Γενικευμένες κατανομές τάξεως k και εφαρμογές στην ιατρική

Abstract

The study of runs in a sequence of independent Bernoulli trials which is of great interest in Statistics and its applications, has led in recent years to the theory of distributions of order k. In the present work, proceeding the study of distributions of order k, we introduced and studied new univariate and multivariate distributions of order k, which generalize to distributions of order k, the known family of generalized distributions and at the same time extend several already known distributions of order k to generalized distributions, with the isertion of additional parameters. From the study of trials with two possible outcomes (success-failure), where the number of success runs of length k is required to be at least multiple of the total number of failures, by means of a first passage approach and by counting multi-dimensional lattice paths, we introduced and studied the generalized negative binomial distribution of order k, type I. This distribution includes five new distributions of the same order and type (Haight, Takacs, binomial-delta, negative binomial-delta, negative binomial-negative binomial) and asymptotically reduces to new Borel-Tanner, generalized Poisson and generalized logarithmic series distributions of the same order and type. By the same sampling scheme using additional replacement, we also derived and studied the generalized Polya distribution of order k, type I, which includes as special cases forteen univariate distributions of the same order. Relevant, multiparameter and of different type, distributions of order k, as well as their multivariate analogues, have also obtained and studied. Moments, limiting cases, properties of all the above distributions have also been considered and graphs are given. More over, we applied the above-mentioned models to observed data from Medicine, Biology-Genetics and Public Health, in order to illustrate that they fit properly. More applications concerning new generalized criteria for psychological and biological studies, inspections plans, start up demonstration tests and busy periods in stochastic service systems in queueing theory have also been considered.

Η μελέτη ροών όμοιων αποτελεσμάτων σε μία ακολουθία πειραμάτων, η οποία παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον στο χώρο της Στατιστικής και των εφαρμογών της, οδήγησε τα τελευταία χρόνια στην ανάπτυξη της θεωρίας των κατανομών τάξεως k. Στην παρούσα εργασία, συνεχίζοντας τη μελέτη των κατανομών τάξεως k, εισάγαμε και μελετήσαμε νέες μονοδιάστατες και πολυδιάστατες κατανομές, οι οποίες γενικεύουν στη θεωρία των κατανομών τάξεως k τη γνωστή οικογένεια των γενικευμένων κατανομών και ταυτόχρονα επεκτείνουν με την εισαγωγή πρόσθετων παραμέτρων, πολλές από τις ήδη γνωστές κατανομές τάξεως k, στη θεωρία των γενικευμένων κατανομών. Από τη μελέτη πειραμάτων, με δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία-αποτυχία) μέχρι την εμφάνιση ροών επιτυχιών μήκους k, τουλάχιστον πολλαπλάσιων του συνολικού αριθμού των αποτυχιών, για πρώτη φορά, μέσω συνδυαστικών τεχνικών και με την απαρίθμηση πολυδιάστατων μονοπατιών επί πλέγματος, εισάγαμε και μελετήσαμε τη γενικευμένη αρνητική διωνυμική κατανομή τάξεως k, τύπου Ι. Η κατανομή αυτή περιλαμβάνει πέντε νέες κατανομές τάξεως k, ίδιου τύπου (Haight, Takacs, binomial-delta, negative binomial-delta, negative binomial-negative binomial) και οδηγεί οριακά στη γένεση νέας Borel-Tanner, γενικευμένης Poisson και γενικευμένης λογαριθμικής κατανομής, ίδιας τάξεως και τύπου. Από το ίδιο δειγματοληπτικό σχήμα χρησιμοποιώντας πρόσθετη επανατοποθέτηση, εισάγαμε και μελετήσαμε τη γενικευμένη κατανομή Polya τάξεως k, τύπου I, η οποία περιλαμβάνει ως ειδικές περιπτώσεις, δεκατέσσερις μονοδιάστατες κατανομές τάξεως k. Αντίστοιχες, πολυπαραμετρικές και άλλου τύπου κατανομές τάξεως k, καθώς και τα πολυδιάστατα ανάλογά τους, επίσης μελετήθηκαν. Περιγραφικά μέτρα, οριακές σχέσεις και ιδιότητες όλων των ανωτέρω κατανομών υπολογίστηκαν, ενώ γραφικές παραστάσεις τους σχεδιάστηκαν. Ακόμη, δείξαμε ότι τα παραπάνω μοντέλα προσαρμόζονται καλά σε δεδομένα από τους χώρους της Ιατρικής, της Βιολογίας-Γενετικής και της Δημόσιας Υγείας. Τα μοντέλα αυτά επίσης χρησιμοποιήθηκαν, για τη δημιουργία νέων γενικευμένων κριτηρίων που αφορούν καταστάσεις από τους κλάδους της Ψυχολογίας, της Βιολογίας, του ελέγχου ποιότητας αντικειμένων και του ελέγχου εκκίνησης μηχανημάτων καθώς και για τη μελέτη καταστάσεων συνωστισμού σε συστήματα εξυπηρέτησης της θεωρίας ουρών.