Αναλυτικές, αριθμητικές και υβριδικές μέθοδοι επιλύσεως εξισώσεων κινητικής πολυμερισμού θερμοσκληρυνόμενων ρητινών και επίλυση προβλημάτων μεταφοράς θερμότητας-αντιδράσεως πολυμερισμού σε σύνθετες πολυστρωματικές δομές με εφαρμογές στη μέθοδο επισκευής με επιθέματα από σύνθετα υλικά πολυμερούς μήτρας

Abstract

The present PhD thesis is aimed to contribute to the construction and analysis of some special numerical procedures for modeling the rather complicated process of the cure of thermosetting polymers. Rather than handling this subject from a strictly engineering point of view, the main effort is to present a rigorous mathematical analysis of the equations describing the related phenomena and the numerical methods applied for their solution. Due to their extended use in several advanced applications, mainly by the aircraft industries, thermosets, have been a subject of interest and scientific study for more than 40 years. One of the most important applications of thermosetting polymers is the formation of matrixes for high performance composite materials, reinforced with fibers. The properties of such ‘exotic’ materials have been thoroughly examined and their mechanical behavior has been carefully studied. An extended literature may be found about the physics and chemistry of thermosetting polymers, as well as for methods of production. In the case of thermosetting matrix composite materials, production techniques such as Resin Transfer Molding (R.T.M) have led to high quality products on reduced cost. The mathematical modeling of such processes although complicated and computationally demanding has reached mature stages and is already employed by the industry. Other approaches to manufacturing, such as autoclave curing, are adequately treated as well. The main motivation for this PhD thesis is an application of thermoset matrix - fiber reinforced composite materials, known as the Composite Patch Repair technique (C.P.R). C.P.R is a damage restoration technique initially developed by the military aircraft industry of Australia. This technique involves placing a multilayer patch consisting of resin matrix - fiber reinforced plies, over a cracked or corroded aircraft skin and bonding it by means of heating. The bonding is achieved with the use of a thin adhesive film which is of a thermosetting polymer also. While heated, the composite patch cures and toughens, offering a declination path for the loading of the structure so as to relieve the critical damaged area. However, besides this particular implementation, the methods developed in this thesis are of more general nature and may be used to other applications involving the presence of thermosetting polymers. The main results and contributions of this thesis are summarized in the following paragraphs. We present a new method for modelling heat transfer in a composite panel composed of anisotropic plies. This method is based on the combination of a continuous formulation for in plane phenomena and a discrete approach for ply to ply diffusion. Existence and uniqueness results are derived for the variational formulation of the general initial and boundary value problem of heat transfer - cure reaction in a thin multilayered plate. Further, some a priori stability results are presented. With respect to the cure reaction of thermosetting resins, we present analytical, numerical and hybrid numerical - analytic methods for time integration. More specifically, we discuss the heterocatalytic, the autocatalytic and the Kamal model. For the autocatalytic model we present the conditions under which analytical solutions, in the case of isothermal curing, are possible. Additionally, a hybrid scheme for the time integration of the autocatalytic model is presented and its consistency and stability characteristics are examined. Finally we present some error estimation results for this scheme. For the solution of the variational formulation of the coupled heat transfer - cure reaction equations, we use the method of successive approximations. The cure reaction equation and the heat transfer equations are solved successively, with the solution of each one used in order to form the loading term for the other. For the solution of the heat transfer equations the method of vertical lines is employed. For the discretization in the spatial domain the Galerkin finite element method is used. The time integration of the resulting system of ordinary differential equations is performed with the use of Implicit Runge-Kutta schemes. All the previously mentioned models and methods are applied for the solutions of problems related to the Composite Patch Repair Technique. Finally we present some simplified model for the determination of thermal stresses occurring during the process of Composite Patch Repair.