάλυση με εφαρμογές στην πολυδιακριτή ανάλυση της πληροφορίας

Abstract

[…] Σκοπός της παρούσης διατριβής είναι η εύρεση νέων διακριτών γραµµικών και µη γραµµικών µετασχηµατισµών και η ανάπτυξη νέων αλγορίθµων ικανών καταρχήν στην εξαγωγή της τοπικής πληροφορίας και επιπλέον, στην εύρεση µη γραµµικών δοµών, στην εύρεση της κρυµµένης γραµµατικής και της περιοδικότητας της πληροφορίας. Αφετηρία της παρούσας διατριβής αποτέλεσε η εµπειρία από τη συµµετοχή στα ερευνητικά προγράµµατα EU Project IST-2000-26016 IMCOMP, “Immunocomputing” και Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ, Έργο Πυθαγόρας ΙΙ – ΕΕΟΠ, υποέργο 24, “Μαθηµατικά Βιο-πληροφορικών εφαρµογών”, όπου η ερευνητική οµάδα του Α.Π.Θ. εντόπισε τα πιο πάνω προβλήµατα των διακριτών µετασχηµατισµών και διέβλεψε ότι βασικές βιολογικές λειτουργίες των γονιδίων όπως είναι η αναπαραγωγή σε πολλαπλά αντίγραφα και η συρραφή τµηµάτων αυτών θα µπορούσαν να εµπνεύσουν την κατασκευή νέων γραµµικών και µη γραµµικών διακριτών µετασχηµατισµών. Έτσι, εκτός της παρούσας διατριβής έγινε προσπάθεια εύρεσης νέων κλάσεων διακριτών µετασχηµατισµών (βλ. τις εργασίες [3]-[5], [20]). Η παρούσα διατριβή ως συνέχεια των ανωτέρω εστιάζεται στα ακόλουθα: Στην κατασκευή µίας ευρείας κλάσης τετραγωνικών αντιστρέψιµων αραιών πινάκων (sparse matrices, δηλ. πίνακες µε ολίγα µη µηδενικά στοιχεία). Οι πίνακες αυτοί προκύπτουν απο έναν αρχικό πίνακα, όπου µε επεξεργασία αναπαραγωγής/συρραφής σε πολλαπλά αντίγραφα οι παραγώµενοι νέοι πίνακες διατηρούν µερικές βασικές ιδιότητες του αρχικού. Με τον τρόπο αυτό δηµιουργείται µία κλιµακωτή ανάλυση (πολυδιακριτή ανάλυση) που εξασφαλίζει τον έλεγχο της τοπικής πληροφορίας. Έτσι, για παράδειγµα ένας πίνακας διάστασης 3 x 3 µπορεί να αναπτυχθεί σε πίνακες διάστασης 3ⁿ x 3ⁿ, n = 2, 3,.. και εποµένως µία ακολουθία δεδοµένων µήκους 3ⁿ, µπορεί να κωδικοποιηθεί/συµπιεσθεί σε µία ακολουθία µε 3ᵏ το πλήθος δεδοµένα, όπου k<n, και εξ’ αιτίας του ότι οι πίνακες αυτοί είναι αραιοί, επιτυγχάνεται µία ταχεία κωδικοποίηση/ συµπίεση της τοπικής πληροφορίας. Στην κατασκευή µη γραµµικών αντιστρέψιµων µετασχηµατισµών που έχουν εργοδική δοµή. Στην εργασία [3] έχει αποδειχθεί ότι οι µη γραµµικοί µετασχηµατισµοί (Γινόµενα Riesz, βλ. την εισαγωγή του 3ου Κεφαλαίου) του ορθογωνίου συστήµατος Haar είναι αντιστρέψιµοι, επιπλέον έχουν εργοδική δοµή και µπορούν να αναγνωρίσουν απλές γραµµατικές συµβολοσειρών, όπως παραδείγµατος χάριν συµβολοσειρές που αντιστοιχούν στο γνωστό σύνολο Cantor. Ένα σηµαντικό µέρος αυτής της διατριβής εστιάζεται στην µελέτη αντιστρέψιµων Γινοµένων Riesz που ορίζονται από τους αραιούς πίνακες που αναφέραµε. Ο τρίτος στόχος αυτής της διατριβής είναι να βρούµε εφαρµογές αυτών των µετασχηµατισµών. Έτσι, παραθέτουµε δύο εφαρµογές, µία για τη δηµιουργία ενός µοντέλου πρόβλεψης σε κλάσεις σχεδόν περιοδικών ακολουθιών και µία άλλη για την ανάπτυξη µίας µεθόδου κρυπτογράφησης. […]