Computational techniques for optimal design of composite materials based on multiscale modeling

Abstract

This dissertation focuses on the development of computational techniques for the optimal design of composite cellular materials and structures using topology optimization and multiscale modeling. The main objective of the dissertation is to formulate and assess optimization procedures in which the performance of a macro-scale structure is improved through the design and use of periodic microstructure. The theory of numerical homogenization is used to connect the two scales by computing the effective elastic properties of a periodically repeated unit cell and introducing them into the macro-scale. The dissertation first presents the standard topology optimization formulation for compliance minimization under a volume constraint. In this presentation, emphasis is given on the density-based SIMP approach and the BESO and level-set approaches. A simplified Method of Moving Asymptotes update scheme is introduced for the standard compliance-minimization problem, aiming at reducing the implementation complexity and computational cost while maintaining behavior comparable to the general MMA algorithm. The standard formulation is extended to homogenization-based material design, where the periodic unit cell is optimized with respect to macro-scale structural performance. This enables the design of anisotropic cellular materials that adapt to the loading and boundary conditions of a structure. Concurrent multiscale topology optimization formulations are subsequently introduced, allowing the macro and the micro-scale to be updated within the same optimization procedure. SIMP-based, BESO-based, and combined implementations are presented in detail. An additional two-phase composite extension is also examined, in which the void or weak phase of the unit cell is replaced by a secondary material and different volume-constraint strategies are compared.A stress-based multiscale topology optimization formulation is developed. This formulation focuses on the problem of TO for volume minimization subject to local stress constraints. The formulation uses the von Mises yield criterion and the Augmented Lagrangian function to enforce local constraints without relying on global stress aggregation techniques. Finally, model order reduction techniques, including Proper Orthogonal Decomposition, on-the-fly reduced basis construction, and Approximate Reanalysis, are implemented into the TO procedure to reduce the computational cost of repeated finite element analyses in topology optimization and homogenization-based material design. The results demonstrate that the proposed formulations provide a unified framework for stiffness-driven, stress-aware, and computationally efficient multiscale design of composite cellular materials and structures.