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή πραγματεύεται την κατασκευή και ανάλυση αριθμητικών σχημάτων και γενικότερα τη χρήση μαθηματικών μεθόδων για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων μεταφοράς θερμότητας - αντίδρασης πολυμερισμού σε θερμοσκληρυνόμενα πολυμερή. Ειδικότερα, εξετάζεται η περίπτωση εποξειδικών ρητινών και σύνθετων υλικών πολυμερούς μήτρας από εποξειδική ρητίνη. Ο πολυμερισμός των εποξειδικών ρητινών είναι μια ισχυρά εξώθερμη αντίδραση. Το ποσό της εκλυόμενης θερμότητας είναι μια μη γραμμική συνάρτηση της θερμοκρασίας και του ίδιου του βαθμού πολυμερισμού. Το γεγονός αυτό σε συνδυασμό με την πιθανή εξάρτηση των ιδιοτήτων του υλικού από τη θερμοκρασία και τον βαθμό πολυμερισμού καθιστούν το σύστημα των μερικών διαφορικών εξισώσεων οι οποίες περιγράφουν τα φαινόμενα ισχυρά μη γραμμικές. Ειδικά μοντέλα μεταφοράς θερμότητας αναπτύσσονται για λεπτές πολυστρωματικές δομές και εφαρμόζονται στην μοντελοποίηση και ανάλυση μιας συγκεκριμένης βιομηχανικής διαδικασίας, η οποία αφορά σε τεχνικές επισκευής ρηγματωμένων ή διαβρωμένων λεπτών πλακών με χρήση επιθεμάτων από σύνθετα υλικά (Composite Patch Repair ή CPR). Για την εφαρμογή της τεχνικής CPR, ένα επίθεμα, το οποίο αποτελείται από φύλλα σύνθετου υλικού (Συνήθως πρόκειται για ίνες γραφίτη ή βορίου προεμποτισμένες σε εποξειδική ρητίνη), τοποθετείται πάνω από τη ρηγματωμένη ή διαβρωμένη επιφάνεια της προς επισκευή δομής. Ανάμεσα στο επίθεμα και την επιφάνεια παρεμβάλλεται λεπτό φύλλο ισχυρής βιομηχανικής κόλλας, η οποία είναι στις περισσότερες περιπτώσεις κάποια εποξειδική ρητίνη επίσης. Η περιοχή της επισκευής θερμαίνεται με τη χρήση ειδικών θερμικών κουβερτών. Με την αύξηση της θερμοκρασίας τόσο η κόλλα όσο και το επίθεμα πολυμερίζονται και σκληραίνουν. Η όλη διαδικασία γίνεται υπό πίεση έτσι ώστε να εξασφαλιστεί η σωστή κόλληση. Σκοπός μας δεν είναι η απλή χρήση μεθόδων ανάλυσης για την επίλυση ενός και μόνο συγκεκριμένου προβλήματος. Αντίθετα μεγαλύτερο βάρος δίνεται στην αυστηρή μαθηματική προσέγγιση των προβλημάτων και μεθοδολογιών, οι οποίες πρόκειται να χρησιμοποιηθούν. Η αντιμετώπιση αυτή πιστεύουμε ότι μπορεί να ωφελήσει τα μέγιστα στην βαθύτερη κατανόηση α) των φυσικών φαινόμενων τα οποία θα μοντελοποιηθούν μέσω μερικών διαφορικών εξισώσεων, β) στις συγκεκριμένες ιδιότητες τις οποίες πρέπει να έχουν οι λύσεις των προβλημάτων αρχικών και συνοριακών τιμών τα οποία περιλαμβάνουν τις εξισώσεις αυτές και γ) στην αποτελεσματικότητα αλλά και τους τυχόν περιορισμούς των μαθηματικών μεθόδων επίλυσης των προβλημάτων αυτών. Οι καινοτομίες της παρούσας διατριβής συνοψίζονται στις επόμενες παραγράφους. Αρχικά αναπτύσσεται και αναλύεται μια νέα μέθοδος κατασκευής εξισώσεων οι οποίες προσομοιώνουν φαινόμενα διάχυσης θερμότητας σε λεπτές σύνθετες πλάκες πολλών στρώσεων. Η μέθοδος αυτή στηρίζεται σε συνεχή αναπαράσταση του πεδίου στο μέσο επίπεδο κάθε στρώσης, σε συνδυασμό με διακριτή θεώρηση μετάδοσης θερμότητας από στρώση σε στρώση. Γίνεται η μεταβολική διατύπωση του προβλήματος αρχικών και συνοριακών τιμών μεταφοράς θερμότητας - αντίδρασης πολυμερισμού σε σύνθετες πολυστρωματικές δομές. Αποδεικνύεται η ύπαρξη και μοναδικότητα λύσης της μεταβολικής διατύπωσης σε ένα πολύ γενικό πλαίσιο και διατυπώνονται κάποιες a priori εκτιμήσεις ευστάθειας της λύσης ως προς συγκεκριμένες νόρμες. Παρουσιάζονται αναλυτικές, αριθμητικές και υβριδικές μέθοδοι χρονικής ολοκλήρωσης κάποιων εξισώσεων - μοντέλων κινητικής πολυμερισμού. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται σε δυνατότητες αναλυτικής ολοκλήρωσης για περιπτώσεις ισοθερμοκρασιακού πολυμερισμού καθώς και σε μια υβριδική, αριθμητική - αναλυτική μέθοδο, η οποία προτείνεται για την ολοκλήρωση της εξίσωσης αυτοκαταλυούμενης αντίδρασης πολυμερισμού. Για τη γενική μορφή της υβριδικής μεθόδου αποδεικνύονται, υπό ορισμένες προϋποθέσεις, συνέπεια, Β - Ευστάθεια και γίνεται εκτίμηση του σφάλματος σύγκλισης. Παρουσιάζεται η μέθοδος Galerkin με πεπερασμένα στοιχεία για την αριθμητική επίλυση των μεταβολικών διατυπώσεων που προαναφέραμε και γίνεται εκτίμηση του σφάλματος της μεθόδου. Εξατάζονται εφαρμογές όλων των προαναφερθέντων μοντέλων και τεχνικών επίλυσης σε προβλήματα, τα οποία αφορούν στη τεχνική επισκευής δομών αεροναυπηγικής με την μέθοδο επικολλούμενων συνδέσμων από σύνθετα υλικά. Θεωρούμε δύο γεωμετρίες επισκευής. Για τις δύο αυτές περιπτώσεις γίνεται αρχικά μελέτη μόνιμης κατάστασης κατά την φάση ισοθεμοκρασιακού πολυμερισμού. Η φάση αυτή αναφέρεται ως στάδιο Plateau του κύκλου πολυμερισμού. Σε περιπτώσεις κατά τις οποίες η θερμότητα η οποία παράγεται λόγω πολυμερισμού είναι πολύ μικρότερη από αυτή που παρέχεται εξωτερικά στο σύστημα μέσω θερμικών κουβερτών, είναι δυνατό, σε πρώτη προσέγγιση οι εξισώσεις θερμότητας και κινητικής πολυμερισμού να αποζευχθούν. Για την περίπτωση αυτή παρουσιάζονται αναλυτικές λύσεις μόνιμης κατάστασης. Επιπλέον, γίνεται προσομοίωση του όλου κύκλου πολυμερισμού με χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για μια συγκεκριμένη επισκευή. Τέλος γίνεται παρουσίαση κάποιων απλουστευμένων μοντέλων θερμικών τάσεων και δίνεται η γενική αναλυτική λύση των εξισώσεων αυτών για τον υπολογισμό θερμικών τάσεων κατά την διαδικασία εφαρμογής της τεχνικής CPR.