Virtual nonholonomic constraints: a geometric approach

Abstract

This thesis focuses on the concepts of Geometric Control, Nonholonomic Mechanics, and Geometric Mechanics. Geometric Mechanics establishes the mathematical foundation for understanding the intrinsic structure and behavior of mechanical systems. In short, it provides geometric tools for a deeper understanding of the dynamics and control of mechanical systems. Nonholonomic Mechanics extends the analysis of these systems to those subject to velocity constraints that are not integrable. Finally, Geometric Control incorporates ideas from both geometric and nonholonomic mechanics in the design of controllers that align with the underlying geometry of the system. In this dissertation, we develop a rigorous mathematical theory for virtual noholonomic constraints. Virtual constraints are invariant relations imposed on a control system by feedback, as opposed to the actual physical constraints acting on the system. Virtual noholonomic constraints are defined as a controlled invariant distribution associated with a mechanical control system based on an affine connection. We develop geometric tools to guarantee the existence and uniqueness of a control law that transforms the constraint submanifold into virtual noholonomic constraints and characterize the dynamics of noholonomic systems in terms of virtual noholonomic constraints; that is, we characterize when it is possible to obtain noholonomic dynamics from virtual noholonomic constraints. The theory is developed for systems evolving on abstract differentiable manifolds for constraints that are linear, affine, and nonlinear in the velocities. Furthermore, we extend the theory to the framework of Lie groups and Riemannian homogeneous spaces.Finally, we discuss the problem of stabilizing a system around desired virtual noholonomic constraints. In short, we focus on stabilizing systems around desired manifolds of the phase space, determined by virtual noholonomic constraints. We demonstrate the existence of a control law that guarantees the system will adhere to the constraints. Additionally, we show that if the system already satisfies the constraints at a given point, the control law aligns with the only control law derived throughout this dissertation, which guarantees the existence of a virtual noholonomic constraint.

Η παρούσα διατριβή επικεντρώνεται στις έννοιες του Γεωμετρικού Ελέγχου, της Μη Ολόνομης Μηχανικής και της Γεωμετρικής Μηχανικής. Η Γεωμετρική Μηχανική θεμελιώνει το μαθηματικό πλαίσιο για την κατανόηση της εγγενούς (εσωτερικής) δομής και συμπεριφοράς των μηχανικών συστημάτων. Εν συντομία, παρέχει γεωμετρικά εργαλεία για τη βαθύτερη κατανόηση της δυναμικής και του ελέγχου μηχανικών συστημάτων. Η Μη Ολόνομη Μηχανική επεκτείνει την ανάλυση των συστημάτων αυτών σε εκείνα που υπόκεινται σε περιορισμούς ταχύτητας οι οποίοι δεν είναι ολοκληρώσιμοι. Τέλος, ο Γεωμετρικός Έλεγχος ενσωματώνει έννοιες τόσο από τη Γεωμετρική όσο και από τη Μη Ολόνομη Μηχανική στον σχεδιασμό ελεγκτών που είναι συμβατοί με την υποκείμενη γεωμετρική δομή του συστήματος. Στην παρούσα διατριβή αναπτύσσουμε μια αυστηρή μαθηματική θεωρία για τους εικονικούς μη ολόνομους περιορισμούς. Οι εικονικοί περιορισμοί είναι αναλλοίωτες σχέσεις που επιβάλλονται σε ένα σύστημα ελέγχου μέσω ανάδρασης, σε αντιδιαστολή με τους πραγματικούς φυσικούς περιορισμούς που δρουν στο σύστημα. Οι εικονικοί μη ολόνομοι περιορισμοί ορίζονται ως μια ελεγχόμενα αναλλοίωτη κατανομή, η οποία συνδέεται με ένα μηχανικό σύστημα ελέγχου βασισμένο σε μια αφινική σύνδεση. Αναπτύσσουμε γεωμετρικά εργαλεία που εγγυώνται την ύπαρξη και τη μοναδικότητα ενός νόμου ελέγχου ο οποίος μετατρέπει την υποπολλαπλότητα των περιορισμών σε εικονικούς μη ολόνομους περιορισμούς, και χαρακτηρίζουμε τη δυναμική των μη ολόνομων συστημάτων μέσω εικονικών μη ολόνομων περιορισμών. Με άλλα λόγια, προσδιορίζουμε τις συνθήκες υπό τις οποίες είναι δυνατόν να προκύψει μη ολόνομη δυναμική από εικονικούς μη ολόνομους περιορισμούς. Η θεωρία αναπτύσσεται για συστήματα που εξελίσσονται σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες και για περιορισμούς που είναι γραμμικοί, αφινικοί και μη γραμμικοί ως προς τις ταχύτητες. Επιπλέον, επεκτείνουμε τη θεωρία στο πλαίσιο των ομάδων Lie και των ομογενών χώρων Riemann. Τέλος, εξετάζουμε το πρόβλημα της σταθεροποίησης ενός συστήματος γύρω από επιθυμητούς εικονικούς μη ολόνομους περιορισμούς. Συνοπτικά, εστιάζουμε στη σταθεροποίηση συστημάτων γύρω από επιθυμητές πολλαπλότητες του χώρου φάσεων, οι οποίες καθορίζονται από εικονικούς μη ολόνομους περιορισμούς. Αποδεικνύουμε την ύπαρξη ενός νόμου ελέγχου που εγγυάται ότι το σύστημα θα συγκλίνει προς αυτές και θα παραμένει συμβατό με τους περιορισμούς. Επιπλέον, δείχνουμε ότι, εάν το σύστημα ήδη ικανοποιεί τους περιορισμούς σε ένα δεδομένο σημείο, ο νόμος ελέγχου συμπίπτει με τον μοναδικό νόμο ελέγχου που έχει εξαχθεί στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής και ο οποίος εγγυάται την ύπαρξη ενός εικονικού μη ολόνομου περιορισμού.