Multiscale topology optimization for structural problems using the extended Finite Element method (X-FEM)

Abstract

Topology optimization is a powerful computational design tool for determining the optimal distribution of material within a structure, offering significant potential in the context of lightweight, highperformance components. With the increasing adoption of multi-material systems and the growth of additive manufacturing technologies, there is a pressing need for advanced optimization methods that can effectively handle complex material interfaces and manufacturable constraints. This thesis addresses these challenges through the development and extension of the Iso-XFEM methodology; an evolutionary, level-set-based topology optimization framework built upon the extended finite element method (XFEM). Iso-XFEM achieves high-resolution structural boundaries on fixed meshes while inherently avoiding checkerboard patterns present in traditional methods such as SIMP and ESO/BESO. The method is first extended to efficiently solve bi-material topology optimization problems by incorporating enrichment functions that accurately represent evolving material interfaces. The resulting framework is validated through a range of 2D and 3D numerical examples, demonstrating its capability to produce physically sound, high-performance multi-material structures. Building upon this foundation, a concurrent multiscale optimization framework is proposed for the design of coated structures with optimized orthotropic infill. The macroscopic topology and the microstructural parameters are updated within a unified iterative scheme, where the Iso-XFEM method provides a smooth and accurate representation of the evolving structural boundary. Once the macroscopic topology satisfies the prescribed volume constraint, a coating layer of fixed thickness is extracted from the level-set representation and introduced as a geometric constraint to ensure manufacturability. The lattice infill is modeled using periodic unit cells and optimized through a homogenization-based formulation, allowing spatial variation of the microstructure geometry and orientation according to the local mechanical response. A final post-processing step projects the microstructure onto a manufacturable scale, ensuring feasibility for additive manufacturing. Taken together, these contributions establish a unified and robust computational framework for the topology optimization of bi-material structures and coated structures with manufacturable features. By integrating Iso-XFEM with the extended finite element method and with the homogenization-based topology optimization, this work bridges the gap between high-fidelity structural design and practical fabrication, offering new possibilities in the field of computational mechanics and structural engineering.

Η βελτιστοποίηση τοπολογίας αποτελεί ένα ισχυρό υπολογιστικό εργαλείο σχεδιασμού για τον προσδιορισμό της βέλτιστης κατανομής του υλικού μέσα σε μια κατασκευή, προσφέροντας σημαντικές δυνατότητες στον σχεδιασμό ελαφρών και υψηλής απόδοσης κατασκευών. Με την αυξανόμενη χρήση συστημάτων πολλαπλών υλικών και την ανάπτυξη των τεχνολογιών προσθετικής κατασκευής, προκύπτει επιτακτική ανάγκη για προηγμένες μεθόδους βελτιστοποίησης που μπορούν να διαχειριστούν αποτελεσματικά πολύπλοκες διεπιφάνειες υλικών και περιορισμούς κατασκευασιμότητας. Η παρούσα διατριβή αντιμετωπίζει αυτές τις προκλήσεις μέσω της ανάπτυξης και επέκτασης της μεθοδολογίας Iso-XFEM, ενός εξελικτικού πλαισίου βελτιστοποίησης τοπολογίας βασισμένου στη μέθοδο level set και στη μέθοδο των επεκτεταμένων πεπερασμένων στοιχείων (X-FEM). Η Iso-XFEM επιτυγχάνει υψηλής ανάλυσης αναπαράσταση των ορίων της κατασκευής σε σταθερά πλέγματα, ενώ παράλληλα αποφεύγει εγγενώς τα φαινόμενα «checkerboard» που εμφανίζονται σε παραδοσιακές μεθόδους όπως οι SIMP και ESO/BESO. Η μέθοδος επεκτείνεται αρχικά για την αποτελεσματική επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης τοπολογίας κατασκευών δύο υλικών, μέσω της ενσωμάτωσης συναρτήσεων εμπλουτισμού που αναπαριστούν με ακρίβεια τις εξελισσόμενες διεπιφάνειες μεταξύ των υλικών. Το προκύπτον υπολογιστικό πλαίσιο επαληθεύεται μέσω δισδιάστατων και τρισδιάστατων αριθμητικών παραδειγμάτων, αποδεικνύοντας την ικανότητά του να παράγει φυσικά ορθές και υψηλής απόδοσης κατασκευές πολλαπλών υλικών. Με βάση αυτή τη μεθοδολογική θεμελίωση, προτείνεται ένα ταυτόχρονο πλαίσιο βελτιστοποίησης πολλαπλών κλιμάκων για τον σχεδιασμό επικαλυμμένων κατασκευών με βελτιστοποιημένη ορθότροπη εσωτερική μικροδομή. Η μακροσκοπική τοπολογία και οι παράμετροι της μικροδομής ενημερώνονται στο πλαίσιο ενός ενιαίου επαναληπτικού σχήματος, στο οποίο η μέθοδος Iso-XFEM παρέχει ομαλή και ακριβή αναπαράσταση του εξελισσόμενου ορίου της κατασκευής. Μόλις η μακροσκοπική τοπολογία ικανοποιήσει τον προκαθορισμένο περιορισμό όγκου, εξάγεται από την αναπαράσταση level set μια στρώση επικάλυψης σταθερού πάχους, η οποία εισάγεται ως γεωμετρικός περιορισμός για τη διασφάλιση της κατασκευασιμότητας. Η δικτυωτή εσωτερική μικροδομή μοντελοποιείται με τη χρήση περιοδικών μοναδιαίων κυψελίδων και βελτιστοποιείται μέσω διατύπωσης βασισμένης στην ομογενοποίηση, επιτρέποντας τη χωρική μεταβολή της γεωμετρίας και του προσανατολισμού της μικροδομής ανάλογα με την τοπική μηχανική απόκριση. Σε ένα τελικό στάδιο μετα-επεξεργασίας, η μικροδομή προβάλλεται σε κατασκευάσιμη κλίμακα, διασφαλίζοντας τη δυνατότητα υλοποίησης μέσω προσθετικής κατασκευής. Συνολικά, οι παραπάνω συνεισφορές διαμορφώνουν ένα ενιαίο και αξιόπιστο υπολογιστικό πλαίσιο για τη βελτιστοποίηση τοπολογίας κατασκευών δύο υλικών και επικαλυμμένων κατασκευών με χαρακτηριστικά που ικανοποιούν απαιτήσεις κατασκευασιμότητας. Μέσω της ενσωμάτωσης της Iso-XFEM με τη μέθοδο των επεκτεταμένων πεπερασμένων στοιχείων και με τη βελτιστοποίηση τοπολογίας βασισμένη στην ομογενοποίηση, η παρούσα εργασία γεφυρώνει το χάσμα μεταξύ σχεδιασμού κατασκευών υψηλής πιστότητας και πρακτικής κατασκευής, προσφέροντας νέες δυνατότητες στο πεδίο της υπολογιστικής μηχανικής και της δομικής μηχανικής.