Το αντικείμενο της διδακτορικής διατριβής του κ. Γεώργιου Καζάκη επικεντρώνεται στην ανάπτυξη υπολογιστικών τεχνικών για τον βέλτιστο σχεδιασμό σύνθετων κυψελωτών υλικών και κατασκευών, με τη χρήση μεθόδων βελτιστοποίησης τοπολογίας και μοντελοποίησης πολλαπλών κλιμάκων(multiscale modeling). Κύριος στόχος της διδακτορικής διατριβής ήταν η διαμόρφωση και η αξιολόγηση διαφορετικών μεθοδολογιών βελτιστοποίησης τοπολογίας, στις οποίες η απόδοση μιας κατασκευής μπορεί να βελτιωθεί μέσω της χρήσης μικροδομών υλικού που επαναλαμβάνονται περιοδικά εντός της κατασκευής. Για την επίτευξη του στόχου αυτού έγινε χρήση της θεωρίας της αριθμητικής ομογενοποίησης, η οποία αξιοποιήθηκε για τη σύνδεση των δύο κλιμάκων (κλίμακα κατασκευής και κλίμακα κυψελωτών δομών). Μέσω της θεωρίας της ομογενοποίησης υπολογίστηκαν οι ενεργές ελαστικές ιδιότητες των περιοδικά επαναλαμβανόμενων κυψελωτών δομών (unit cells), οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν ως ιδιότητες υλικού της κατασκευής. Αρχικά, στο τεύχος της διδακτορικής διατριβής παρουσιάζεται η τυπική διατύπωση του μαθηματικού προβλήματος της βελτιστοποίησης τοπολογίας. Η τυπική μορφή του μαθηματικού προβλήματος στοχεύει στην ελαχιστοποίηση της ενέργειας παραμόρφωσης (compliance) της κατασκευής, με περιορισμό στον επιτρεπόμενο όγκο της. Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται επίσης έμφαση στις τρεις πιο δημοφιλείς προσεγγίσεις για την επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης: SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization), BESO (Bi-directional Evolutionary Structural Optimization) και level-set. Όλες οι προσεγγίσεις αξιοποιούν ως μεταβλητή σχεδιασμού την «πυκνότητα», η οποία εισάγεται ως χαρακτηριστικό των πεπερασμένων στοιχείων. Στην περίπτωση της μεθόδου SIMP η μεταβολή της πυκνότητας των πεπερασμένων στοιχείων είναι συνεχής κατά τη διάρκεια της διαδικασίας βελτιστοποίησης, ενώ στην περίπτωση των μεθόδων BESO και level-set η μεταβολή είναι διακριτή, λαμβάνοντας τιμές 0 ή 1. Επιπλέον, στο πλαίσιο του κεφαλαίου παρουσιάζεται ένας απλοποιημένος τύπος ενημέρωσης των μεταβλητών σχεδιασμού, βασισμένος στη Μέθοδο των Κινούμενων Ασύμπτωτων (Method of Moving Asymptotes, MMA), ο οποίος μπορεί να εφαρμοστεί στο τυπικό πρόβλημα βελτιστοποίησης τοπολογίας. Ο τύπος αυτός στοχεύει στη μείωση της πολυπλοκότητας υλοποίησης και του υπολογιστικού κόστους της μεθόδου MMA, διατηρώντας παράλληλα συμπεριφορά αντίστοιχη με την βασική εκδοχή του αλγορίθμου. Η τυπική διατύπωση του προβλήματος βελτιστοποίησης τοπολογίας μπορεί να επεκταθεί και στον σχεδιασμό υλικών με χρήση της θεωρίας της ομογενοποίησης. Στην περίπτωση αυτή εξετάζεται η γεωμετρία ενός περιοδικού κελιού, το οποίο βελτιστοποιείται μέσω της βελτιστοποίησης τοπολογίας. Ως αντικειμενική συνάρτηση τίθεται η απόκριση της κατασκευής, και επομένως η τυπική αντικειμενική συνάρτηση της ενέργειας παραμόρφωσης. Η διατύπωση αυτή καθιστά δυνατό τον σχεδιασμό ανισότροπων κυψελωτών υλικών, των οποίων η γεωμετρία προκύπτει από τη διαδικασία βελτιστοποίησης και προσαρμόζεται στις συνοριακές συνθήκες και φόρτισης της κατασκευής. Η σύνδεση μεταξύ της γεωμετρίας του υλικού και της απόκρισης της κατασκευής πραγματοποιείται με χρήση της ομογενοποίησης. Για την επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης υλοποιήθηκαν μεθοδολογίες SIMP και BESO. Στη συνέχεια παρουσιάζεται ο συνδυασμός του τυπικού προβλήματος βελτιστοποίησης τοπολογίας και του σχεδιασμού υλικών μέσω βελτιστοποίησης τοπολογίας με χρήση ομογενοποίησης. Η προσέγγιση αυτή υλοποιείται μέσω ταυτόχρονων (concurrent) διατυπώσεων τοπολογικής βελτιστοποίησης πολλαπλών κλιμάκων, όπου οι δύο γεωμετρίες βελτιστοποιούνται ταυτόχρονα κατά τη διάρκεια της διαδικασίας αναζήτησης. Στο κεφάλαιο αυτό περιλαμβάνονται λεπτομερείς υλοποιήσεις της διαδικασίας βελτιστοποίησης, βασισμένες στις μεθόδους SIMP και BESO, καθώς και μια συνδυαστική προσέγγιση, στην οποία η μέθοδος SIMP χρησιμοποιείται για τη βελτιστοποίηση της κατασκευής και η μέθοδος BESO για τη βελτιστοποίηση του υλικού. Επιπλέον εξετάζεται η επέκταση της μεθοδολογίας για τον βέλτιστο σχεδιασμό σύνθετων υλικών δύο φάσεων (two-phase composite materials), όπου η γεωμετρία του περιοδικού υλικού αποτελείται από δύο διαφορετικά υλικά, ο συνδυασμός των οποίων προσδιορίζεται από τον αλγόριθμο. Τέλος, εξετάζονται διαφορετικές στρατηγικές επιβολής του περιορισμού όγκου. Στη συνέχεια παρουσιάζονται αναλυτικά οι απαραίτητες τροποποιήσεις του τυπικού προβλήματος βελτιστοποίησης τοπολογίας, ώστε να διατυπωθεί πρόβλημα με στόχο την ελαχιστοποίηση του όγκου υπό τοπικούς περιορισμούς τάσεων. Για τον έλεγχο των τάσεων που αναπτύσσονται στην κατασκευή επιλέχθηκε το κριτήριο αστοχίας von Mises. Για τη διαχείριση του μεγάλου πλήθους περιορισμών υιοθετήθηκε η χρήση της Επαυξημένης Λαγκρανζιανής (Augmented Lagrangian, AL). Η Λαγκρανζιανή συνάρτηση συνδυάζει με συγκεκριμένο τρόπο όλους τους περιορισμούς ενός προβλήματος βελτιστοποίησης στην αντικειμενική συνάρτηση, επιτρέποντας την επίλυση ενός ισοδύναμου προβλήματος χωρίς ρητούς περιορισμούς. Παρουσιάζονται δύο υλοποιήσεις: (α) για την περίπτωση βελτιστοποίησης μόνο της κατασκευής και (β) για την επέκταση της διαδικασίας στη βέλτιστη σχεδίαση κατασκευής και υλικού. Όπως και στις προηγούμενες υλοποιήσεις, η διαδικασία βελτιστοποίησης πραγματοποιείται ταυτόχρονα και στις δύο κλίμακες. Στην περίπτωση βελτιστοποίησης κατασκευής και υλικού, ο υπολογισμός των τάσεων πραγματοποιήθηκε στη γεωμετρία του υλικού, στην οποία οι τάσεις ήταν υψηλότερες. Τέλος, παρουσιάζεται η χρήση μοντέλων μειωμένης τάξης (Model Order Reduction techniques) στα πρόβλημα της βελτιστοποίησης τοπολογίας που αναφέρθηκαν νωρίτερα. Ειδικά στα προβλήματα βελτιστοποίησης τοπολογίας πολλαπλών κλιμάκων, το υπολογιστικό κόστος είναι ιδιαίτερα υψηλό, επομένως η χρήση μοντέλων μειωμένης τάξης αποτελεί κρίσιμο παράγοντα για την πρακτική υλοποίησή τους. Οι μέθοδοι που εξετάστηκαν είναι η Proper Orthogonal Decomposition (POD), η PODon-the-fly και η Approximate Reanalysis. Στόχος των μεθόδων αυτών είναι η μείωση του υπολογιστικού κόστους, μειώνοντας τον αριθμό των επαναλαμβανόμενων αναλύσεων πεπερασμένων στοιχείων τόσο στην κλίμακα της κατασκευής όσο και εντός της διαδικασίας ομογενοποίησης. Τα αποτελέσματα καταδεικνύουν ότι οι προτεινόμενες διατυπώσεις παρέχουν ένα ενοποιημένο πλαίσιο για τον σχεδιασμό σύνθετων κυψελωτών υλικών και κατασκευών πολλαπλών κλιμάκων.