Σταθμισμένα ασαφή λογικά προγράμματα: αναπαράσταση, συλλογιστική και προσαρμογή

Abstract

Logic programming is becoming anew relevant, inter alia due to the need to perform efficiently automatic reasoning tasks within the currently under development semantic web. This need is however not fully covered by the expressivity of first order logic, as in several cases there is the need to reason with imperfect knowledge. Fuzzy logic programming and fuzzy logic rules offer themselves as a way out of this problem, by offering increased power in managing such kind of information. This power should not be considered however to be limited only within the ability to represent this different kind of information; it can be extended to include also the expressivity and flexibility of the structure of a fuzzy logic rule itself. As a result, going one step further than the simple static transcription of classical logic rules as fuzzy logic rules and recognizing that the several antecedents of a fuzzy logic rule may not always be of the same significance for inferencing its consequence, we propose the introduction and association of a distinct significance weight with each atom that makes up a fuzzy logic rule. Following an intuitively useful interpretation of the significance weights, we introduce new, generalized weighted conjunction operators for the evaluation of the weighted fuzzy logic rules. Based on the richer in expressivity and structurally more flexible weighted rules, we define the language of weighted fuzzy logic programs, we study their model-theoretic and fixed-point semantics, and while studying their operational semantics we develop a sound, complete and terminating reasoning algorithm, capable of answering to simple queries. Weighted fuzzy logic programs are studied first in the absence of negation, and subsequently they are generalized with the introduction of a monotonic sort of negation, which preserves their essential computational properties. Beyond the transparent way of increasing the expressivity of a fuzzy logic rule, the introduction of the weights has an additional significant consequence. The structural flexibility of a weighted fuzzy logic rule allows it to be used as the basis for the empirical modeling of the logic relations that describe a knowledge domain on the ground of actual, in many cases also dynamic, data. In other words, the weights of a rule can be estimated through a machine learning process aiming at the adaptation of the rule to a given set of training data. Connectionist models are a suitable methodology for the implementation of such a learning process, and weighted fuzzy logic programs, due to the existence of the weights in their rules, can in an intuitively simple way be represented as connectionist or computational models of a special form. The connectionist representation of weighted fuzzy logic programs that we propose taking advantage of this particularity, has the useful property that its structure reflects the exact structure of the weighted fuzzy rules from which it is constructed; as a result, the problem of extracting rules out of a trained connectionist model obtains a simple form. Given that the connectionist model that we propose deviates from the standard neural network model, the existing learning algorithms cannot be applied directly. For this reason, we then define and study the general problem of adapting the weights of a weighted fuzzy logic program to a given set of data as a general optimization problem and based on this, we develop a learning algorithm for the weights of the connectionist model. Due to the non differentiability of the functions involved in the evaluation of the semantics of the weighted fuzzy logic programs, the learning algorithm is based on the projection subgradient method, and it is a forward learning algorithm. Because of its symbolic origin, the learning algorithm is in general sensitive to noise, and the experimental results demonstrate its efficiency when used with appropriate datasets. We consider that the introduction of weighted fuzzy logic programs, of their connectionist representation and its provision with the learning algorithm, constitutes a step in the direction of bringing closer together symbolic and connectionist knowledge representation systems.

