Χαμένα έργα αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών και οι αρχές της Τριγωνομετρίας

Abstract

This dissertation is structured in 3 parts. The first part catalogs lost ancient Greek works, primarily on geometry, for which, however, some ancient evidence exists. The emphasis is placed on the sources that provide us with information about their content. To achieve this, we consulted the entire ancient Greek literature, indexed ancient works, and extracted references to works that are no longer extant. The documentation also includes works whose Greek originals have been lost but survive in translations into other languages. One such work, preserved in Arabictranslation contains Archimedes’ Theorem of the Broken Chord, on which focuses the second part of the dissertation, which is purely mathematical in content and, in our opinion, of great research interest.Based on the study of Archimedes’ proofs of this theorem and some of his other scattered theorems that exist in texts that are only partially preserved in Arabic translations, we draw interesting conclusions about the origins of trigonometry. Specifically, the only work on trigonometry that has survived from ancient Greece is a section of Ptolemy’s Almagest, which contains (in modern terminology) a table of sines and the method for its construction. Ptolemy, however, drew extensively upon the work of Hipparchus, who lived two centuries earlier.In this thesis, we argue that the origins of trigonometry must be traced back even further, to Archimedes. The reason is that if we examine the proofs of Archimedes’ theorems, we find that the steps in his proofs are almost identical to those of the later Ptolemy.The third part of the dissertation includes appendices with supplementary material that supports the research approach of the previous sections.Part of the results of our research - as developed in the second part of the dissertation - were presented at an international conference on the History of Mathematics in Miskolc, Hungary, in May 2020, where the author participated as a guest speaker. The corresponding paper was published, after review by an expert, in the Proceedings of the Conference (ISBN 978-615-5626-54-8). The title of the presentation and the corresponding article is ”From the Theorem of the Broken Chord to the Beginning of Trigonometry”.

Η παρούσα διατριβή διαρθρώνεται σε 3 μέρη. Στο πρώτο μέρος της καταγράφει χαμένα αρχαία ελληνικά έργα, κατά κύριο λόγο Γεωμετρίας για τα οποία υπάρχει ωστόσο κάποια αρχαία μαρτυρία. Δίνεται έμφαση στις πηγές που μας παρέχουν πληροφορίες για το περιεχόμενό τους. Για την καταγραφή αυτή ανατρέξαμε σε όλη την αρχαία ελληνική Γραμματεία, έγινε αποδελτίωση αρχαίων έργων και άντληση των αναφορών σε έργα τα οποία σήμερα είναι απολεσθέντα. Η καταγραφή περιλαμβάνει και έργα των οποίων έχει χαθεί το ελληνικό πρωτότυπο, αλλά διασώζεται μετάφρασή τους σε άλλη γλώσσα. Σε ένα τέτοιο έργο που διασώθηκε σε Αραβική μετάφραση περιέχεται και το «Θεώρημα της Σπασμένης Χορδής» του Αρχιμήδη, στο οποίο επικεντρώνεται το δεύτερο μέρος της διατριβής μας, που είναι καθαρά μαθηματικού περιεχομένου και συγκεντρώνει κατά την άποψή μας μεγάλο ερευνητικό ενδιαφέρον.Στηριζόμενοι στη μελέτη των αποδείξεων του Αρχιμήδη για το συγκεκριμένο θεώρημα και ορισμένων άλλων σκόρπιων θεωρημάτων του που υπάρχουν σε κείμενα που σώζονται μόνο εν μέρει σε Αραβικές μεταφράσεις εξάγουμε ενδιαφέροντα συμπεράσματα σχετικά με τις ρίζες της Τριγωνομετρίας. Συγκεκριμένα, το μοναδικό έργο Τριγωνομετρίας που μας σώζεται από την αρχαία Ελλάδα είναι τμήμα της Μεγίστης Σύνταξης του Πτολεμαίου όπου υπάρχει (με σύγχρονη ορολογία) ένας πίνακας ημιτόνων και η μέθοδος κατάρτισής του. Ο Πτολεμαίος όμως αντλεί υλικό από τον Ίππαρχο ο οποίος έζησε δύο αιώνες νωρίτερα.Στη διατριβή επιχειρηματολογούμε ότι η αρχή της Τριγωνομετρίας πρέπει να αναχθεί ακόμα πιο πίσω, στον Αρχιμήδη, διότι αν μελετήσουμε τις αποδείξεις των θεωρημάτων του Αρχιμήδη που προαναφέραμε διαπιστώνομε ότι τα βήματα των αποδείξεων του είναι σχεδόν ταυτόσημα με του μεταγενέστερου Πτολεμαίου.Το τρίτο μέρος της διατριβής περιλαμβάνει παραρτήματα με συμπληρωματικό υλικό που υποστηρίζει την ερευνητική προσέγγιση των προηγούμενων ενοτήτων.Μέρος των αποτελεσμάτων της έρευνάς μας - όπως αναπτύχθηκαν στο δεύτερο μέρος της διατριβής - έχουν ανακοινωθεί σε διεθνές Συνέδριο Ιστορίας των Μαθηματικών στο Miskolc της Ουγγαρίας τον Μάιο του 2020 στο οποίο η συγγραφέας συμμετείχε ως προσκεκλημένη ομιλήτρια. Η εργασία αυτή δημοσιεύτηκε, κατόπιν κρίσης, στα Πρακτικά του Συνεδρίου (ISBN 978-615-5626-54-8) με τίτλο: «From the Theorem of the Broken Chord to the Beginning of the Trigonometry».