Spaces of analytic functions and operators between them

Abstract

The aim of this thesis is to study spaces of analytic functions and integral operators acting between them. The main focus is on Hardy spaces in the unit disc and on Volterra-type operators. These operators are built from integration and depend on an analytic function, called the symbol. The thesis begins with basic tools from function theory, operator theory and the geometry of the disc. The first part deals with higher order versions of Volterra operators. We study when these operators send one Hardy space into another in a bounded or compact way. Special attention is given to the case where the target space is smaller than the starting space. The results give precise conditions on the symbol and show that different parts of the operator play an essential role. The second part concerns the optimal domain problem. We look for the largest natural class of analytic functions that the operator sends into a Hardy space. We study the structure of these spaces, their multipliers and their inclusion relations. Finally, the study is extended to meromorphic functions, which gives a clearer view of how the symbol affects the corresponding optimal domain.

Σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η μελέτη χώρων αναλυτικών συναρτήσεων και ολοκληρωτικών τελεστών που δρουν ανάμεσά τους. Η έμφαση δίνεται στους χώρους Hardy του μοναδιαίου δίσκου και σε τελεστές τύπου Volterra. Οι τελεστές αυτοί προκύπτουν από ολοκλήρωση και εξαρτώνται από μία αναλυτική συνάρτηση, που λέγεται σύμβολο. Η εργασία ξεκινά με τα βασικά εργαλεία από τη θεωρία συναρτήσεων, τη θεωρία τελεστών και τη γεωμετρία του δίσκου. Το πρώτο μέρος αφορά γενικεύσεις ανώτερης τάξης των τελεστών Volterra. Μελετάται πότε οι τελεστές αυτοί απεικονίζουν έναν χώρο Hardy σε έναν άλλον με φραγμένο ή συμπαγή τρόπο. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στην περίπτωση όπου ο χώρος άφιξης είναι μικρότερος από τον αρχικό χώρο. Τα αποτελέσματα δίνουν ακριβείς συνθήκες για το σύμβολο και δείχνουν ότι τα διαφορετικά μέρη του τελεστή παίζουν ουσιαστικό ρόλο. Το δεύτερο μέρος εξετάζει το πρόβλημα του βέλτιστου χώρου ορισμού. Αναζητούμε τη μεγαλύτερη φυσική κλάση αναλυτικών συναρτήσεων που ο τελεστής στέλνει σε έναν χώρο Hardy. Μελετώνται η δομή, οι πολλαπλασιαστές και οι σχέσεις εγκλεισμού αυτών των χώρων. Τέλος, η θεωρία επεκτείνεται σε μερόμορφες συναρτήσεις, ώστε να διαλευκάνουμε πώς το σύμβολο επηρεάζει τον αντίστοιχο βέλτιστο χώρο ορισμού.