Ο λογικός προγραμματισμός καθίσταται εκ νέου επίκαιρος, μεταξύ άλλων λόγω της ανάγκης εκτέλεσης εργασιών αυτόματης συλλογιστικής με αποδοτικό τρόπο στα πλαίσια του υπό ανάπτυξη σημασιολογικού ιστού. Η ανάγκη αυτή δεν καλύπτεται όμως πλήρως από την εκφραστικότητα της λογικής πρώτης τάξης, καθώς σε ορισμένες περιπτώσεις υπάρχει η ανάγκη πραγματοποίησης συλλογιστικής με ατελή πληροφορία. Ο ασαφής λογικός προγραμματισμός και οι ασαφείς λογικοί κανόνες παρουσιάζονται ως μια διέξοδος, προσφέροντας επαυξημένες δυνατότητες διαχείρισης τέτοιου είδους πληροφορίας. Οι δυνατότητες αυτές δεν πρέπει να θεωρηθεί ωστόσο ότι εξαντλούνται μόνο στην δυνατότητα αναπαράστασης αυτού του διαφορετικού είδους πληροφορίας• μπορούν να επεκταθούν και στην εκφραστικότητα και την ευελιξία της δομής του ίδιου του ασαφούς λογικού κανόνα. Έτσι, υπερβαίνοντας την απλή στατική μεταγραφή των κλασσικών λογικών κανόνων ως κανόνων ασαφούς λογικής, και αναγνωρίζοντας ότι οι συνθήκες ενός ασαφούς λογικού κανόνα μπορεί να μην είναι πάντα όλες το ίδιο σημαντικές για τον συμπερασμό του αποτελέσματος του, προτείνουμε την εισαγωγή και αντιστοίχιση ενός ιδιαίτερου βάρους σημαντικότητας σε κάθε άτομο που μετέχει σε έναν ασαφή λογικό κανόνα, και στηριζόμενοι σε μια διαισθητικά χρήσιμη ερμηνεία των βαρών σημαντικότητας, εισάγουμε νέους, γενικευμένους σταθμισμένους τελεστές σύζευξης για την αποτίμηση των σταθμισμένων ασαφών λογικών κανόνων. Με βάση τους πλουσιότερους εκφραστικά και πιο ευέλικτους δομικά σταθμισμένους αυτούς κανόνες, ορίζουμε την γλώσσα των σταθμισμένων ασαφών λογικών προγραμμάτων, μελετούμε την μοντελοθεωρητική και την σταθερού σημείου σημασιολογία τους, ενώ στα πλαίσια μελέτης της διαδικαστικής σημασιολογίας τους αναπτύσσουμε έναν ορθό, πλήρη και τερματίζοντα αλγόριθμο συλλογιστικής, ικανό να απαντά σε απλής μορφής ερωτήματα. Τα σταθμισμένα ασαφή λογικά προγράμματα μελετώνται κατ’ αρχήν απουσία άρνησης, και στην συνέχεια γενικεύονται με την εισαγωγή ενός μονότονου τρόπου άρνησης, ο οποίος διατηρεί αναλλοίωτες τις βασικές υπολογιστικές τους ιδιότητες. Πέραν του διαφανούς τρόπου επαύξησης της εκφραστικότητας που προσφέρει, η εισαγωγή των βαρών σημαντικότητας στους ασαφείς λογικούς κανόνες έχει ένα επιπλέον σημαντικό επακόλουθο. Η δομική ευελιξία ενός σταθμισμένου ασαφούς λογικού κανόνα του επιτρέπει να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως βάση για την εμπειρική μοντελοποίηση των λογικών σχέσεων που περιγράφουν ένα πεδίο γνώσης με βάση πραγματικά, πολλές φορές δυναμικού χαρακτήρα, δεδομένα. Τα βάρη του κανόνα είναι δυνατόν να εκτιμηθούν δηλαδή, μέσω μιας διαδικασίας μηχανικής μάθησης που να στοχεύει στην προσαρμογή του κανόνα σε κάποιο διαθέσιμο σύνολο δεδομένων εκπαίδευσης. Τα συνδεσμικά μοντέλα είναι μια κατάλληλη μεθοδολογία για την υλοποίηση μιας τέτοιας διαδικασίας μάθησης, και τα σταθμισμένα ασαφή λογικά προγράμματα, λόγω της παρουσίας των βαρών στους κανόνες τους, μπορούν με διαισθητικά απλό τρόπο να αναπαρασταθούν ως συνδεσμικά ή υπολογιστικά μοντέλα ειδικής μορφής. Η συνδεσμική αναπαράσταση των σταθμισμένων ασαφών λογικών προγραμμάτων που προτείνουμε εκμεταλλευόμενοι αυτήν τους την ιδιαιτερότητα, έχει την χρήσιμη ιδιότητα ότι η δομή της αντανακλά επακριβώς την δομή των αντίστοιχων σταθμισμένων ασαφών λογικών κανόνων από τους οποίους κατασκευάστηκε, με αποτέλεσμα να απλοποιείται ουσιαστικά το πρόβλημα της εξαγωγής από το συνδεσμικό μοντέλο της γνώσης στην οποία κατέληξε η διαδικασία εκπαίδευσής του. Δεδομένου ότι το συνδεσμικό μοντέλο που προτείνουμε παρεκκλίνει από το πρότυπο των συνήθων νευρωνικών δικτύων, οι υπάρχοντες αλγόριθμοι μάθησης δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν άμεσα. Έτσι, στην συνέχεια ορίζουμε και μελετάμε το γενικό πρόβλημα της προσαρμογής των βαρών ενός σταθμισμένου ασαφούς λογικού προγράμματος σε ένα σύνολο δεδομένων ως ένα γενικό πρόβλημα βελτιστοποίησης, και με βάση αυτό αναπτύσσουμε τελικά έναν αλγόριθμο μάθησης των βαρών του συνδεσμικού μοντέλου. Λόγω της εν γένει μη διαφορισιμότητας των συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται για την αποτίμηση της σημασιολογίας των σταθμισμένων ασαφών λογικών προγραμμάτων, ο αλγόριθμος μάθησης στηρίζεται στην μέθοδο της υπόκλισης μετά προβολής και είναι ένας αλγόριθμος προς τα εμπρός μάθησης. Λόγω των συμβολικών καταβολών του, ο αλγόριθμος μάθησης χαρακτηρίζεται γενικά από μικρή ανοχή στον θόρυβο, και τα πειραματικά αποτελέσματα αποδεικνύουν την καλή του λειτουργία όταν χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με κατάλληλα δεδομένα. Η εισαγωγή των σταθμισμένων ασαφών λογικών προγραμμάτων, της συνδεσμικής τους αναπαράστασης και ο εφοδιασμός της με τον αλγόριθμο μάθησης θεωρούμε ότι αποτελεί ένα βήμα προς την κατεύθυνση της προσέγγισης των συμβολικών με τα συνδεσμικά συστήματα αναπαράστασης γνώσης.