Volterra-type integral operators on spaces of analytic functions

Abstract

This doctoral dissertation investigates certain integral operators acting on spaces of analytic functions in the unit disk. Specifically, we focus on the well-known Volterra-type integral operators $S_g$ and $T_g$, which are defined by $$S_g f(z) = \displaystyle{\int\limits_{0}^{z}} f'(w)g(w)dw,$$ $$T_g f(z)= \displaystyle{\int\limits_{0}^{z}} f(w)g'(w)dw,$$ whose \textit{symbol} $g$ is an analytic function on the unit disc. These integral operators are related to the multiplication operator $M_gf(z) = g(z)f(z)$, since integration by parts gives $M_gf= f(0)g(0)+T_gf+S_gf$.In chapter 2, we extend the already known conditions on the symbol $g$ for $S_g$ to be bounded below on the Hardy spaces $\mathrm{H}^p$ from the case $p\geq1$ to the case $0<p<1$. Furthemore, we prove that the corresponding condition for $S_g$ to be bounded below also holds for other spaces of analytic functions, i.e. the well-known spaces $F(p,pa-2,s)$ and $Q(1,p,\alpha)$.In chapter 3, we easily prove that $T_g$ is not bounded below on the Hardy and weighted Dirichlet spaces.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή μελετά ορισμένους ολοκληρωτικούς τελεστές που δρουν σε χώρους αναλυτικών συναρτήσεων στον μοναδιαίο δίσκο. Συγκεκριμένα, επικεντρωνόμαστε στους γνωστούς ολοκληρωτικούς τελεστές τύπου Volterra $S_g$ και $T_g$, οι οποίοι ορίζονται ως\[S_gf(z)=\int_{0}^{z}f'(w)g(w)\,dw,\]\[T_gf(z)=\int_{0}^{z}f(w)g'(w)\,dw,\]όπου το \textit{σύμβολο} $g$ είναι αναλυτική συνάρτηση στον μοναδιαίο δίσκο. Οι ολοκληρωτικοί αυτοί τελεστές σχετίζονται με τον τελεστή πολλαπλασιασμού $M_g$, ο οποίος ορίζεται από\[M_gf(z)=g(z)f(z),\]καθώς, με ολοκλήρωση κατά μέρη, προκύπτει ότι\[M_gf=f(0)g(0)+T_gf+S_gf.\]Στο Κεφάλαιο 2, επεκτείνουμε τις ήδη γνωστές αναγκαίες και ικανές συνθήκες για το σύμβολο $g$, ώστε ο τελεστής $S_g$ να είναι κάτω φραγμένος στους χώρους Hardy $\mathrm{H}^p$, από την περίπτωση $p\geq1$ στην περίπτωση $0<p<1$. Επιπλέον, αποδεικνύουμε ότι η αντίστοιχη συνθήκη ώστε ο $S_g$ να είναι κάτω φραγμένος ισχύει και για άλλους χώρους αναλυτικών συναρτήσεων, και συγκεκριμένα για τους γνωστούς χώρους $F(p,pa-2,s)$ και $Q(1,p,\alpha)$.Στο Κεφάλαιο 3, αποδεικνύουμε ότι ο τελεστής $T_g$ δεν είναι κάτω φραγμένος στους χώρους Hardy και στους χώρους Dirichlet με βάρος.